《2017-2018年高中数学 第一章 统计案例 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用学案（含解析）新人教a版选修1-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 第一章 统计案例 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用学案（含解析）新人教a版选修1-2（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、11.1 回归分析的基本思想及其初步应用线性回归模型提出问题问题 1：由数学必修 3的知识可知，相关关系中自变量和因变量的关系是确定的吗？提示：不是问题 2：利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？提示：不一定导入新知1回归分析(1)函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系，即自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系(2)由数学必修 3的知识可知，回归分析是对具有线性相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，回归分析的基本步骤是画出两个变量的散点图，求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报2线性回归模型(1)线性回归模型 y bx a
2、 e，其中 a 和 b 是模型的未知参数， e 称为随机误差自变量 x 称为解释变量，因变量 y 称为预报变量(2)在回归方程 x 中，y b a ，b ni 1 xi x yi y ni 1 xi x 2ni 1xiyi nx y ni 1x2i nx 2 .a y b x 其中 i， i, ( ， )称为样本点的中心x 1nni 1x y 1nni 1y x y 化解疑难对线性回归方程的理解(1)回归直线方程 x 一定经过点( ， )我们把( ， )称为样本点的中心，y b a x y x y 因此，回归直线必过样本点的中心2(2)线性回归方程 x 中的截距 和斜率 都是通过估计而得来的，
3、存在着误差，这y b a a b 种误差可能导致预测结果的偏差(3)当 0 时，变量 y 与 x 具有正的线性相关关系；当 0)的周围，则 ln yln c1 c2x，于是令 zln y，则x 1 2 3 4 5 6z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25画出相应的散点图(图略)，可知变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可用线性回归方程来拟合，由表中数据得到线性回归方程为 0.69 x1.115，则有 e 0.69x1.115 .z y 1.错 误 理 解 残 差 的 概 念 而 致 误典例某种产品的广告费支出 x(单元：万元)与销售额 y(单位：万元)之间有下表关系：
4、x 2 4 5 6 8y 30 40 60 50 70y 与 x 的线性回归方程为 6.5 x17.5，当广告费支出 5 万元时，随机误差的效应y (残差)为()A10 B20C30 D40解析因为 y 与 x 的线性回归方程为 6.5 x17.5，当 x5 时， 50，当广告费y y 支出 5 万元时，由表格得 y60，故随机误差的效应(残差)为 605010.答案A易错防范1对残差 i不理解，误认为 i i yi xi yi， i1,2， n.e e y b a 112残差平方和越小，说明模型的拟合效果就越好成功破障已知方程 0.85 x82.71 是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方
5、程，其中 xy 的单位是 cm， 的单位是 kg，那么针对某个体(160,53)的残差是_y 解析：把 x160 代入 0.85 x82.71，得 0.8516082.7153.29，所以残差y y y 5353.290.29.e y 答案：0.29随堂即时演练1(湖北高考)四名同学根据各自的样本数据研究变量 x， y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论： y 与 x 负相关且 2.347 x6.423；y y 与 x 负相关且 3.476 x5.648；y y 与 x 正相关且 5.437 x8.493；y y 与 x 正相关且 4.326 x4.578.y 其中一定不
6、正确的结论的序号是()A BC D解析：选 D中 y 与 x 负相关而斜率为正，不正确；中 y 与 x 正相关而斜率为负，不正确2关于回归分析，下列说法错误的是()A在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定B线性相关系数可以是正的也可以是负的C在回归分析中，如果 r21 或 r1，说明 x 与 y 之间完全线性相关D样本相关系数 r(1,1)解析：选 D样本的相关系数应满足1 r1.3在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得相关指数 R20.85，则表明气温解释了_的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献了剩余的_，所以气温对热茶12销售杯数的效应比随机误差的效应大
7、得多解析：由相关指数 R2的意义可知， R20.85 表明气温解释了 85%，而随机误差贡献了剩余的 15%.答案：85%15%4某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量(mg/L)与消光系数计数的结果如下：尿汞含量 x 2 4 6 8 10消光系数 y 64 138 205 285 360若 y 与 x 具有线性相关关系，则回归直线方程是_解析：由已知表格中的数据，利用科学计算器进行计算得6， 210.4， 220，x y 5i 1x2iiyi7 790，5i 1x所以 36.95，b 5i 1xiyi 5x y 5i 1x2i 5x 2 11.3.a y b x 所以回归直线方程为 11.
