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1、 三角函数求值域专题求三角函数值域及最值的常用方法：（1） 一次函数型：或利用为： ， xbaycossin)sin(2xba利用函数的有界性或单调性求解；化为一个角的同名三角函数形式，（1）： ，5)123sin(xyxi（2） co4（3）.函数 xyssi在区间 0,2上的最小值为 1 （4）函数 tan()24且 )的值域是_ (,1,)（2）二次函数型：化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解；二倍角公式的应用：如： （1） xy2cosin（2）函数 )(1)(Rxf 的最大值等于 43（3）.当 20时，函数 xxf2sin8co)的最小值为 4
2、（4）.已知 k4，则函数 ycos2 x k(cosx1)的最小值是 1 （5）.若 ，则 cos6i的最大值与最小值之和为_2_（3）借助直线的斜率的关系用数形结合求解；型如 型。此类型最值问题可考虑如下几种解法：dxcbafosin)(转化为 再利用辅助角公式求其最值；c利用万能公式求解；采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。例 1：求函数 的值域。sinco2xy解法 1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点 P(cosx, sinx)与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过 Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数得最值，由几何知识，易求得过 Q
3、 的两切线得sinco2xy斜率分别为 、 。结合图形可知，此函数的值域是3。,解法 2：将函数 变形为 ，sinco2xycosin2yxy由 ，解得：2sin()1x2|i()1()，故值域是3y3,解法 3：利用万能公式求解：由万能公式 ， ，代入21sintx21costx得到 则有 知：当 ，则 ，满足条sinco2xy213ty20yt t0y件；当 ，由 ， ，故所求函数的值域是0t40 3。3,解法 4：利用重要不等式求解：由万能公式 ， ，代入21sintx21costx得到 当 时，则 ，满足条件；当 时，sinco2xy213ty0ty0t，如果 t 0，则 ，13()t
4、t2313()tt此时即有 ；如果 t 0，则 ，此时有0y23()()yttxQPyO。综上：此函数的值域是 。30y3,例 2.求函数 2cos(0)inx的最小值分析：利用函数的有界性求解解法一：原式可化为 sic2()yxx，得 21sin()2yx，即2sin()1x，故 2y，解得 3y或 （舍） ，所以 y的最小值为 3解法二： cos(0)inx表示的是点 (0,2)A与 (sin,co)Bx连线的斜率，其中点 B 在左半圆 21ab上，由图像知，当 AB 与半圆相切时， y最小，此时3Ak，所以 y的最小值为 3点评：解法一利用三角函数的有界性求解；解法二从结构出发利用斜率公
5、式，结合图像求解（4）换元法代数换元法代换： 令： 再xxycosincosi ttytx21,cosin则用配方、例题：求函数 sisi的最大值解：设 sincoxt(2)t，则21sincotx，则 21yt，当 2t时， y有最大值为 1 （5）降幂法型如 型。此类型可利用倍角公式、降幂公式进)0(cosinsi2 axbxay行降次、整理为 再利用辅助角公式求出最值。2AB型例 1：求函数 的最值，并)247(cosin4si35)(2 xxf求取得最值时 x 的值。分析：先化简函数，化成一个角的一种函数再由正弦，余弦函数的有界性，同时应注意角度的限定范围。解：由降幂公式和倍角公式，得
6、 xxf 2sinco132cos135)( in2x)6s(4 ， ，27x43623 21)6cos(2x 的最小值为 ，此时 ， 无最大值。()f7x)f例 2. 已知函数 2()sin3cos4fx， 42， （I）求 f的最大值和最小值； （II）若不等式 ()2fxm在 4x， 上恒成立，求实数 m的取值范围分析：观察角，单角二次型，降次整理为 sincosabx形式 解：（） ()1cos2321in3cos2fxx x 12sin3 又 42x， ， 263x ，即 12sin3x ，maxmin()3()ff， （） 2()()2ffxfx ， 4，max()f 且 minf
