《习题详解-第10章 微分方程与差分方程初步》由会员分享，可在线阅读，更多相关《习题详解-第10章 微分方程与差分方程初步（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 - 1 -习题 10-11. 指出下列方程的阶数： (1) (2) 4620xy2d0QLRtct(3) (4) dcos 2()dyxy解：(1)三阶(2)二阶(3)一阶(4)一阶2. 验证下列给出的函数是否为相应方程的解：(1) , 2xy2Cx(2) , (+1)d+1y(3) ， 0xe(4) ， 2.4st212.stc解：(1)是，代入即可.(2)是，代入即可；(3)是，因为 ，满足 ；,xxyeye20y(4)是，代入， ，显然满足.21dd0.404sstCtt3. 验证:函数 x=C1coskt+C2sinkt(k0)是微分方程 2xt的通解.解： 满足 ，所以22121(
2、)sincos,()cosin,xtktktxCktkt 2d0xkt是解，又因为含有两个任意常数 ，且方程是二阶的，故是通解.124. 已知函数 x=C1coskt+C2sinkt(k0) 是微分方程 的通解,求满足初始条件2d0xtx| t0 2 x| t0 0的特解.解：上题可知是微分方程通解，且 代入初值条件12()sincos,tCktkt，得 ，所以特解为0|2,|ttx12, ().习题 10-21. 求下列微分方程的通解：(1) ； (2) ；23yx2xy(3) ； (4) ；ddsincosinycox2dy(5) ； (6) ；2 xy(7) ； (8) 2dyx)2(t
3、an1解：(1)这是可分离变量方程，分离变量得 231d=yx两端分别积分： - 2 -341=+yxC,这就是方程通解 .(2)这是可分离变量方程，分离变量得 2dyx两端分别积分：即1+lnyxC, 1202xy(Cln)这就是方程通解 .(3)这是可分离变量方程，分离变量得 dcossyxini两端分别积分：即lllC,sinxiye这就是方程通解 .(4)这是可分离变量方程，分离变量得 21d=yx两端分别积分：即21+ln()l()lnC,221+y(x)这就是方程通解 .(5)这是齐次方程，令 则 代入原方程并整理,xyud,ux1两端分别积分：即lnuxClnyxC这就是方程通解
4、 .(6)这是齐次方程，化简得 1dyx令 则 代入原方程并整理,xyu,ux，两端分别积分：21d 211ln2uxC即 ln0yCx这就是方程通解 .(7)这是齐次方程，化简得 - 3 -2d1yx令 则 代入原方程并整理,xyu,ux，两端分别积分：1dlnuxC即 ln0yCx这就是方程通解 . (8)这是特殊方程，用换元法，令 则 代入原方程并整理,2yxud1,ux，两端分别积分：2cosudx1sin4C即 4in(4)0yyC这就是方程通解 .2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解：(1) ， ；3six()1(2) ， ；2()1y0y(3) ， ；dtanxx(6(4)
5、 ， 22dyy)1解(1)分离变量：3dsinx两端分别积分：31iy解得：2cosxC将 代入通解中，求得 故所求特解为(0)1y1C2cs1xy(2)分离变量：221dd()两端分别积分： - 4 -21arctnd()yxC将 代入通解中，求得 故所求特解为(0)yC21arct()yx(3)这是齐次方程,令 则 代入原方程并整理,xud,u1d.tanx两边积分得即,lsilCu.sixeu变量回代得所求通解 .sinxy由 代入通解，得 ，故所求初值问题的解为(1)6y612Ce6sin.xye3. 一曲线在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，且通过点(1,2) ，求该曲线方程
6、.解：设曲线方程为： ()yfx由题意可得方程: ,且 ，20y (1)2解分离变量方程得： ,由 得 ，C故所求曲线为： .xy4. 物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用.例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决.现设一物体的温度为100，将其放置在空气温度为 20的环境中冷却.试求物体温度随时间 t 的变化规律.解 设物体的温度 与时间 的函数关系为 建立该问题的数学模型:Tt ),(tT10|)2(tkd1其中 为比例常数.下面来求上述初值问题的解.分离变量,得)0(k ;20kdtT两边积分 得 (其中 为任意常数) ，,21kd
7、tT1|2|lnCktT即 (其中 ).tCkt ee11 e从而 再将条件(2)代入,得0 ,80于是，所求规律为 .80kt习题 10-3 - 5 -1. 求下列微分方程的通解：(1) ； (2) ；cosinxye2xye(3) ； (4) ；2(1)x2d()d0y(5) ； (6) y 31)解 (1) 这是一阶线性非齐次方程，其中 (sin,Pxcos()xQe首先求出 (积分后，不再加任意常数) ，Pdsincosxx然后用公式(10-6)可得所求通解为 xxyCeQecoscos(2) 这是一阶线性非齐次方程，其中 1(),2()xQe首先求出 (积分后，不再加任意常数 )，P
