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1、 课程设计说明书 NO.1应用 MATLAB 实现连续信号的抽样及重构仿真一、课程设计的目的1.熟悉抽样定理、信号的抽样与重构过程；2.通过实验观察欠采样时信号频谱的混叠现象；3.掌握抽样前后信号的频谱的变化，加深对抽样定理的理解；4.掌握抽样频率的确定方法。二、课程设计的原理1.抽样定理连续信号 被抽样后，其部分信息已经丢失，抽样信号 只是很小的一部分。tf tfs现在的问题是能否从抽样信号 中恢复出原连续信号 。抽样定理从理论上回答tfs tf了这个问题。抽样定理：一个频谱有限的信号 ，如果其频谱只占据 的范围，则信tf m号 可以用等间隔的抽样值来唯一表示，而抽样间隔 必须不大于 （其中
2、tf sTf21）或者说最低抽样频率为 。mf2mf2该定理表明若要求信号抽样后不丢失信息，必须满足两个条件：一是 必须是带限信号，即 的频谱在区间 为有限值，其频谱函tf tf )(m数在 各处为零；sm二是抽样间隔不能过大，必须满足 不大于 ，也就是抽样频率不能过低，即sTmf21必须不小于 。 （抽样频率要足够大，抽样足够多才能恢复原信号。 ）sm2可分为以下三种情况：沈 阳 大 学 课程设计说明书 NO.2(a)临界抽样频率，即 时，抽样信号不发生混叠；ms2(b)过抽样频率，即 时，抽样信号不发生混叠；s(c)欠抽样频率，即 时，抽样信号发生混叠。ms2.周期抽样抽样过程也就是把一个
3、连续时间函数的信号，变成具有一定时间间隔才有函数值的离散时间信号的过程。如果每次开闭的时间间隔 都一样，则称为周期抽样或均匀sT抽样，抽样周期等于 。其倒数表示在单位时间内所抽取的样点数，称为抽样频率，sT用 表示。sf如图 1 所示，给出了信号抽样原理图图 1 信号抽样原理图由图 1 可见， ，其中，冲激抽样信号 的表达式为：tftsTstsT(1)nstftts其傅立叶变换为 ，其中 。设 ， 分别为 ，nsssT2jFjstf的傅立叶变换，由傅立叶变换的频域卷积定理，可得tfs(2)nnssss jTjFj 121若设 是带限信号，带宽为 ， 经过抽样后的频谱 就是将 在tf mtf j
4、Fsj频率轴上搬移至 处（幅度为原频谱的 倍） 。因此，当L,02nsss1时，频谱不发生混叠；而当 时，频谱发生混叠。ms2 ms2沈 阳 大 学 课程设计说明书 NO.3一个理想抽样器可以看成是一个载波为理想单位脉冲序列 的幅值调制器，即tT理想抽样器的输出信号 ，是连续输入信号 调制在载波 上的结果，如图 2te te所示。图 2 信号的抽样用数学表达式描述上述调制过程，则有(3)tetT理想单位脉冲序列 可以表示为tT(4)0nTtt其中 是出现在时刻 ，强度为 1 的单位脉冲。由于 的)(nTtt )(te数值仅在抽样瞬时才有意义，同时，假设(5)0,tte所以 又可表示为te(6)
5、0nnTtet3.连续时间信号的重建重建即从抽样信号恢复原信号。在满足抽样定理的上述两个条件下，为了从频谱中无失真的选出 ，可用一截止频率 的理想低通滤波器。其频jFs jF2scm率特性为。滤波器与 相乘，得到的频谱即为原信号的频csTjH0)(jFs谱 。显然， ，与之对应的时域表达式为jFjHjFjs(7)tfhtfs沈 阳 大 学课程设计说明书 NO.4(8)nSsnss nTtfTttf )(9)tajHFthcs1将 及 代入式（7）得thtfs(10)nscscscss nTtSafTtSaTtf *式(10)即为用 求解 的表达式，是利用 MATLAB 实现信号重构的基本关系s
6、nftf式，抽样函数 在此起着内插函数的作用。tSac例：设 ，其 为：ttfsijF(11)10j即 的带宽为 ，为了由 的抽样信号 不失真地重构 ，由时域tf1m)(tftfs tf抽样定理知抽样间隔 ，取 （过抽样） 。利用 MATLAB 的抽样函数sT7.0sT来表示 ，有 。据此可知：ttSincsitSa/tSinct(12) n scscscss nTtSiTftTtf *通过以上分析，得到如下的时域抽样定理：一个带宽为 的带限信号，可唯一地m由它的均匀取样信号 确定，其中，取样间隔 , 该取样间隔又称为奈)(snf s/奎斯特间隔。 根据时域卷积定理，求出信号重构的数学表达式为
7、:(13)scnscs ccss snTtSaTfwtwtf thfjHIFjIt *沈 阳 大 学课程设计说明书 NO.5式中的抽样函数 起着内插函数的作用，信号的恢复可以视为将抽样函数同tSac时刻移位后加权求和的结果，其加权的权值为抽样信号在相应时刻的定义值。利用MATLAB 中的抽样函数 来表示 ，有 ，ttsini tSa/sintct，于是，信号重构的内插公式也可表达式： /sintctSac(14) n scscs csssnTtTf ttftfi三、课程设计内容及结果分析1. 临界抽样及重构tSa当抽样频率等于一个连续的同信号最大频率的2倍，即 时，称为临界抽样.ms2修改门信
