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1、11第 2 章一维随机变量 习题 2一. 填空题:1.设 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 函 数 是 , 则 用 F (x) 表 示 xPF概 = _。 解:0xP00xF2.设 随 机 变 量 的 分 布 函 数 为 则 xarctg12P 00, 则 C 的 值 应 是 _ e_。解: eekkkPKKK !1!10005 设 随 机 变 量 的 分 布 律 是 4,321,AP则 = 0.8 。251P解: AAkk 16584141 令 得 56212pP 8.04156.若 定 义 分 布 函 数 , 则 函 数 F(x)是 某 一 随 机 变 量 的 分 xPF布 函 数
2、的 充 要 条 件 是 F ( x ) 单 调 不 减 , 函 数 F (x) 右 连 续 , 且 F ( ) = 0 , F ( + ) = 1127. 随机变量 ,记 ,) ,a(N2aP)(g则随着 的增大, 之值 保 持 不 变 。()8. 设 N ( 1, 1 ),记 的概率密度为 ( x ) ,分布函数为 F ( x ),则 0.5 。P9、分别用随机变量表示下列事件(1)观察某电话总机每分钟内收到的呼唤次数,试用随机变量表示事件.“收到呼唤 3 次”,“收到呼唤次数不多于 6 次”X kXk60U(2)抽查一批产品,任取一件 检查其长度,试用随机变量表示事件.“长度等于 10cm
3、” = ;10“长度在 10cm 到 10.1cm 之间 ” = .10X(3)检查产品 5 件, 设 A 为至少有一件次品,B 为次品不少于两件,试用随机变量表示事件.,BU解: 0一 2XB一2X1A一UAB一10 、一袋中装有 5 只球,编号为 1,2,3,4,5,在袋中同时取 3 只,以 x 表示取出的 3 只球中的最大号码,则 X 的分布律为:X 3 4 5kp1010613二. 计算题:1、将一颗骰子抛掷两次,以 表示两次所得点数之和,以 表示两次中得到的小的点数, 试分1X2X别写出 的分布律.21,X2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12kp6336534632612
4、、设在 15 只同类型的零件中有 2 只次品,在其中取 3 次,每次任取一只,作不放回抽样,以 X 表示取出次品的只数.求 X 的分布律;.X 0 1 2kp353523513、(1)设随机变量 X 的分布律为: 为常数, 试确定常数 .0,k,!aPLa解: 因 , 故 0k0k0k 1!aee(2)设随机变量 X 的分布律为: ,试确定常数 .N,2,PLa1aaN1akPk1N1k 4、飞机上载有 3 枚对空导弹,若每枚导弹命中率为 0.6,发射一枚导弹如果击中敌机则停止,如果未击中则再发射第二枚,再未 击中再发射第三枚,求 发射 导弹数的分布律.X 1 2 3kp0.6 0.24 0.
5、165、汽车需要通过有 4 盏红绿信号灯的道路才能到达目的地。设汽车在每盏红绿灯前通过( 即遇到绿灯)的概率都是 0.6;停止前 进( 即遇到红灯)的概率为 0.4,求汽车首次停止前进(即遇到红灯,或到达目的地)时,已通过的信号灯的分布律.解:汽车在停止前进时已通过的信号灯数是一个随机变量,用 x 表示 x 可取值为 0,1,2,3,4,又设 A 的表示事件:汽车将通过时 第 i 盏信号灯开绿灯, 4,321n由题意 4.0)(,6.)(nnAP14表示已通过的信号灯数是 0(即第一盏信号灯是红灯),故0x 4.0(01APx表示已通过的信号灯数是 1(即第一盏信号灯是绿灯,而第二 盏是红灯)
6、, 故1.406.)()(212APAP同理 4.6)(23213 AP03 344x21 .)(4于是 x 的分布律为 k,6.0,1kxP4即x 0 1 2 3 4kp0.4 0.24 0.144 0.0864 0.12966、自动生产线调整以后出现废 品的机率为 ,生 产过程中出 现废品时立即重新进行调整,求两p次调整之间生产的合格品数的分布律.x 0 1 2 k kpp)()( p)1(7、一大楼内装有 5 个同类型的供水 设备。 调查表明在任一 时刻 t 每个设备被使用的概率为 0.1,问在同一时刻:(1)恰有两个设备被使用的概率是多少? 0729.).(102325CxP(2)至少
