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1、1.6 准则 两个重要极限,两个重要的极限,预备知识,1.有关三角函数的知识,2.有关对数函数的知识,以e为底的指数函数y=ex的反函数 y = logex，叫做自然对数，在工程技术中经常被运用，常简记为 y = ln x.,数 e 是一个无理数，它的前八位数是：,e = 2.718 281 8 ,3.有关指数运算的知识,4.无穷小量定义 在某个变化过程中，以0为极限的变量称为在这个变化过程中的无穷小量，常用字母,性质 无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量.,5.极限的运算法则,极限存在准则,1.夹逼准则(两边夹定理）,注意,由夹逼准则得,2.单调有界准则,单调增加,单调减少,单调数列,X 1
2、 0.5 0.1 0.01 0.001 . 0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 0.9999998,X 1 0.5 0.1 0.01 0.001 . 0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 0.9999998,第一个重要极限,O,x,B,A,C,D,证,解,这个结果可以作为公式使用,例 1求,例 2,注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：,练习1. 求下列极限:,例 3,解,例 4,解,思考题,练习3：下列等式正确的是（ ）,练习4：下列等式不正确的是（ ）,练习5. 下列极限计算正确的是（ ）,练习6. 已知,当（ ）时，,为无穷小量.,，
3、当 时，,为无穷小量,练习7. 已知,练习8.,练习9.,第二个重要极限,解因为,所以，有,例 1,例 2,解方法一令 u = -x， 因为 x 0 时 u 0，,所以,方法二掌握熟练后可不设新变量,例3,解,练习1.,解,练习2.,解,两个重要极限:,小结,练 习 题,P42 21,作业,分析：此是一个和式的极限，显然第一项及第二项函数中分子、分母的极限均存在且分式函数中分母的极限不等于零，因此可以直接利用极限的运算法则求解。,极限综合练习题(一),例3 求下列极限：,解： 当x从0的左侧趋于0时，,当x从0的右侧趋于0时,例5 求下列极限,寻找致零因式常用的方法为： 若是有理分式的极限，则
4、需把分子分母、分别分解因式（一般采用：“十字相乘法”、公式法、或提取公因式法）； 若是无理分式的极限，则需要把分子、分母有理化。,解：（1）把分子分母分解因式，消去致零因式，再求极限。,求解。又当x0时，ax0，bx0，于是有,分析：当x0时，分子，分母的极限均为0，且分子是一个无理函数，分母是正弦函数，于是可先把分子有理化（分子，分母同乘以 ，然后看是否可利用第1个重要极限。,解,1. 求极限:,极限综合练习题(二),解:利用第一重要极限和函数的连续性计算，即,2.求下列极限：,解:对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即,3. 求下列极限：,分析：此极限属于时有理分式的极限问题，且m=n，可直接利用上述结论得出结果，也可用分子、分母同除以x15来计算。解：分子分母同除以x15，有,=2 2 + 1 = 5,解,5. 求,解,6. 求极限,解：容易算出分式分子的最高次项是 ，分式分母的最高次项是 ，所以,7. 求极限,解:利用第二重要极限计算，即,10. 求下列极限,
