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1、 数学史与数学文化论文教学单位 电子信息工程学院姓 名 马劭劼 学 号 10212072 班 级 _ 自动化 1003 指导教师 彭明书 时 间 2012 年 12 月 联系方式 15810916595 解析几何的发展简述一、 引言我们今天所学到的数学，都是前人根据理论根据实践总结出来的有一定体系的科学，我们从小接触的数学仅仅是大海里的一滴水。其中几何的概念也是我们慢慢从实际的问题中总结出来的一种知识与科学。作为几何，可以说发展的时间并不算长，但是它应用的范围比较广，这是我们慢慢找寻理论意义，从中发现财富的一个最切实的例子。二、主要内容说起解析几何的发展，我必须从几个方面起分别进行阐述，首先是
2、局部到整体的理念变化。以及重要的拓扑概念的建立。其次是从平面到立体，也就是维度的变化。之后是交换与线性，两个方面进行讨论，这也是现代数学与古代数学相比改变最大的两个特点。下面我就分别的开始进行分析。1、从局部到整体作为开始，我准备列一些主题并且围绕它们来讨论。我谈论的第一个主题概括地讲，就是被大家称为从局部到整体的转变。在古典时期，人们大体上已经研究了在小范围内，使用局部坐标等等来研究事物。在这个世纪，重点已经转移到试图了解事物整体和大范围的性质。由于整体性质更加难以研究，所以大多只能有定性的结果，这时拓扑的思想就变得非常重要了。正是 Poincare，他不仅为拓扑学发展作出先驱性的贡献，而且
3、也预言拓扑学将成为二十世纪数学的一个重要的组成部分，顺便让我提一下，给出一系列著名问题的Hilbert 并没有意识到这一点。拓扑学很难在他的那些问题中找到具体体现但是对Poincare 而言，他相当清楚地看出拓扑学将成为一个重要的内容。 让我试着列一些领域，然后大家就能知道我在想什么了。例如，考虑一下复分析（也被称为“函数论” ） ，这在十九世纪是数学的中心，也是象 Weierstrass 这样伟大人物工作的中心。对于他们而言，一个函数就是一个复变量的函数；对于 Weierstrass 而言，一个函数就是一个幂级数。它们是一些可以用于写下来，并且可以明确描绘的东西或者是一些公式。函数是一些公式
4、:它们是明确可以用显式写下来的。然而接下来 Abel、Riemann 和其后许多人的工作使我们远离了这些，以至于函数变得可以不用明确的公式来定义，而更多地是通过它们的整体性质来定义：通过它们的奇异点的分布，通过它们的定义域位置，通过它们取值范围。这些整体性质正是一个特定函数与众不同的特性。局部展开只是看待它们的一种方式。 一个类似的事情发生在微分方程中，最初，解一个微分方程，人们需要寻找一个明确的局部解！是一些可以写下来的东西随着事物的发展，解不必是一个显函数，人们不一定必须用好的公式来描述它们。解的奇异性是真正决定其整体性质的东西。与发生在复分析中的一切相比，这种精神是多么的类似，只不过在细
5、节上有些不同罢了。 在微分几何中，Gauss 和其他人的经典工作描述了小片的空间，小块的曲率以及用来描述局部几何的局部方程。只要人们想要了解曲面的整体图象以及伴随它们的拓扑时，从这些经典结果到大范围的转变就是很自然的了。当人们从小范围到大范围时，最有意义的性质就是拓扑的性质。 数论也有一个类似的发展，尽管它并不是很明显地适用于这一框架。数论学家们是这样来区分他们称之为“局部理论”和“整体理论”的：前者是当他们讨论一个单个的素数，一次一个素数，以及有限个素数时；后者是当他们同时讨论全部素数时。这种素数和点之间，局部和整体之间的类似性在数论发展过程中起了很重要的作用，并且那些在拓扑学发展中产生的思
