《2017-2018年高中数学 第三章 导数及其应用 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念学案（含解析）新人教a版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 第三章 导数及其应用 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念学案（含解析）新人教a版选修1-1（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、131.1 & 3.1.2变化率问题导数的概念平均变化率提出问题假设下图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示的平面直角坐标系 A 是出发点， H是山顶爬山路线用函数 y f(x)表示自变量 x 表示某旅游者的水平位置，函数值 y f(x)表示此时旅游者所在的高度设点 A 的坐标为( x1， y1)，点 B 的坐标为( x2， y2)问题 1：若旅游者从点 A 爬到点 B，且这段山路是平直的，自变量 x 和函数值 y 的改变量 x， y 分别是多少？提示：自变量 x 的改变量为 x x2 x1，函数值的改变量为 y y2 y1.问题 2： y 的大小能否判断山路的陡峭程度？提示：不能问题 3：怎
2、样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？提示：对山坡 AB 来说， 可近似地刻画 y x y2 y1x2 x1问题 4：能用 刻画山路陡峭程度的原因是什么？ y x提示：因 表示 A， B 两点所在直线的斜率 k，显然， “线段”所在直线的斜率越大， y x山路越陡这就是说，竖直位移与水平位移之比 越大，山路越陡；反之，山路越缓 y x问题 5：从点 A 到点 B 和从点 A 到点 C，两者的 相同吗？ y x提示：不相同导入新知函数的平均变化率对于函数 y f(x)，给定自变量的两个值 x1， x2，当自变量 x 从 x1变为 x2时，函数值2从 f(x1)变为 f(x2)，我们把式子 称为函数
3、y f(x)从 x1到 x2的平均变化f x2 f x1x2 x1率习惯上用 x 表示 x2 x1，即 x x2 x1，可把 x 看作是相对于 x1 的一个“增量” ，可用 x1 x 代替 x2.类似地， y f(x2) f(x1)于是，平均变化率可表示为 . y x化解疑难1正确理解增量 x 与 y x 是自变量 x 在 x0处的改变量，不是 与 x 的乘积， x 的值可正，可负，但不能为 0. y 是函数值的改变量，可正，可负，也可以是 0.函数的平均变化率为 0，并不一定说明函数 f(x)没有变化2平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化” ，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”利用平均变化率
4、的大小可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度.导数的概念提出问题一质点的运动方程为 s83 t2，其中 s 表示位移， t 表示时间问题 1：试求质点在1,1 t这段时间内的平均速度提示： 63 t. s t 8 3 1 t 2 8 312 t问题 2：当 t 趋近于 0 时， “问题 1”中的平均速度趋近于什么？如何理解这一速度？提示：当 t 趋近于 0 时， 趋近于6.这时的平均速度即为 t1 时的瞬时速度 s t导入新知1瞬时速度的概念物体在某一时刻的速度称为瞬时速度：设物体运动的路程与时间的关系是 s s(t)，当 t 趋近于 0 时，函数 s(t)在 t0到t0 t 之间的平均变化率
5、趋近于一个常数，把这个常数称为瞬时s t0 t s t0 t速度2导数的定义函数 y f(x)在 x x0处的瞬时变化率：3 ，我们称它为函数 y f(x)在 x x0处的导lim x 0 y x lim x 0f x0 x f x0 x数，记作 f( x0)或 y| 0x x x0，即 f( x0) lim x 0 y x lim x 0.f x0 x f x0 x化解疑难导数概念的理解(1)导数是一个局部概念，它只与函数 y f(x)在 x x0处及其附近的函数值有关，与 x 无关(2)f( x0)是一个常数，即当 x0 时，存在一个常数与 无f x0 x f x0 x限接近求函数的平均变
6、化率例 1求函数 y f(x)3 x22 在区间 x0， x0 x上的平均变化率，并求当x02， x0.1 时平均变化率的值解函数 y f(x)3 x22 在区间 x0， x0 x上的平均变化率为f x0 x f x0 x0 x x03 x0 x 2 2 3x20 2 x6x0 x 3 x 2 x6 x03 x.当 x02， x0.1 时，函数 y3 x22 在区间2,2.1上的平均变化率为 6230.112.3.类题通法求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量 x 与函数值的增量 y.求平均变化率的主要步骤是：(1)计算函数值的改变量 y f(x2) f(x1)(
