黄金分割及其应用

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1、黄金分割及其应用作 者：黄武智 俞杰耀 江钊凡指导老师：陈俊鑫 马鸿良 范世华摘 要：本文用迭代法计算黄金分割数,并对黄金分割法的基本思想加以阐述 ,从冷压装配、股票价格变化、求最优值等方面说明黄金分割法在生活生产中的实际应用,并通过对黄金分割和斐波那契数列的分析、比较,引出它们的关系最后,介绍了黄金分割的三角表示及黄金图形。关键词：黄金分割；斐波那契数列；迭代把一条线段分成两段, 使其中较大的一段是原线段与较小一段的比例中项, 叫做把这条线段黄金分割 . 如图 1, 在线段 AB 上取点 C,使得, 则点 C 叫线段 AB 的黄金分割点 . 显然, 从对称性上考虑, 一条ACB线段有两个黄金

2、分割点,它们关于线段的中心对称.1、黄金分割1.1 黄金分割数如图 1,设 AB= , AC= , 则 BC= axax有 , 即2()x220解得, 4A BCD图 1 舍去负根, 得 AC= 512xa故 , 这就是黄金分割数, 以下记为 , 是一个无理数.ACB 因为任何的无理数都可以用有理数逼近现在我们试图找出一串分数，使得 ，而且 是所有分母小于或等于 的分1,23nabKlimnabnabnb数中最接近 的.我们用一种近似方法迭代法来确定求解黄金分割数 的二次方程式 .210fx将 改写成迭代方程 , 易知 .迭代函数1x0,1x， 在区间 上恒有 .1gx21xg0,g因此, 迭

3、代公式 对任意初始值 均收敛于方程的根 . 1n 0,1xx取初始值 , 可得 的一系列近似值(见表 1)0xx表 1 方程 的根的近似值210xnnx n nx1 0.522 633 .54 028 5 8.6136 092 7 .748 361859 50.618 10 411 .23 K从表 1 可以看出：（1）当迭代次数 越大时， 越接近于 0.618，即 , 这就是nnx0.618黄金分割数.(2) 是 的一个渐进分数列,且具有以下规律：设nx,即1232121, ,nnFFFNK12,.nFxN1.2 黄金分割法的基本思想黄金分割法, 也叫 0.618 法, 是黄金分割在优选法上应

4、用的一种方法, 是优化计算中的经典算法, 以算法简单、效果显著而著称, 是许多优化算法的基础它适用于一维区间 的单峰函数其基本思想是：依照“去ab坏留好”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索范围. 具体地说：设是定义在区间 的下单峰函数,有唯一的极小点 （即最优点）ab*x在区间 中取点,ab120.38(),0.618()xaxba如果 ，则令12()ff1,;取 区 间如果 则令 ,2,b2取 区 间这样, 通过比较 的大小, 就可以将区间 缩短为区间1fxf， ,ab或 因为新的区间内包含了一个已经计算过函数值的点,所以2ax1b再从其中找出一个试点,又可将这个新的区间再缩短一

5、次不断地重复这个过程,直至最终的区间长度缩短到满足预先给定的精度为止目前, 由于史文谱、刘迎曦等人的努力,用推广的黄金分割法已经能够求解部分多维区域上的函数的最优解了,可参考文献1 1.3 黄金分割法的应用1953 年, 美国的弗基提出 0.618 法获得大量应用, 特别是工程设计方面. 20 世纪 70 年代初，我国著名数学家华罗庚在应用优选法方面做出了杰出贡献，使得黄金分割法在我国得以推广, 并取得了很大的成 .以下给2就出黄金分割法在生产生活及计算数学中的应用实例1.3.1 黄金分割法在冷压装配中的应用自行车链轮（一种板料冲压）与右轴柄（一种切削件）要装配成一个组合件，通过链轮内孔与曲柄

6、小台阶外径处的冷压铆合来达到抗扭强度要求：经过 2000KN 扭力 ,在 1min 后, 两者的铆合处不得发生转动. 冷压铆合前, 于链轮的内孔上须冲压出一定数量的不冲通内齿形 . 内齿数太多, 冷压装配时曲柄小台阶外径处的材料挤压入其间因量少而铆合不牢; 内齿数太少, 材料又难以压入填满其间而铆合不牢. 故内齿数目有一个最佳值的问题.(1)确定初始点及可行区间原有一模具(冲头), 冲出链轮内齿 40 牙/周 , 所有组合件均发生转动, 转动率 100%; 后来加工了一个 10 牙/周的冲头 , 结果转动率仍为 60%之多.经分析, 小于 10 牙/周的冲头也不行.故其实验的区间为10,40;

7、精度要求为转动率为 0.(2) 0.618 法优选齿数新加工模具(齿数) 10.68()10.68(410)28/aba牙 周实验结果:转动率为 10%.重新加工模具(齿数) 20.618()0.618(20)1aba牙 /周实取 20 牙/周（为使模具更易加工,齿数要偶数）, 实验结果：转动率为 0.按 0.618 法迭代步骤,当出现|b-a| 时，应取 为最佳*()/2ba点. 此时应取 . 但工程实际问题不完全是一个纯数学问题. 在*324这里, 还必须考虑模加工所用的成本,以及在实验中还有可能产生其它问题等. 故用 20 牙/周的模具就完全达到了质量要求,就不再继续迭代了.1.3.2

8、黄金分割在股票价格变化中的应用通常,黄金分割法中的黄金点为 0.618 和 0.382.但在股票价格涨幅与跌幅的测量中, 用黄金分割法时除了用 0.618 和 0.382 作为反压点外, 其间还会用到 0.382 的一半这个点作为反压点, 即 0.191 这一点.这是股市中的实际, 也可能是其特点.因此, 当预测股价上升能力与可能反转之价位时, 可用前段下跌行情之最低点值乘以 0.191, 0.382, 0.618, 0.809, 1. 当超过一倍的涨幅时，其反压点为 1.191，1.382，1.618，1.809，2，相仿当预测下跌反压点时可乘以 0.809，0.618, 0.382, 0.

