《非线性,非交换非结合,无穷维,整体》由会员分享，可在线阅读，更多相关《非线性,非交换非结合,无穷维,整体（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1936-2002年的 45位菲尔兹奖得主http:/ 实际上，非线性问题是一个更为广阔且更具挑战性的领域，与其巨大的多样性与复杂性相比，线性算子理论不过是一个序章而已. 时至今日，线性算子理论已相当系统与完整；对非线性算子的研究，亦积累了大量的材料.对于非线性算子的最初探讨，多少表现于对线性算子理论的借鉴与仿效. 如将线性算子理论的某些观念与方法，移用于非线性算子；在局部范围内，运用线性化方法，将非线性问题转化为线性问题. 这些努力已获得相当的成功，但亦表现出的明显的局限. 深入的研究日益显示出非线性算子与线性算子的深刻差别；非线性理论中一些复杂问题的解决，越来越依赖于新观念的创设与新方法的
2、开发. 本章只介绍一些基本知识，有兴趣的读者可参阅有关非线性泛函分析的专书.非线性方法运用 Frechet导数方法，将一个非线性问题用 Frechet导数在局部转化为线性问题，将非线性问题在局部得到解决，这与经典的数学分析相类似.本书介绍的有压缩映射原理，Frechet 导数，隐函数，不动点原理和单调算子等处理非线性问题的方法.非线性算子 一些基本问题：（1）代数学中同态的思想及意义是什么？对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但可构造一个单同态？同态与同构的关系类似于同伦与同胚的关系吗，？同态是等价关系吗 同态是从一个代数结构（比如说群、或者线性空间）到另一个相同的代数结构的映射，这个映射
3、的象保持着和它的原象一样的运算性质。比如说，若 f是群 A到群 B的映射，若 f(a*b)=f(a)*f(b)的话，f 就称为 A到B的同态。若 f是代数结构 A到代数结构 B的同态，且 f是一一对应（或者叫双射），f就称为 A到 B的同构。两个群的乘法可用一个满映射对应，即此满映射保持群乘法不变，两个群称为同态。粗略的说，此时两个群可以是不一样大的，如 n个群元群 F可和 m个群元群 G对应（可以多对一），只需 F中两元素乘积（？的映射），等于两元素映射后（此时属于 G）的乘积。以上的满映射若还是一一对应的，此时两个群称为同构。此时，两个群大小相同，乘法一样，数学上可视作等价。例如，空间反演
4、群和二阶循环群同构（2）？Banach 代数一定是结合的，不一定是交换的，不一定有单位元。从这个意义上说，有单位元的 Babach代数只有三种；有单位元的二维欧氏空间上的Babach代数本质上只有一种：(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)。？高于四维的 Babach代数（属结合代数）必定含有八元数（非结合非交换）？代数引入额外的拓扑结构或空间引入额外的代数结构形成一个有用的数学结构的例子：Banach 代数、拓扑线性空间、拓扑群、李群（3）外代数是非交换（反交换、反对称性）、不可除、但结合的代数，外积/楔积 ab 适用于任何 Rn,乘法结果是一个？两个三/七维空间中向量的叉积可以用
5、对应的两个四元数的乘积（实部去掉）表示，三维空间中向量的叉积（向量积，三/七维空间特有，不满足交换性、不满足结合性）是一个向量而不是数。具有向量加法和叉积的 R3构成了一个李代数（非交换非结合）。（4）外代数一定是非交换结合代数；问题是李代数一定是非交换（反交换律）非结合（？）代数吗？（5）与（线性）代数的表示（同构）有关的问题：线性代数的解析几何表示；有限维空间的矩阵代数（在维数上）推广为冯诺依曼算子代数；从零阶张量、一阶张量、二阶张量（在集合 V的元素上）推广为张量代数。“代数只关心运算规则的演绎，而不管参与运算的对象”（？从结构与表示理论的观点来看，是不全对的）（6）群论/分析/线性代数
6、的基础运算是乘法/极限/加法和数乘，同态映射/连续函数/线性变换是保持基础运算的映射。（7）线性空间同构、代数不同构的例子？性质简单的代数结构嵌入性质复杂的代数结构中的例子？利用性质复杂的代数结构中/之间的映射研究性质简单的代数结构中/之间的映射的例子？任何群都同构于一变换群，那么任何一线性空间都同构于一算子空间（张量空间）吗？任何一代数都同构于一算子代数（张量代数）吗？群之间的映射/线性空间中的映射/群嵌入线性空间？对偶线性空间的概念推导出“对偶群”的概念 （8）关于几何化猜想的内涵？整体不同胚的 2维流形有且仅有 3种吗？在 2-维的情形，只有三种不同的模型，它们是：E2、 S2 、H2，