6、想深深地影响了数论。 当然这种情况也发生在物理学中，经典物理涉及局部理论，这时我们写下可以完全描述小范围性质的微分方程，接下来我们就必须研究一个物理系统的大范围性质。物理学涉及的全部内容就是当我们从小范围出发时，我们可以知道在大范围内正在发生什么，可以预计将要发生什么，并且沿着这些结论前进。2、维数的增加 我的第二个主题有些不同，我称之为维数的增加。我们再次从经典的复变函数理论开始：经典复变函数论主要是详细讨论一个复变量理论并加以精炼。推广到两个或者更多个变量基本上发生在本世纪，并且是发生在有新现象出现的领域内。不是所有的现象都与一个变量的情形相同，这里有完全新的特性出现，并且 n 个变量的理
7、论的研究越来越占有统治地位，这也是本世纪主要成就之一。 另一方面，过去的微分几何学家主要研究曲线和曲面，我们现在研究 n 维流形的几何，大家仔细想一想，就能意识到这是一个重要的转变。在早期，曲线和曲面是那些人们能真正在空间里看到的东西。而高维则有一点点虚构的成分，在其中人们可以通过数学思维来想象,但当时人们也许没有认真对待它们。认真对待它们并且用同样重视程度来研究它们的这种思想实际上是二十世纪的产物。同样地，也没有明显的证据表明我们十九世纪的先驱者们思考过函数个数的增加，研究不单单一个而是几个函数，或者是向量值函数(vector-valued function)。所以我们看到这里有一个独立和非
8、独立变量个数增加的问题。 线性代数总是涉及多个变量，但它的维数的增加更具有戏剧性，它的增加是从有限维到无穷维，从线性空间到有无穷个变量的 Hilbert 空间。当然这就涉及到了分析,在多个变量的函数之后，我们就有函数的函数，即泛函。它们是函数空间上的函数。它们本质上有无穷多个变量，这就是我们称为变分学的理论。一个类似的事情发生在一般（非线性）函数理论的发展中。这是一个古老的课题，但真正取得卓越的成果是在二十世纪。这就是我谈的第二个主题。3、从交换到非交换第三个主题是从交换到非交换的转变。这可能是二十世纪数学，特别是代数学的最主要的特征之一。代数的非交换方面已经极其重要，当然，它源自于十九世纪。
9、它有几个不同的起源。Hamilton 在四元数方面的工作可能是最令人惊叹的，并且有巨大的影响，实际上这是受处理物理问题时所采用的思想所启发。还有 Grassmann 在外代数方面的工作，这是另一个代数体系，现在已经被融入我们的微分形式理论中。当然，还有 Cayley 以线性代数为基础的矩阵方面的工作和 Galois 在群论方面的工作等。 所有这些都是以不同的方式形成了把非交换乘法引入代数理论的基石，我形象地把它们说成是二十世纪代数机器赖以生存的“面包和黄油” 。我们现在可以不去思考这些，但在十九世纪，以上所有例子都以各自不同的方式取得了重大的突破，当然，这些思想在不同的领域内得到了惊人的发展。
10、矩阵和非交换乘法在物理中的应用产生了量子理论。Heisenberg对易关系是非交换代数在物理中的一个最重要的应用例子，以至后来被 vonNeumann 推广到他的算子代数理论中。群论也是在二十世纪占重要位量的理论，我稍后再回来谈它。4、从线性到非线性我的下一个主题是从线性到非线性的转变。古典数学的大部分或者基本上是线性的，或者即使不是很精确的线性，也是那种可以通过某些扰动展开来研究的近似线性，真正的非线性现象的处理是非常困难的，并且只是在本世纪，才在很大的范围内对其进行了真正的研究。 我们从几何开始谈起：Euclid 几何，平面的几何，空间的几何，直线的几何，所有这一切都是线性的。而从非欧几何