8、号宽度、抽样周期等参数，重新运行程序，可以观察得到的抽样信号时域和频域特性，以及重构信号与误差信号的变化。（1）实现程序代码wm=1;wc=wm;Ts=pi/wm;%决定抽样的频率。ws=2*pi/Ts;n=-100:100;nTs=n*Tsf=2*sinc(nTs/pi);%决定重构图的幅值。Dt=0.0025;t=-15:Dt:15;%重构图抽样间隔及横坐标的宽度。fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs*ones(1,length(t);t1=-15:0.25:15;%抽样图的抽样间隔及横坐标的宽度。f1=2*sinc(t1
9、/pi);%决定抽样图的幅值。沈 阳 大 学课程设计说明书 NO.6subplot(121);stem(t1,f1);xlabel(kTs);ylabel(f(kTs);title(sa(t)=sinc(t/pi)的临界抽样信号);subplot(122);plot(t,fa)xlabel(t);ylabel(fa(t);title(由sa(t)=sinc(t/pi)的临界抽样信号重构sa(t);grid;（2）运行结果及分析图3 的临界抽样及重构图tSa沈 阳 大 学课程设计说明书 NO.7结果分析：通过改变 及 分别改变了重构及抽样图的幅值使它们从-0.51变成f1了-12，又通过改变Dt
10、的值及 中间的数的值改变了重构及抽样图的抽样间隔，使抽t样点数增加一倍，又将subplot(211),(212)改为(121)(122)改变了图的分布，从而得到上述结果。2. 的过抽样、重构及它们之间的误差tSa当抽样频率大于一个连续的同信号最大频率的 2 倍，即 时，称为过抽样。ms2（1）实现程序代码wm=1;wc=1.1*wm;Ts=0.7*pi/wm;ws=2*pi/Ts;n=-100:100;nTs=n*Tsf=sinc(nTs/pi);Dt=0.010;t=-30:Dt:30;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs*
11、ones(1,length(t);error=abs(fa-sinc(t/pi);t1=-15:1:15;f1=sinc(t1/pi);subplot(311);stem(t1,f1);xlabel(kTs);ylabel(f(kTs);title(sa(t)=sinc(t/pi)的过抽样信号);subplot(312);plot(t,fa) 沈 阳 大 学课程设计说明书 NO.8xlabel(t);ylabel(fa(t);title(由sa(t)=sinc(t/pi)的过抽样信号重构sa(t);grid;subplot(313);plot(t,error);xlabel(t);ylabel
12、(error(t);title(过抽样信号与原信号的抽样误差error(t);（2）运行结果及分析图4 的过抽样信号、重构信号及两信号的绝对误差图tSa结果分析：通过改变 使重构信号图及误差图的横坐标由-1515变为-3030。同时改变了Dt的值及 中间的数的值使抽样点数减少一倍，从而得到上述结果。1t 沈 阳 大 学课程设计说明书 NO.93. 的欠抽样、重构及它们之间的误差tSa当抽样频率小于一个连续的同信号最大频率的2倍，即 时，称为欠抽样。ms2（1）实现程序代码wm=1;wc=wm;Ts=1.5*pi/wm;ws=2*pi/Ts;n=-100:100;nTs=n*Tsf=3*sinc
13、(nTs/pi);Dt=0.005;t=-10:Dt:10;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs*ones(1,length(t);error=abs(fa-sinc(t/pi);t1=-10:0.5:10;f1=3*sinc(t1/pi);subplot(311);stem(t1,f1);xlabel(kTs);ylabel(f(kTs);title(sa(t)=sinc(t/pi)的欠抽样信号);subplot(312);plot(t,fa);xlabel(t);ylabel(fa(t);title(由sa(t)=sinc(t/pi)的欠抽样信号重构sa(t);grid; 沈 阳 大 学课程设计说明书 NO.10subplot(313);plot(t,error);xlabel(t);ylabel(error(t);title(欠抽样信号与原信号的抽样误差error(t);（2）运行
