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1、椭圆及其性质1.方程 表示椭圆 0， 0，且 ； 是 ， 中之较大者，焦点的位12nymxmn2amn置也取决于 ， 的大小。举例 椭圆 的离心率为 ，则 = 42yx21解析：方程中 4 和 哪个大哪个就是 ，因此要讨论；（）若 04,则 ，mb2ce4mb ， = = ，得 = ；综上： =3 或 = 。2136316巩固若方程：x 2+ay2=a2 表示长轴长是短轴长的 2 倍的椭圆，则 a 的允许值的个数是A1 个B .2 个C.4 个D.无数个2椭圆 关于 x 轴、y 轴、原点对称；P(x,y)是椭圆上一点，则|x|a,|y|b，12byaa-c|PF|a+c，（其中 F 是椭圆的一
2、个焦点），椭圆的焦点到短轴端点的距离为 a，椭圆的焦准距为 ，椭圆的通经(过焦点且垂直于长轴的弦)长为 2 ，通经是过焦点最短的弦。c2 ab举例 1 已知椭圆 （ 0, 0）的左焦点为 F，右顶点为 A，上顶点为 B，12byaxa若BFBA,则称其为“优美椭圆” ，那么“优美椭圆”的离心率为 。解析：|AB| 2= 2+ 2，|BF|= ，|FA|= + ，在 RtABF 中，( + )2= 2+ 2+ 2cacba化简得： 2+ - 2=0，等式两边同除以 2得： ，解得： = 。caa01ee15注：关于 , ， 的齐次方程是“孕育”离心率的温床。b举例 2 已知椭圆 （ 0, 0）的
3、离心率为 ，若将这个椭圆绕着它的右焦12yaxb53点按逆时针方向旋转 后，所得的新的椭圆的一条准线的方程为 = ，则原来椭圆的方y16程是 。解析：原来椭圆的右焦点为新椭圆的上焦点，在 x 轴上，直线 = 为新椭圆的上准线，3故新椭圆的焦准距为 ，原来椭圆的焦准距也为 ，于是有： = ，31616cb216= ，由解得： =5， =3。ac53ab巩固 1一椭圆的四个顶点为 A1，A 2，B 1，B 2，以椭圆的中心为圆心的圆过椭圆的焦点，的椭圆的离心率为 。巩固 2 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 ，焦点到相应准线的距离为 1，则该椭圆的离心率为(A) (B) (C) (D)22
4、2142迁移椭圆 上有 n 个不同的点 P1，P 2，P 3，P n，椭圆的右焦点 F，数列| 1342yxPnF|是公差大于 的等差数列，则 n 的最大值为 （ ）0A198 B199 C200 D2013.圆锥曲线的定义是求轨迹方程的重要载体之一。举例 1已知Q：(x-1) 2+y2=16,动M 过定点 P(-1,0)且与Q 相切，则 M 点的轨迹方程是：。解析：P(-1,0)在Q 内，故M 与Q 内切，记：M(x,y)，M 的半径是为 r，则：|MQ|=4-r，又M 过点 P，|MP|=r，于是有：|MQ|=4-|MP|，即|MQ|+|MP|=4，可见 M 点的轨迹是以 P、Q 为焦点（
5、c=1）的椭圆，a=2。举例 2 若动点 P（x,y）满足|x+2y-3|=5 ，则 P 点的轨迹是：22)()1(yxA圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线解析：等式两边平方，化简方程是最容易想到的，但不可行，一方面运算量很大，另一方面是平方、展开后方程中会出现 xy 项，这就给我们判断曲线类型带来了麻烦。但是，仔细观察方程后，就会发现等式左边很“象”是点到直线的距离，而等式右边则是两点间的距离的 5 倍；为了让等式左边变成点到直线的距离，可以两边同除以 ，于是有：5= ，这就已经很容易联想到圆锥曲线的第二定义了，|32|yx22)()1(yx只需将方程再变形为： ，即动点 P（x,y）到定
6、点 A（1，2）与55|3|22yx到定直线 x+2y-3=0 的距离之比为 ，其轨迹为椭圆。巩固 1 已知圆 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交QAyxC),01(25)1(:2及 点CQ 于 M，则点 M 的轨迹方程为 .巩固 2设 x、yR，在直角坐标平面内， =(x,y+2), =(x,y-2),且| |+| |=8，则点ababM(x,y)的轨迹方程为 。提高已知 A（0，7） ，B（O，-7） ，C（12，2） ，以 C 为一个焦点作过 A、B 的椭圆，则椭圆的另一焦点的轨迹方程为 。迁移 P 为直线 x-y+2=0 上任一点，一椭圆的两焦点为 F1（-1，0） 、F 2（1，0）
