《2017-2018年高中数学 综合质量评估（含解析）新人教a版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 综合质量评估（含解析）新人教a版选修1-1（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1综合质量评估(120 分钟150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.命题“若 AB,则 A=B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是()A.0 B.2 C.3 D.4【解析】选 B.原命题为假,故其逆否命题为假;其逆命题为真,故其否命题为真;故共有 2 个真命题.2.若在区间(a,b)内,f(x)0,且 f(a)0,则在(a,b)内有()A.f(x)0 B.f(x)f(a)0.3.设命题 p:xR,x 2+10,则 p 为()A.x0R, +10 B.x0R, +10x20 x20C
2、.x0R, +10)的右焦点与抛物线 y2=8x 的焦点重合 ,则此双曲线的渐近线方x22程是()A.y= x B.y= x555C.y= x D.y= x333【解析】选 D.因为 y2=8x 焦点是(2,0),2所以双曲线 -y2=1 的半焦距 c=2,又虚半轴长 b=1 且 a0,x22所以 a= = ,2212 3所以双曲线的渐近线方程是 y= x.33【补偿训练】(2017邯郸高二检测)抛物线的准线方程为 y=-4,则抛物线的标准方程为()A.x2=16y B.x2=8yC.y2=16x D.y2=8x【解析】选 A.由题意可知抛物线的焦点在 y 轴的正半轴,设抛物线标准方程为:x
3、2=2py(p0),因为抛物线的准线方程为 y=-4,所以- =-4,所以 p=8,p2所以抛物线的标准方程为:x 2=16y.5.设点 P(x,y),则“x=2 且 y=-1”是“点 P 在直线 l:x+y-1=0 上”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选 A.“x=2 且 y=-1”满足方程 x+y-1=0,故“x=2 且 y=-1”可推得“点 P 在直线l:x+y-1=0 上”;但方程 x+y-1=0 有无数多个解,故“点 P 在直线 l:x+y-1=0 上”不能推得“x=2 且 y=-1”.故“x=2 且 y=-1”是“点 P
4、 在直线 l:x+y-1=0 上”的充分不必要条件.6.设函数 f(x)= x-lnx(x0),则 y=f(x)()13A.在区间 ,(1,e)内均有零点(1,1)B.在区间 ,(1,e)内均无零点(1,1)C.在区间 内无零点,在区间(1,e)内有零点(1,1)3D.在区间 内有零点,在区间(1,e)内无零点(1,1)【解析】选 C.由题意得 f(x)= ,令 f(x)0,得 x3;令 f(x)0,f(e)= -10.故选 C.13 e3 (1)137.已知命题 p:“x1,2,x 2-a0”,命题 q:“x0R, +2ax0+2-a=0”.若命题“( p)x20q”是真命题,则实数 a 的
5、取值范围是()A.a-2 或 a=1 B.a2 或 1a2C.a1 D.-2a1【解析】选 C.命题 p 为真时 a1;“x 0R, +2ax0+2-a=0”为真,即方程 x2+2ax+2-a=0x20有实根,故 =4a 2-4(2-a)0,解得 a1 或 a-2.( p)q 为真命题,即 p 真且 q 真,即a1.8.设椭圆 + =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c,直线 y= (x+c)与椭圆x22y22 3的一个交点为 M,若MF 1F2=2MF 2F1,则椭圆离心率为()A. B.2- C. D. -1512 3 312 3【解析】选 D.如图所示,直线 y= (
6、x+c)的斜率 k= ,所以倾斜角 =60,3 3因为MF 1F2=2MF 2F1,所以MF 2F1=30,所以F 1MF2=90,设 =m, =n,|M2| |M1|4则有 解得 e= = -1.m+=2,2+2=|12|2=42,=3, c 3【补偿训练】设 F1,F2是椭圆 + =1(ab0)的左、右焦点 ,P 为直线 x= a 上一点,x22y22 32F2PF1是底角为 30的等腰三角形,则椭圆的离心率 e 为()A. B. C. D.12 23 34 45【解析】选 C.因为F 2PF1是底角为 30的等腰三角形,所以 |P2|= ,|F12|因为 P 为直线 x= a 上一点,3
7、2所以 2 =2c,(32)所以椭圆的离心率为 e= = .c349.已知 f(x)=alnx+ x2(a0),若对任意两个不等的正实数 x1,x2都有 212 f(1)(2)12恒成立,则 a 的取值范围是()A.(-1,+) B.(2,+) C.1,+) D.(1,+)【解析】选 C.因为 f(x)=alnx+ x2(a0),125对任意两个不等的正实数 x1,x2都有 2 恒成立,所以 f(x)f(1)(2)12= +x2(x0)恒成立,a所以 a2x-x 2恒成立,令 g(x)=2x-x2=-(x-1)2+1,则 ag(x) max,因为 g(x)=2x-x2=-(x-1)2+1 为开