7、2)计算自变量的改变量 x x2 x1.(3)得平均变化率 . y x f x2 f x1x2 x1活学活用4已知函数 f(x) x ，分别计算 f(x)在自变量 x 从 1 变到 2 和从 3 变到 5 时的平均变1x化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快解析：自变量 x 从 1 变到 2 时，函数 f(x)的平均变化率为 f 2 f 12 1 ；2 12 1 11 12自变量 x 从 3 变到 5 时，函数 f(x)的平均变化率为 .f 5 f 35 3 5 15 3 132 1415因为 ，所以函数 f(x) x 在自变量 x 从 3 变到 5 时函数值变化得较快.12 1415 1x
8、求函数在某点处的导数例 2根据导数的定义求下列函数的导数(1)求函数 y x23 在 x1 处的导数； (2)求函数 y 在 x a(a0)处的导数1x解(1) y f(1 x) f(1)(1 x)23(1 23)2 x( x)2， 2 x. y x 2 x x 2 x y| x1 (2 x)2.lim x 0(2) y f(a x) f(a) 1a x 1a ，a a xa a x xa a x . y x xa a x 1 x 1a a x y| x a .lim x 0 1a a x 1a2类题通法5求函数 y f(x)在点 x0处的导数的三个步骤活学活用已知函数 y f(x) ax2
9、c 且 f(1)2，求 a 的值解： f(1) lim x 0 y x lim x 0f 1 x f 1 x lim x 0a 1 x 2 c a c x lim x 02a x a x 2 x (2a a x)lim x 02 a2. a1，即 a 的值为 1.求瞬时速度例 3若一物体的运动方程为 sError!(路程单位：m，时间单位：s)求：(1)物体在 t3 s 到 t5 s 这段时间内的平均速度；(2)物体在 t1 s 时的瞬时速度解(1)因为 s35 22(33 22)48， t2，所以物体在 t3 s 到t5 s 这段时间内的平均速度为 24(m/s) s t 482(2)因为
10、s293(1 t)3 2293(13) 23( t)212 t，所以 3 t12， s t 3 t 2 12 t t则物体在 t1 s 时的瞬时速度为s(1) (3 t12)12(m/s)lim t 0 s t lim t 0类题通法求瞬时速度的步骤6(1)求位移增量， s s(t0 t) s(t0)；(2)求平均速度， ；v s t(3)取极限， ；lim t 0 s t lim t 0s t0 t s t0 t(4)若极限存在，则 t0时刻的瞬时速度为 v .lim t 0 s t活学活用一质点按规律 s(t) at21 做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t2 s 时的瞬
11、时速度为 8 m/s，求常数 a 的值解：因为 s s(2 t) s(2) a(2 t)21 a2214 a t a( t)2，所以 4 a a t. s t故在 t2 s 时，瞬时速度为 s(2) 4 a(m/s)lim t 0 s t由题意知，4 a8，所以 a2.6.导 数 的 概 念 理 解 不 明典例已知 f(x)在 x x0处的导数为 4，则_.lim x 0f x0 2 x f x0 x解析 lim x 0f x0 2 x f x0 x lim x 0f x0 2 x f x02 x 22 lim x 0f x0 2 x f x02 x2 f( x0)248.答案8易错防范1本题
12、中 x 的增量是 2 x，即( x02 x) x02 x，而分母为 x，两者不同，若7忽视这一点，则易得出结论为 4 的错误答案2在导数的概念中，增量的形式是多种多样的，但无论是哪种形式，分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致成功破障求 .lim x 0f x x f x x解：令 x h，则 lim x 0f x x f x x limh 0f x h f x h limh 0f x h f xh f( x)随堂即时演练1已知函数 y2 x21 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1 x，1 y)，则 等于 y x()A4 B4 xC42 x D42( x)2解析：选 C 42 x. y
13、 x 2 1 x 2 1 1 x2如果函数 y ax b 在区间1,2上的平均变化率为 3，则 a 的值为()A3 B2 C3 D2解析：选 C根据平均变化率的定义，可知 a3. y x 2a b a b2 13一物体的运动方程为 s7 t28，则其在 t_时的瞬时速度为 1.解析： 7 t14 t0， s t 7 t0 t 2 8 7t20 8 t当 (7 t14 t0)1 时， t0 .lim t 0 114答案：11484已知曲线 y 1 上两点 A ， B2 x， y，当 x1 时，割线 AB1x (2， 12) 12的斜率为_解析： x1,2 x3， y (13 1) (12 1) .23 12 16kAB . y x 16答案：165求 y f(x)2 x21 在