8、336.95 x.y 答案： 11.336.95 xy 5某工厂为了对新研究的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价 x/元 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9销量 y/件 90 84 83 80 75 68(1)求回归直线方程 x ，其中 20， ；y b a b a y b x (2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是 4 元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润销售收入成本)解：(1) (88.28.48.68.89)8.5，x 1613 (908483807568)80，y 16从而 20
9、 80208.5250，a y x 故 20 x250.y (2)由题意知，工厂获得利润z( x4) y20 x2330 x1 00020 2361.25，(x334)所以当 x 8.25 时，334zmax361.25(元)即当该产品的单价定为 8.25 元时，工厂获得最大利润课时达标检测一、选择题1(重庆高考)已知变量 x 与 y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3， 3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为()x y A. 0.4 x2.3 B. 2 x2.4y y C. 2 x9.5 D. 0.3 x4.4y y 解析：选 A依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除 C、D.
10、且直线必过点(3,3.5)，代入 A、B 得 A 正确2甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量 x， y 的回归模型时，分别选择了 4 种不同模型，计算可得它们的相关指数 R2分别如下表：甲 乙 丙 丁R2 0.98 0.78 0.50 0.85建立的回归模型拟合效果最好的同学是()A甲 B乙C丙 D丁解析：选 A相关指数 R2越大，表示回归模型拟合效果越好3设某大学的女生体重 y(单位：kg)与身高 x(单位：cm)具有线性相关关系根据一组样本数据( xi， yi)(i1,2， n)，用最小二乘法建立的回归方程为 0.85 x85.71.y 则下列结论中不正确的是()14A y 与 x 具有正的线
11、性相关关系B回归直线过样本点的中心( ， )x y C若该大学某女生身高增加 1 cm，则其体重约增加 0.85 kgD若该大学某女生身高为 170 cm，则可断定其体重必为 58.79 kg解析：选 D回归方程中 x 的系数为 0.850，因此 y 与 x 具有正的线性相关关系，A正确；由回归方程系数的意义可知回归直线过样本点的中心( ， )，B 正确；x y 依据回归方程中 的含义可知， x 每变化 1 个单位， 相应变化约 0.85 个单位，C 正确；b y 用回归方程对总体进行估计不能得到肯定结论，故 D 不正确4甲、乙、丙、丁 4 位同学各自对 A， B 两变量做回归分析，分别得到散
12、点图与残差平方和 (yi i)2，如下表：ni 1 y 甲 乙 丙 丁散点图残差平方和 115 106 124 103哪位同学的试验结果体现拟合 A， B 两变量关系的模型拟合精度高？()A甲 B乙C丙 D丁解析：选 D从题中的散点图上来看，丁同学的散点图中的点更加近似在一条直线附近；从残差平方和来看，丁同学的最小，说明拟合精度最高5(福建高考)已知 x 与 y 之间的几组数据如下表：x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 x ，若某同学根据上表中的前两组y b a 数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为 y b x a，则以下结论正确
13、的是()A. b， a B. b， a D. a.b a 二、填空题6在一组样本数据( x1， y1)，( x2， y2)，( xn， yn)(n2， x1， x2， xn不全相等)的散点图中，若所有样本点( xi， yi)(i1,2， n)都在直线 y x1 上，则这组样12本数据的样本相关系数为_解析：根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为 1.答案：17某咖啡厅为了了解热饮的销售量 y(个)与气温 x()之间的关系，随机统计了某 4天的销售量与气温，并制作了对照表：气温() 18 13 10 1销售量(个) 24 34 38 64由表中数据，得线性回归方程 2
14、x a.当气温为4 时，预测销售量约为y _解析： (1813101)10， (24343864)x14 y 1440，40210 a， a60，当 x4 时， y2(4)6068.答案：688关于 x 与 y 有如下数据：x 2 4 5 6 8y 30 40 60 50 7016为了对 x， y 两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：甲： 6.5 x17.5，y 乙： 7 x17，则_(填“甲”或“乙”)模型拟合的效果更好y 解析：设甲模型的相关指数为 R ，21则 R 1 1 0.845；215i 1 yi y i 25i 1 yi y 2 1551 000设乙模型的相关指数为 R ，2则 R 1 0.82.21801 000因为 0.8450.82，即 R R ，21 2所以甲模型拟合效果更好答案：甲三、解答题9(新课标全国卷)某地区 2007 年至 2013 年农村居民家