8、口方向向下,对称轴为 x=1 的抛物线,所以当 x=1 时,g(x)=2x-x 2取得最大值 g(1)=1,所以 a1.即 a 的取值范围是1,+).10.设 O 为坐标原点,F 1,F2是 - =1(a0,b0)的焦点, 若在双曲线上存在点 P,满足x22y22F 1PF2=60,|OP|= a,则该双曲线的渐近线方程为()7A.x y=0 B. xy=03 3C.x y=0 D. xy=02 2【解析】选 D.如图所示,因为 O 是 F1F2的中点,+ = ,所以( + )2=(2 )2.P1P2 2 P1P2 P即| |2+| |2+P1 P22| | |cos60P1 P26=4| |
9、2.P又因为|PO|= a,7所以| |2+| |2+| | |=28a2.P1 P2 P1 P2又由双曲线定义得|PF 1|-|PF2|=2a,所以(|PF 1|-|PF2|)2=4a2.即|PF 1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=4a2.由-得|PF 1|PF2|=8a2,所以|PF 1|2+|PF2|2=20a2.在F 1PF2中,由余弦定理得cos60= ,|1|2+|2|2|12|22|1|2|所以 8a2=20a2-4c2.即 c2=3a2.又因为 c2=a2+b2,所以 b2=2a2.即 =2, = .b22 b 2所以双曲线的渐近线方程为 xy=0.211.(2015
10、全国卷)设函数 f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中 a- 时,g(x)0,12 127所以,当 x=- 时,g(x) min=-2 .12 e12当 x=0 时,g(0)=-1,g(1)=e,直线 y=ax-a 恒过点(1,0),且斜率为 a,故-ag(0)=-1,且 g(-1)=-3e-1-a-a,解得 a0,所以 g(x)在1,2上单调递增,所以 g(x)e-20,所以 g(x)在1,2上单调递增,根据不等式恒成立的意义可得m()=(1)=+1,22()=(2)=22,22 8所以 m-e 或 eme+1,所以 m 的最大值为 e+1,无最小值.二、填空题(本大题共 4 个小题,每
11、小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上)13.若 f(x)在(a,b)内存在导数,则“f(x)b0)的一个焦点为 F,该椭圆上有一点 A,满足x22y22OAF 是等边三角形(O 为坐标原点),则椭圆的离心率为_.【解析】椭圆 + =1(ab0)焦点在 x 轴上,x22y22设 A .(c2,)将 x= 代入椭圆方程得 + =1,解得 y= ,c2 c242y22 b4222因为OAF 为等边三角形,则 tanAOF= ,y2所以 = ,b4222 3 c2化为:e 4-8e2+4=0,00 对 xR 恒成立.(1)当 k=0 时,10,所以 k=0 符合题意.(2)当 k0 时,
12、 解得k0,0,00;1当 10,(1)=2120, 12所以实数 m 的取值范围是 .(1,2+1220.(12 分)(2017广州高二检测)某食品厂进行蘑菇的深加工,每千克蘑菇的成本 20 元,并且每千克蘑菇的加工费为 t 元(t 为常数,且 2t5),设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为 x元(25x40),根据市场调查,日销售量 q 与 ex成反比,当每千克蘑菇的出厂价为 30 元时,销售量为 100 千克.(每日利润=日销售量(每千克出厂价-成本价-加工费).(1)求该工厂的每日利润 y 元与每千克蘑菇的出厂价 x 元的函数关系式.(2)若 t=5,当每千克蘑菇的出厂价 x 为多少元时,该
13、工厂的每日利润 y 最大,并求最大值.【解析】(1)设日销售量 q= ,则 =100,k k30所以 k=100e30,所以日销售量 q= ,10030所以 y= (25x40,2t5).10030(20)(2)当 t=5 时,y= ,10030(25)14y= .10030(26)由 y0 得 x26,由 y0 得 x26,所以 y 在25,26上单调递增,在26,40上单调递减,所以当 x=26 时,y max=100e4.当每千克蘑菇的出厂价为 26 元时,该工厂的利润最大,最大值为 100e4元.21.(12 分)(2015北京高考)设函数 f(x)= -klnx,k0.x22(1)求
14、 f(x)的单调区间和极值.(2)证明若 f(x)有零点,则 f(x)在区间(1, )上仅有一个零点.e【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=x- = .kx2因为 k0,所以令 f(x)=0 得 x= ,列表如下:kx (0, )k k ( ,+)kf(x) - 0 +f(x) 极小值 减区间为(0, ),增区间为( ,+).k k当 x= 时,取得极小值 f( )= .k kk2(2)当 1, 即 00,所以 f(x)在区间(1, )上没有零点.12 e e2k2e2 e当 10,f( )= 0,f( )= = 0,12 e e2 kk2 k(1)2此时函数没有零点.15当 ,即 ke 时,f(x)在(1, )上单调递减,f(1)=k e e120,f( )= b0),然后由已知可得 a,b,c 之x22y22间的关系,求解即可.(2)首先联立直线与椭圆的标准方程,并消去 y 可得一元二次方程(1+3k 2)x2+6kmx+3m2-3=0,然后由直线与椭圆相交于不同的两点可得其判别式0