7、 分别称为欧氏几何模型，球面几何模型、双曲几何模型。按照 Klein的埃尔朗根纲领，每一种几何对应一个群。拓扑学中的几何化猜想与埃尔朗根纲领、有限单群分类定理之间的联系？ 几何就是研究图形在相应群作用下不变性质的学科。例如，欧氏平面几何E2，它的群是刚体变换群，由平移、旋转、反射构成。在这个群下不变的性质主要是长度和夹角。 同样是这个集合 E2, 如果你的群是仿射变换群，就得到仿射几何。在这种几何中，圆与椭圆被认为是“全等的”。 以上两种几何具有相同的点集 E2（但群不同），我们就把 E2称为这两种几何的共同“模型”。 以 E2为模型的几何空间还有 2-维环面， 就是轮胎了。 1970年，美国
8、数学家威廉瑟斯顿（William Thurston，1946.10.30-，1982年 Fields奖得主）提出几何化猜想，指出庞加莱猜想只是几何化猜想的一个特例。认为任何空间都可还原成少数几个基本的图形。每个几何空间都有一种模型。在三维的情形，共有八种不同的几何模型。（？几何空间有无限多，但模型只有八个）。 瑟斯顿猜测，8 种不同的形状就可构成（？怎么构成，局部构成整体）任何的三维空间。每个紧致 3-流形（3-维几何空间，？是所有的 3维流形吗）都可以分解成一些块块，使得每块上都有这八种几何之一。具有其中六种模型的几何空间的分类问题，较早就解决了。 以 S3 、H3 为模型的分类问题，包含更
9、著名的 Pioncare猜想，也被俄罗斯数学家 Perelman解决。 Sn表示 n维球面，En 可以理解为 n维欧氏空间。 S2E1表示纤维积（？有一串球面，他们用一条直线串联起来） 6.特殊线性群SL(2,R)的覆盖群上左不变黎曼度量7.Nil, (nilpotent)幂零几何，对应的群是 Heisenberg幂零群。 8.Sol, (solvable)可解几何，对应的三维可解群。 美国数学家威廉瑟斯顿（William Thurston，1946.10.30-，1982/1983 年Fields奖得主）与低维拓扑Thurston的主要贡献在于蕴涵Poincare 猜想在内的几何化猜想. 几
10、何化 不是三维流形理论的终结, 而是一个新的开始, 我们现在解开束缚, 可以完全自由地讨论三维流形的分类问题了.1967年，Thurston 从 New College of Sarasota, Florida获得他的生物学士学位. 据他自己所述, 这个学校非常重视独立研究, 所以在本科期间他读了不少数学书. 毕业以后去加州伯克力攻读数学博士. Thurston的博士和博士后期间的工作都是关于 分叶结构 的. 1970年，提出几何化猜想，指出庞加莱猜想只是几何化猜想的一个特例。Thurston因为得出了对庞加莱几何结构猜想的部分证明结果而获得菲尔兹奖。Thurston对一般流形上叶状结构的存在
11、、性质及其分类得出了普遍结果（特别是对三维闭流形的拓扑分类作出了贡献）。Thurston对叶状结构理论及证明史密斯（Smith）猜想作出了贡献。美国数学家威廉瑟斯顿（William Thurston，1946.10.30-，1982/1983 年Fields奖得主）博士期间研究的分叶结构是三维流形上的, 这些研究使得他对三维流形的内部构造有了非常敏锐的感觉, 这种感觉把他引至关于三维流形的几何结构的研究, 从而发现了最令人吃惊的结果原来绝大多数不可约三维流形都具有双曲度量. 当 Riemann在 1854年提出他的 流形 概念的时候,他把当时人们还不能接受的双曲几何 (即非欧几何)作为他的一般
12、 度量 概念的一个非常特殊的情形,他绝对不会想到在三维,我们人类存在的空间维数,双曲几何是如此普遍的存在.而当 Poincare将双曲几何从故纸堆里翻出来进行系统研究的时候,他也不会想到这个几何结构同他另一个关心的问题(Poincare 猜想)正好构成三维流形分类过程中两个互补的方面. 这个故事中有一个普遍规律, 就是博士期间研究课题的重要性(这里说的博士期间准确说应该是整个研究生期间,包括硕士和博士.美国的博士几乎都是直博, 严肃的研究生来说, 直博肯定更好).这个课题最好比较容易上手,同时又比较有深度.这里的 深度 可以这么理解: 它同某个领域里最核心的问题有微妙的关系. 这个课题又不能太深, 比如说它最好不要是某个领域最核心的问题, 核心问题通常是不能被直接攻击的, 必须迂回, 在博士期间直接攻击这种问题就是自毁前程. 这个课题最好需要一些特别的技巧 (多数人不会的技巧, 多半来自于导师的直接传授), 在整个博士研究过程中, 这些技巧慢慢被自己吸收, 发展, 成为自己的一套思维方式. 在博士毕业之后的一段独立研究中, 运用这一套思维方式来试探前人提出的一些相关问题, 由于这一套观点和技巧来源于自己长期 (4-5 年) 对一个问题的深入研究, 它们已经成为威力强大的工具, 解决相关问题的希望是很大的.