11、的各个不同阶段到 Riemann 的更一般的几何，所讨论的基本上是非线性的在微分方程中，真正关于非线性现象的研究已经处理了众多我们通过经典方法所看不到的新现象。在这里我只举两个例子，孤立子和混沌，这是微分方程理论两个非常不同的方面，在本世纪已经成为极度重要和非常著名的研究课题了。它们代表不同的极端。孤立子代表非线性微分方程的无法预料的有组织的行为，而混沌代表的是无法预料的无组织的行为(disorganized behavior)。这两者出现在不同领域，都是非常有趣和重要的，但它们基本土都是非线性现象。我们同样可以将关于孤立子的某些工作的早期历史追溯到十九世纪下叶，但那只是很少的一部分。 当然，
12、在物理学，Maxwell 方程（电磁学的基本方程）是线性偏微分方程。与之对应的是著名的 Yang-Mills 方程，它们是非线性方程并被假定用来调控与物质结构有关的力。这些方程之所以是非线性的，是因为 Yang-Mills 方程本质上是 Maxwell 方程的矩阵体现，并且由矩阵不可交换这一事实导致方程中出现非线性项。于是在这里我们看到了一个非线性性与非交换性之间的有趣的联系。非交换性产生一类特殊的非线性性，这的确是很有意思和很重要的.三、总结我现在作一个简短的总结。让我概括地谈谈历史：数学究竟发生了什么？我相当随意地把十八世纪和十九世纪放在了一起，把它们当做我们称为古典数学的时代，这个时代是
13、与 Euler 和 Gauss 这样的人联系在一起的，所有伟大的古典数学结果也都是在这个时代被发现和发展的。有人也许认为那几乎就是数学的终结了，但是相反地，二十世纪实际上非常富有成果，这也是我一直在谈论的。二十世纪大致可以一分为二地分成两部分。我认为二十世纪前半叶是被我称为“专门化的时代” ，这是一个 Hilbert 的处理办法大行其道的时代，即努力进行形式化，仔细地定义各种事物，并在每一个领域中贯彻始终。正如我说到过的，Bourbaki 的名字是与这种趋势联系在一起的在这种趋势下，人们把注意力都集中于在特定的时期从特定的代数系统或者其它系统能获得什么。二十世纪后半叶更多地被我称为“统一的时代
14、” ，在这个时代，各个领域的界限被打破了，各种技术可以从一个领域应用到另外一个领域，并且事物在很大程度上变得越来越有交叉性。我想这是一种过于简单的说法，但是我认为这简单总结了我们所看到的二十世纪数学的一些方面。二十一世纪会是什么呢？我已经说过，二十一世纪是量子数学的时代，或者，如果大家喜欢，可称为是无穷维数学的时代。这意味着什么呢？量子数学的含义是指我们能够恰当地理解分析、几何、拓扑和各式各样的非线性函数空间的代数，在这里， “恰当地理解” ，我是指能够以某种方式对那些物理学家们已经推断出来的美妙事物给出较精确的证明。有人要说，如果用天真幼稚的方式(naive way)来研究无穷维并问一些天真
15、幼稚的问题，通常来讲，只能得到错误的答案或者答案是无意义的，物理的应用、洞察力和动机使得物理学家能够问一些关于无穷维的明智的问题，并且可以在有合乎情理的答案时作一些非常细致的工作，因此用这种方式分析无穷维决不是一件轻而易举的事情。我们必须沿着这条正确的道路走下去。我们已经得到了许多线索，地图已经摊开了：我们的目标已经有了，只不过还有很长的路要走。 还有什么会发生在二十一世纪？我想强调一下 Connes 的非交换微分几何Alain Connes 拥有这个相当宏伟的统一理论同样，它融合了一切它融合了分析、代数、几何、拓扑、物理、数论，所有这一切都是它的一部分。这是一个框架性理论，它能够让我们在非交换分析的范畴里从事微分几何学家通常所做的工作，这当中包括与拓扑的关系。要求这样做是有很好的理由的，因为它在数论、几何、