7、，则椭圆过 P点且长轴最短时的方程为 。4研究椭圆上的点到其焦点的距离问题时，往往用定 义；会推 导并记住椭圆的焦半径公式。举例 1 如图把椭圆 的长轴 AB 分成 8 分，过2156xy每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于 , ,1P27七个点，F 是椭圆的一个焦点，则_127.PPF解析：P 1 与 P7，P 2 与 P6，P 3 与 P5 关于 y 轴对称，P 4 在 y 轴上，记椭圆的另一个焦点为 F/，则|P 7F|=|P1F/|，|P 6F|=|P2F/|，|P 5F|=|P3F/|，于是 |P1F|+|P1F/|+|P2F|+|P2F/|+|P3F|+|P3F/|+|P4F|=7
8、a=35.12.举例 2 已知 A、B 是椭圆 上的两点， F2 是椭圆的右焦点，如果92ayxAB 的中点到椭圆左准线距离为 ，则椭圆的方程 .,58|22aFA 3解析： = = ，| |2| 11BFa58|1BAa52记 AB 的中点为 M ，A、B、M 在椭圆左准线上的射影分别为 A1、B 1，M 1，由椭圆第二定义知：|AF 1|=e|AA1|，|BF 1|=e|BB1|，于是有：e（|AA 1|+|BB1|）= ，而 e=24|AA 1|+|BB1|=3a 2|MM1|=3a，又|MM 1|= ，得 a=1，故椭圆方程为 。23952yx巩固 1 椭圆的两焦点为 F1，F 2，以
9、 F1F2为一边的正三角形的另两条边均被椭圆平分，则椭圆的离心率为 。巩固 2已知 F1、F 2 是椭圆 的左右焦点，点 是此椭圆上的一个动点，4595yxP为一个定点，则 的最大值为 ， 的最小值为 ),(A1PA 23FA。提高 过椭圆左焦点 F 且斜率为 的直线交椭圆于 A、B 两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆的3离心率 e=_5研究椭圆上一点与两焦点组 成的三角形（焦点三角形）问题时 ，常用 椭圆定义及正、余弦定理。举例已知焦点在 轴上的椭圆 F1,F2是它的两个焦点，若椭圆上存x),0(,42byx在点 P，使得 ，则 的取值范围是 。021Fb解析：思路一：先证一个结论：若 B
10、 为椭圆短轴端点，则F 1PF2F 1BF2。记F 1PF2= ,|PF1|=r1, |PF2|=r2,cos = = =214rc2114)(rc21rca又 ( )2= ,cos =cosF 1BF2,当且仅当 r1=r2时等号成立，21ra2a即F 1PF2F 1BF2。题中椭圆上存在点 P，使得F 1PF2=900，当且仅当F 1BF290 0，即cosF 1BO b a= ,b(0, .思路二：用勾股定理：r 1+r2=2a 2r12+r22=4c2 ,由得：2r 1r2=4b2,又 2r1r2r 12+r22 b 2c 2=4-b2 即 b(0, .思路三：用向量的坐标运算：记 P
11、(x0,y0), =(-c-x0,-y0), =(c-x0,-y0),PF2PF=c2-x02+y02=0 (b2+4)x02=4(c2-b2),注意到：0x 024，04(c 2-b2)1PF4(b 2+4)即 04-2b 2b 2+4，得 b(0, .巩固 1椭圆 的焦点为 、 ，点 P 为其上的动点，当 为钝角时，点149yx1F2 21PFP 横坐标的取值范围是_。 巩固 2已知 P 是椭圆 上一点，F 1 和 F2 是焦点，若F 1PF2=30，则PF 1F252的面积为（ ）A B C D434)32(4)3(46椭圆的参数方程的重要用途是设椭圆上一点的坐标时，可以减少一个变量，或
12、者 说坐标本身就已经体现出点在椭圆上的特点了，而无需再借助 圆 的方程来体现横纵坐标之间的关系；如求椭圆上的点到一条直线的距离的最值。举例若动点（ ）在曲线 上变化，则 的最大值为 （ yx, )0(142byx yx2）A B)4(2,04b)2(2,04bC D2解析：本题可以直接借助于椭圆方程把 x2用 y 表示，从而得到一个关于 y 的二次函数，再配方求最值；这里用椭圆的参数方程求解：记 x=2cos ,y=bsin , =4cos2 +x22bsin =f( ),f( )=-4sin2 +2bsin +4=-4(sin - )2+ , sin -1,14b若 01 b4,则当4b4b4bsin =1 时 f( )取得最大值 2 ，故选 A巩固椭圆 上的点到直线 2x- y+3 =0 距离的最大值是_。192yx3答 案1巩固B， 2、 巩固 1 ，巩固 2B， 迁移C， 3、巩固 1 215，巩固 2 ，提高 ，迁移 1245yx6yx )0(,1482yxy，34、巩固 1 e= -1， 巩固 26+ ， ， 提高 ；5、巩固 1 ，273253x巩固 2 B； 6、巩固 1