8、d2x然后用公式(10-6)可得所求通解为 xxyCee24(3) 这是一阶线性非齐次方程，其中 1(),x21()xQe首先求出 (积分后，不再加任意常数) ，Pdlnx然后用公式(10-6)可得所求通解为 xxyCee2(4)将 x 看作 y 的函数，即对 进行求解，可将原方程化为未知函数为()xy的线性方程()，21dy于是， 21()yP()1Q首先求出 ，然后代入通解公式，可得所求通解为dln112ln2lndyyxeC.1112 22yyyee(5)将 x 看作 y 的函数，即对 进行求解，可将原方程化为未知函数为()x的线性方程()，dyxe于是， ()1Py()yQe - 6
9、-首先求出 ，然后代入通解公式，可得所求通解为PdydyyxeC.12ye(6)令 则 代入原方程并整理,1xyud(),ux2d.31x两边积分得 ,ln)ln(Cu变量回代得所求通解 23.(1)yxx2. 求解下列初值问题：(1) ， ；2()d0yxy1xe(2) ， ；sin()(3) ， ；2(4) ， .5yx(0)y解(1)这是一个齐次线性方程,整理得 ，2d(1)0yxy其通解为 ，将初始条件 代入上式，可得 ，2(1)1d2=xxyCee1xe 1C故所求特解为12x(2) 这是一阶线性非齐次方程，其中 (),Px()sinQx首先求出 (积分后，不再加任意常数 )，Pdl
10、n然后用公式(10-6)可得所求通解为 xxyCeecos将初始条件 代入上式，可得 ，故所求特解为()11Csxy(3)将 x 看作 y 的函数，即对 进行求解，可将原方程化为未知函数为()y的线性方程()，d1xy于是， 1()Py()Qy - 7 -首先求出 ，然后代入通解公式，可得所求通解为Pdlny1()dxyyC.2将初始条件 代入上式，可得 ，故所求特解为(2)1y33x(4)这是伯努利方程，以 除方程的两端,得5y即4d,x4d()1,yx令 则上述方程变为4,zy.z解此线性微分方程(过程略)，可得 ，4xxCe得所求通解为 ，将初始条件 代入上式，可得 ，441()yzxe
11、(0)1y34C故所求特解为443()x3. 通过适当变换求下列微分方程的通解：(1) ； (2) .d1yx2dyy解(1)令 则 原方程化为u1,x.1dux分离变量,得，两端积分得 2uxC以 代入上式,得通解yxu.2()y(2)这是伯努利方程，其中 ， 则有公式得通解214,(),()nPxQx()d(1)d12n nPxyeeC l 2l1)xxC().24. 求过原点的曲线，使其每一点的切线斜率等于横坐标的 2 倍与纵坐标之和.解：由题意可得方程，dyx这是一阶非齐次线性方程，其中 ，然后用公式(10-6)可得所求通解()1,P()2Qx为 - 8 -ddPxxPxyCeQe.2
12、习题 10-41. 求下列微分方程的通解：(1) ； (2) ；sinyx2cosxye(3) ； (4) ；-204(5) ； (6) =() 31解：(1) 21cos,C32in,yxx(2) ,211se 12cos,4yeCx23i .8xyx(3) 该方程是不显含 y 的方程，令 ，则 .原方程化为一阶方程py0分离变量，得.12两边积分得: 再积分一次即得原方程的通解为21pCx312yC(4) 该方程是不显含 y 的方程，令 ，则 .原方程化为一阶方程4xp整理，得，这是一阶非齐次线性方程，解得 再积分一次即得原方程的通解为12Cpx2lny(5)该方程是不显含 x 的方程，令
13、 ，则 ,原方程化为dpy2dp分离变量得 两边积分得：d2py21ypCe再由 ，解得 21dyCex212yx(6)该方程是不显含 x 的方程，令 ，则 ,原方程化为dpy3dp得 解得：221Cypy21Cyx - 9 -可解得通解为： 2211()Cyx2. 求解下列初值问题：(1) , ；cosx0,(0)1y(2) ；21x1x(3) ， .()y()y解(1)相继积分三次得出:， ，216sinxC3122cosxCx42131sinyxCx，以 代入后可得出 ，于是所求特解为(0),()0yy123,42sin2xx(2)令 代入方程并整理,有p2.px这是一阶线性非齐次方程，
14、代入公式，得 1(ln)yC由条件 得 所以1xy1,Clx两端再积分,得 2ln(l).x又由条件 得10,x,于是所求初值问题的解为 2ln(l).y(3)令 由 代入方程并化简得,pdy d.py上式为可分离变量的一阶微分方程，解得 Cy再分离变量,得 d,x由初始条件 得出(0)1y,C从而得 d,yx再两边积分,得 , ，得 从而所求特解为 .1xye(0)1 xye3. 已知平面曲线 的曲率为 ,求具有常曲率 的曲线方程.f32()y(0)K解：由题意得方程 ，令 代入方程,有32(1)Ky()px32(1)p即 解之，得32d.(1)pKx11Cp32d.()Kx - 10 -习题 10-51.下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？(1) (2) ；22,;xe,()axbe(3)