7、有 3 个设备被使用的概率是多少? 856.)9.(9.0)1()9.0(1 0545235 CxP(3)至多有 3 个设备被使用的概率是多少? 4.)1.(.)() 545x(4)至少有 1 个设备被使用的概率是多少? 09.).(1055CxP8、设事件 A 在每一次试验中发生的概率为 0.3,当 A 发生不少于 3 次时,指示灯 发出信号,(1)进行了 5 次独立试验,求指示灯发出信号的概率.(2)进行 7 次独立试验,求指示灯发出信号的概率.解:(1) 5 次独立 试验,指示灯 发出信号= 163.0).(7.0)()7.0(354525 C(2) 7 次独立 试验,指示灯发 出信号P
8、3.6.)7.0(3127107 CC159、设某批电子管正品率为 ,次品率 为 ,现对这批电子管进行测试,只要测得一个正品,管子431就不再继续测试,试求测试次数的分布律 .解:解:设测试次数为 x,则随机变量 x 的可能取值为: ,当 时,相当于 前 L,321kx1k次测得的都是次品管子,而第 k 次测得的是正品管子的事件,43)1(kXP),21(L10、每次射击命中率为 0.2,必须进行多少次独立射击,才能使至少击中一次的命中率,(1)不小于 0.9? (2)不小于 0.99?解:已知 n 次独立射击中至少击中一次的概率为 ;nnP)8.0(1)2.(1(1)要使 ,必 须 ,即射击
9、次数必须不小于 次.9.0)8.(1nP3.08.lgn 1(2)要使 ,必须 ,即射击次数必须不小于.).(n 64.2.l1次21n11、电话站为 300 个用户服务 ,在一小 时内每一电话用户使用 电话的概率等于 0.01,试用泊松定理近似计算,在一小时内有 4 个用户使用电话的概率.解:由二项分布得 knqpCkxP 2964430).(1.CxP现用泊松定理近似计算, ,故1.0,3npQ168.0!43exP12、某一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001,在某天的该段时间内有 1000 辆汽车通过, 问出事故的次数不小于 2 的概
10、率是多少?(利用泊松定理计算)解:设 x 为发生事故的次数, 则 kkkCxP1010)9.().(用泊松定理计算, .10np 468.2 1.0. eP13 设 X 服从泊松分布,且已知 ,求2XP解: ,由 ,得 ,!kex1xP!2!116)0,(0,2一一 093.!42exP14、. 求离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 律 为 , ( k = 1, 2, ), 的 kb充 分 必 要 条 件。解:由 1kbP0且 1k b11b0k1k且 b 0b15 设服从参数 = 1 的指数分布 ,求方程 4x2 + 4x + + 2 = 0 无实根的概率 。解: 知 0)(1621故
11、22xedP16. 已 知 连 续 型 随 机 变 量 的 概 率 密 度 为 且 知 xBAx031)(在 区 间 ( 2,3 )内 取 值 的 概 率 是 在 区 间 ( 1,2 ) 内 取 值 的 概 率 的 二 倍 ,试 确 定 常 数 A ,B 。解:由 条 件 12pp即 知 有 321dxdx20AB又 由 即 3114解 得 A = ,B = 1240BA3617、设有函数试说明 能否是某随机变量的分布函数.一,0sin)(xxF)(xF17解:不 能 因 为 当 时 , ( x ) = sin x 0 )解: 正 方 体 体 积 = 3 22函 数 y = x 3 在 ( 0
12、 , a ) 上 的 反 函 数 xhy()13h(),12yh1 的 概 率 密 度 为 ay )(033231. 设 随 机 变 量 的 概 率 密 度 为 0,12x求 随 机 变 量 = l n 的 概 率 密 度 。解:函 数 y = l n x 的 反 函 数 x = h ( y ) = e y , 当 x 在 ( 0 , + )上 变 化 时 , y 在 ( , + ) 上 变 化 , 1e2h,e)h于 是 的 概 率 密 度 为 yeyy)(232. 已 知 某 种 产 品 的 质 量 指 标 服 从 N( , 2), 并 规 定 | | m 时 产 品 合 格 , 问 m 取 多 大 时 , 才 能 使 产 品 的 合 格 率 达 到 95%。 已 知 标 准 正 态 分 布 函 数 (x)的 值 : (1.96) = 0.975 , (1.65) = 0.95 , ( 1.65) = 0.05, ( 0.06) = 0.475 .解:P | | m = 0.95,此式等价于 P m + m = 0.9 因 为 服 从 N( , 2 ), 故 P m + m = )()(95012.)()()( 查 表 得 m = 1.96196.故 m 取 1.96 时 才 能 使 产 品 合 格 率 达 到 95%。