9、191.例如, 当下跌行情结束前, 某股的最低价为 10 元, 那么, 股价反转上升时, 可预先计算出不同反弹价位：10*(1+0.191)=11.9 元 10*(1+0.382)=13.8 元10*(1+0.618)=16.2 元 10*(1+0.809)=18.1 元10*(1+1)=20 元 10*(1+1.191)=21.9 元当上升行情结束前, 某股的最高价为 30 元 , 那么, 当股价反转下跌时,下跌反压点可能为：30*(1-0.191)=24.3 元 30*(1-0.382)=18.5 元30*(1-0.618)=11.5 元 30*(1-0.809)=5.7 元下面列出 19

10、701980 年台湾股票加权股价指数的实际涨.跌值及按黄金点计算价值的对照情况表(见表 2)表 2 实际涨跌值与黄金点计算值对照表序号下 跌上 涨实 际 价1 1973 年底1974 年底 514.85 18.74514.85 0.382196.702 1975 年初29.0Z188.74 （11.191）413.5331976 年 3 月1976 年低417.025.417 0.618257.7041977 年 5 月1977 年10 月3.968.Z313.92 (1+1.191)687.805 1978 年1981 年 .5240688.52 0.618=425.506 1982 年19

11、83 年 7 月 1.376.1Z421.43 （10.809）766.507 1983 年底1984 年9.25421.43 （11.191）923.301.3.3 黄金分割在求最优值方面的应用按黄金分割法计算价时间例 1 求 , 最优值（即最小值）22110()()Fxx12.08,.08x. 解：根据黄金分割法有如下算 ：3法Step 0 给定 0, 初始值 a=-2.08, b=2.08, c=-2.08,d=2.08.令 的矩形域的直径为 , 中F0心为 ,该点的函数值为 ；0xy 0fStep 1 如图 2 所示,分别计算 a1,b1, c1,d1, p1, p2, p3, p4,

12、 p5, p6, p7, p8 的位置; Step 2 计算每个小矩形的直径,若大于 , 则转 Step 3; 否则转 Step 6; Step 3 判断该矩形中心的函数值是否小于 ,若是则将该中心坐标赋予 ,将0f 0xy0f用该中心处函数值替换, 然后转 Step 4; 否则转 Step 5；Step 4 将该小矩形的四角赋予 a, b, c, d，转 Step 1；Step 5 估计 在每个小矩形的最小值 ,若小于已有的最优解, 则将该F小矩形的四角赋予 a ,b, c, d,转 Step 1;Step 6 判断该矩形中心的函数值是否小于 ,若是则将该中心坐标赋0f予 ,将 用该中心处函

13、数值替换；0xy0fStep 7 打印 及 .0,xyf根据以上算法,计算其结果(见表 3)：表 3 最优值计算结果精度 1 最优点 最优值 时间（秒）c1 b1d1 c1d cp6 p5ap8p7bp5p4p2p1 图 2 网格分割图（在纵横两方向分别以 0.382 和0.618 将矩形域分割.）0.01 （0.9835，0.9668） -2.91E-04 4.84E-010.001 (1.0001,1.0001) 3.16E-06 2.4836而函数的精确解是:最优点 (1,1), 最优值为 0. 可见, 黄金分割法是一种精确度高,计算速度快的计算方法.2、黄金分割与斐波那契（Fibona

14、cci）数列若数列F n存在这样的递推关系：F 1=F2=1, Fn+2=Fn+1+Fn, n N+)前几项为 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 则数列F n叫做斐波那契数列, 简称 F-数列 . 它是 13 世纪意大利数学家 Fibonacci 在研究小兔问题时提出的.现在给出 F-数列的通项公式（证明略）： 151()()2nnnF上式的奇妙在于：F n 的表达式竟然出现了方程 x2+x-1=0 的一对实数根, 而且无理数 在其中出现了三次, 而 Fn 竟是一个整数！5从高等数学的角度来看, 递推公式与通项公式存在必然的联系. 我们把递推公式用矩阵写出来就是： 2110nnF而矩阵 的两个特征值就是: 和 ，这两个数真的出现10 52在 Fn 的表达式中！我们知道, , , 因此有：21()5nnnF这就是黄金分割和 F-数列在形式上的联系.另外, F-数列在分析方面有一个非常优美的结 : . 这使得4果 1limnF黄金分割与 F-数列的联系更加紧密. 因此, 它们在应用上也有很多共同之处. 斐波那契数列和黄金分割法相似, 他们的区别在于斐波那契数列每次的缩短率不是常数, 而是由斐波那契数列决定的.例 2 用黄金分割法和 Fibonacci 法求函数 在区间-1 ，3 上2()fx