7、，14 ，即 的取值范围是 (14)（5）典型应用题扇形 AOB的半径为 1，中心角为 60， PQRS是扇形的内接矩形，问 P在怎样的位置时，矩形 PQRS的面积最大，并求出最大值分析：引入变量 x，建立目标函数解：连接 ，设 ，则 sinSx， cosOx，3cosinRSx 33(i)ssin(2)6xx，03xQ，所以当 6时， P在圆弧中心位置， max6S点评：合理引进参数，利用已知条件，结合图形建立面积与参数之间的函数关系式，这是解题的关键类型 6：条件最值问题（不要忘了条件自身的约束） 。例 1. 已知 1sin3xy，求 2sincoyx的最大值与最小值分析：可化为二次函数求
8、最值问题解：（1）由已知得： sisi， i1,Q，则 2sin,13xABO R SPQ221sinco(sin)yx，当 1sin2x时， 2sincoyx有最小值 12；当3时， coyx有最小值 49例 2：已知 ，求 的取值范围。sisii2222sii分析：用函数的思想分析问题，这是已知关于 sin ， sin 的二元条件等式求二元二次函数的值域问题，应消元，把二元变一元，注意自变量的范围。解： ， sinsiin322sini23i1si02 3sin01sini232 解 得 21)(si21ii2s y 。3i0sin=0 时， ； 时， 。0miny3si94maxy 94
9、sini022例 3 ：求函数 的最大值和最小值，并指出当 x 分别为何值时取到最大值和x1最小值。解：定义域为 0x1，可设 且x2cos20，22sinco1x0 )4sin(ci y ， ， 即20434122y当 或 ，即 =0 或 （此时 x=1 或 x=0） ，y=1；当 ，即 时， （此时 ） ， ，1xy当 x=0 或 x=1 时，y 有最小值 1；当 时，y 有最大值 。22评析：利用三角换元法求解此类问题时，要注意所设角的取值范围，要同原函数定义域相一致，尽量恰到好处。【反馈演练】1函数 )(6cos)3sin(2Rxxy的最小值等于_1_2已知函数 if， 3)in2g，
10、直线 mx和它们分别交于 M， N，则maxMN_3当 04时，函数2cos()inxfx的最小值是_4 _4函数 sinco2y的最大值为_，最小值为_.5函数 tax的值域为 . 6已知函数 11()sinco)|sinco|22fxx，则 ()f的值域是 .7已知函数 i(0fx在区间 ,34上的最小值是 2，则 的最小值等 于_ 328 （1）已知 (0,)，函数 2sin13y的最大值是_.（2）已知 ,x，函数 isx的最小值是_3_.9在 OAB 中， O 为坐标原点， 2,0(),1(in),co,1(BA，则当 OAB 的面积达最大值时， _ 10已知函数 ()2cs(ins
11、)fxxxR，133(,) 2,1（）求函数 ()fx的最小正周期；（）求函数 f在区间 384，上的最小值和最大值解：（） ()2cos(incs)1in2cos2in4fxxxx因此，函数 f的最小正周期为 （）因为 ()2sin4fxx在区间 38，上为增函数，在区间 384，上为减函数，又 08f， 328f， 2sin2cos14f，故函数 ()fx在区间 4，上的最大值为 ，最小值为 1解法二：作函数 在长度为一个周期的区间 上的图象如下：()2sinfxx984，由图象得函数 在区()fx 间 上384，的最大值为 ，最小值为 2314fy xO2211若函数 )4sin(i)2
12、sin(co1)( 2xaxxf 的最大值为 32，试确定常数a 的值.解： )4sin(i)2sin(1co)( 2xaxxf )4sin(cosi)si(icos 2xaxi)24in)4in(22xax因为 f的最大值为 si(,3的最大值为 1，则 ,32a所以 ,3a12已知函数 2()sinifxx（1）若 0,求使 ()f为正值的 的集合；（2）若关于 x的方程 20xa在 ,4内有实根，求实数 a的取值范围.解：（1） ()1cosinf12sin()x 02i()04fxx2i4524kk3x又 0,2. 7(0,)(,)4（2）当 ,4x时， ,x 2sin2,3x则 ()
13、0,2fx， 2()0,6fxf 方程 a有实根，得 )(2xffa 6,a 【高考赏析】（1） （本小题满分 13 分）设函数 （其中 ） ，且 的图象2()3cosinfxxcosx0,R()fx在 轴右侧的第一个最高点的横坐标为 。y6（I）求 的值。（II）如果 在区间 上的最小值为 ，求 的值。()fx5,33（本小题 13 分）1()cos2in23 in 2,621 .fxx解 ： （ I）依 题 意 得解 之 得 3 )257 ,0,3661 sin()1,2513 ),3621 .2xxfx（ I)由 （ I） 知 f()=si+又 当 时 ，故从 而 在 上 取 得 最 小 值因 此 ， 由 题 设 知 故2.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= sin(2x )+2sin2(x ) (xR)3 6 12()求函数 f(x)的
