《2017-2018年高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 三 反证法与放缩法学案（含解析）新人教a版选修4-5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 三 反证法与放缩法学案（含解析）新人教a版选修4-5（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1三 反证法与放缩法1不等式的证明方法反证法(1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，然后由此假设出发，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不成立，从而证明原命题成立(2)反证法证明不等式的一般步骤：假设命题不成立；依据假设推理论证；推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立2不等式的证明方法放缩法(1)放缩法证明的定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的(2)放缩法的理论依据主要有：不等式的传递性；等量加不等量为不等量；同分子(分
2、母)异分母(分子)的两个分式大小的比较利用反证法证明不等式已知 f(x) x2 px q，求证：(1) f(1) f(3)2 f(2)2；(2)|f(1)|， f|(2)|，| f(3)|中至少有一个不小于 .12“不小于”的反面是“小于” ， “至少有一个”的反面是“一个也没有” (1) f(1) f(3)2 f(2)(1 p q)(93 p q)2(42 p q)2.(2)假设| f(1)|，| f(2)|，| f(3)|都小于 ，则| f(1)|2| f(2)| f(3)|b.当 a b 时， a b，则有 f(a) f(b)， f( a) f( b)，于是 f(a) f( b) f(b
3、) f( a)，与已知矛盾当 ab 时， af(b)， f( b)f( a)，于是有 f(a) f( b)f(b) f( a)，与已知矛盾故假设不成立 a (x y z)x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x232解答本题可对根号内的式子进行配方后再用放缩法证明 x2 xy y2 (x y2)2 34y23 x .(x y2)2 |x y2| y2同理可得： y ，y2 yz z2z2 z ，z2 zx x2x2由于 x， y， z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加，得 x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x2 (x y z)(xy2) (y z
4、2) (z x2) 32(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，进行恰当的放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的4设 n 是正整数，求证： 1.12 1n 1 1n 2 12n证明：由 2n n k n(k1,2， n)，得 .12n 1n k 1n当 k1 时， ，12n 1n 1 1n当 k2 时， ，12n 1n 2 1n当 k n 时，
5、.12n 1n n 1n将以上 n 个不等式相加，得 1.12 n2n 1n 1 1n 2 12n nn5设 f(x) x2 x13， a， b，求证：|f(a) f(b)|2hC| a b|h解析：选 A| a b|( a c)( b c)| a c| b c|0， y0， x y2 22( 1)2 24对“ a， b， c 是不全相等的正数” ，给出下列判断：( a b)2( b c)2( c a)20； ab 与 ab 与 a1.求证： a， b， c， d 中至少有一个是负数证明：假设 a， b， c， d 都是非负数由 a b c d1 知 a， b， c， d从而 ac ， bd
6、，aca c2 bd b d2 ac bd 1，a c b d2即 ac bd1，与已知 ac bd1 矛盾， a， b， c， d 中至少有一个是负数9已知 an (nN *)12 23 34 n n 1求证： n，n n 1 an 123 n .12 23 n n 1n n 12 1；12当 cd，则 ；a b c d(2) 是| a b|cd，得( )2( )2.a b c d因此 .a b c d(2)必要性：若| a b|cd.由(1)，得 .a b c d充分性：若 ，a b c d则( )2( )2，a b c d即 a b2 c d2 .ab cd因为 a b c d，所以 a
7、bcd.于是( a b)2( a b)24 ab 是| a b| c d|的充要条件a b c d比较法证明不等式8比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件作差比较法证明的一般步骤是：作差；恒等变形；判断结果的符号；下结论其中，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法已知 b， m1， m2都是正数， a0， m1， m20，所以( b m1)(b m2)0.又 a0.从而( a b)(m2 m1)0， b0， a b1.求证：
8、 8.1a 1b 1ab a0， b0， a b1.1 a b2 ， .ab ab129 4.1ab ( a b) 1a 1b 1ab (1a 1b) 1ab2 2 48.ab1ab 8.1a 1b 1ab分析法证明不等式分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论分析法证明不等式的思维方向是“逆推” ，即由待证的不等式出发， 逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效分析法是“执果索因” ，步步寻求上一步成立的充分条件，
9、而综合法是“由因导果” ，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用已知 ab0.求证： b0，上式显然成立，原不等式成立，即 90， D 是 BC 的中点求证： AD BC，因为 BD DC BC，12 12所以在 ABD 中， ADBD，从而 B BAD.同理 C CAD.所以 B C BAD CAD.即 B C A.因为 B C180 A，所以 180 A A，即 A90，与已知矛盾故 AD BC 不成立12由知 AD BC 成立.12放
10、缩法证明不等式放缩法是在顺推法逻辑推理过程中，有时利用不等式关系的传递性，作适当的放大或缩小，证明比原不等式更强的不等式来代替原不等式的一种证明方法放缩法的实质是非等价转化，放缩没有一定的准则和程序，需按题意适当放缩，否则达不到目的求证： k2 k(k1)( kN *且 k2)， .1k k 1 1k2 1k k 1即 .1k 1k 11k2 1k 1 1k分别令 k2,3， n，得11 1 ， ，12 13122 12 13 1413212 13 ，将这些不等式相加，得1n 1n 11n2 1n 1 1n 1 ，12 13 13 14 1n 1n 1122 132 1n2 12 12 13 1n 1 1n即 1 .12 1n 1122 132 1n2 1n1 1 11 .12 1n 1 122 132 1n2 1n即 1 2 (nN *且 n2)成立32 1n 1 122 1n2 1n
