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1、 第 1 页 共 32 页2010 全国高中数学联赛模拟试题（一）（命题人：吴伟朝）第一试一、 选择题：（每小题 6 分，共 36 分）1、方程 6(5a2b 2)5c 2 满足 c20 的正整数解 (a,b,c)的个数是（A）1 （B）3 （C）4 （D ）52、函数 （x R，x 1）的递增区间是2y（A）x2 （B）x0 或 x2（C） x0 （D）x 或 x13、过定点 P(2,1)作直线 l 分别交 x 轴正向和 y 轴正向于 A、B，使AOB（O 为原点）的面积最小，则 l 的方程为（A）xy30 （B）x3y50（C） 2xy 50 （D）x2y 404、若方程 cos2x si
2、n2xa1 在 上有两个不同的实数解 x，则参3,数 a 的取值范围是（A）0a1 （B）3a1（C） a1 （D）0a15、数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,的第 1000 项是（A）42 （B）45 （C）48 （D ）516、在 1,2,3,4,5 的排列 a1,a2,a3,a4,a5 中，满足条件a1a 2，a 2a 3，a 3a 4，a 4a 5 的排列的个数是（A）8 （B）10 （C）14 （D ）16二、 填空题：（每小题 9 分，共 54 分）1、x表示不大于 x 的最大整数，则方程 x2x19x 99 的实数解 x1是 2、设 a11，a
3、 n+12a nn 2，则通项公式 an 3、数 799 被 2550 除所得的余数是 4、在ABC 中，A ，sinB ，则 cosC 3155、设 k、 是实数，使得关于 x 的方程 x2(2k1)xk 210 的两个根为sin和 cos，则 的取值范围是 6、数 （nN）的个位数字是 24 第 2 页 共 32 页三、 （20 分）已知 x、y、z 都是非负实数，且 xyz1求证：x(12x )(13x) y(12y)(13y )z(12z)(13z )0，并确定等号成立的条件四、 （20 分）（1） 求出所有的实数 a，使得关于 x 的方程 x2 (a2002)xa0 的两根皆为整数（
4、2） 试求出所有的实数 a，使得关于 x 的方程 x3(a 22a2)x2a 22a 0 有三个整数根五、 （20 分）试求正数 r 的最大值，使得点集 T( x,y)|x、yR ，且 x2(y7)2r 2一定被包含于另一个点集 S( x,y)|x、yR ，且对任何 R，都有 cos2xcos y 0 之中 第 3 页 共 32 页第二试一、 （50 分）设 a、b、c R，bac ，ac，z 是复数，且 z2(ac)z b0求证： 的充分必要条件是(ac) 24b012二、 （50 分）如图，在ABC 中，ABC 和ACB 均是锐角，D 是 BC 边上的内点，且 AD 平分BAC，过点 D分
5、别向两条直线 AB、AC 作垂线 DP、DQ，其垂足是 P、Q，两条直线 CP 与 BQ 相交与点 K求证：（1） AKBC；（2） ，其中 表示ABC 的面积BCSAQPKA2ABCS三、 （50 分）给定一个正整数 n，设 n 个实数 a1,a2,an满足下列 n 个方程：iijj1 )3(4L确定和式 的值（写成关于 n 的最简式子） niiaS12ACB DQKP 第 4 页 共 32 页参考答案第一试一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6答案 C C D A B D二、填空题：1、 或 ； 2、72 n-1n 22n3；38573、343； 4、 ；6155、 |2n 或 2n ，
6、nZ ；6、1（n 为偶数） ；7（n 为奇数） 三、证略，等号成立的条件是 或 或 或3zyx02yx021zx021zy四、 （1）a 的可能取值有0，1336，1936，1960，2664，4000，2040；（2）a 的可能取值有3，11，1，9五、r max 24第二试一、证略（提示：直接解出 ，通过变形即得充分性成2i4bcaz立，然后利用反证法证明必要性） 二、证略（提示：用同一法，作出 BC 边上的高 AR，利用塞瓦定理证明AR、BQ、CP 三线共点，从而 AKBC；记 AR 与 PQ 交于点 T，则 第 5 页 共 32 页ARATAQAP，对于 AKAP ，可证APKAKP
7、） BCSA2三、 12nS2010 全国高中数学联赛模拟试题（三）（命题人：吴伟朝）第一试一、选择题：（每小题 6 分，共 36 分）1、若集合 Sn|n 是整数，且 22n2 整除 2003n2004，则 S 为（A）空集 （B）单元集 （C）二元集 （D ）无穷集2、若多项式 x2x 1 能除尽另一个多项式 x3x 2ax b（a、b 皆为常数）则 ab 等于（A）0 （B）1 （C）1 （D ）23、设 a 是整数，关于 x 的方程 x2(a3)xa 20 的两个实根为 x1、x 2，且 tan(arctan x1arctan x 2)也是整数则这样的 a 的个数是（A）0 （B）1
8、（C）2 （D ）44、设一个四面体的体积为 V1，且它的各条棱的中点构成一个凸多面体，其体积为 V2则 为1（A） （B） 32（C）常数，但不等于 和2（D）不确定，其值与四面体的具体形状有关5、在十进制中，若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外，其余各个数字都小于其左边的数字时，则称它为递降正整数所有这样的递降正整数的个数为（A）1001 （B）1010 （C）1011 （D ）10136、在正方体的 8 个顶点中，能构成一个直角三角形的 3 个顶点的直角三点组的个数是（A）36 （B）37 （C）48 （D ）49二、填空题：（每小题 9 分，共 54 分）1、若直线 xcos
9、y sincos 2sin 2（0 ）与圆 x2y 2 有公共点，41则 的取值范围是 2、在平面直角坐标系 xOy 中，一个圆经过(0,2)、(3,1)，且与 x 轴相切则 第 6 页 共 32 页此圆的半径等于 3、若常数 a 使得关于 x 的方程lg(x220x)lg(8x 6a3)0有惟一解则 a 的取值范围是 4、f(x) xcosxcos(2x )(xR)的最小值是 825、若 k 是一个正整数，且 2k整除 20346240614060 C33CLi则 k 的最大值为 6、设 ABCD 为凸四边形，AB7，BC4，CD 5，DA6，其面积 S 的取值范围是(a,b 则 ab 三、
10、 （20 分）设椭圆的左右焦点分别为 F1、F 2，左准线为 l，点 P 在椭圆上作PQl， Q 为垂足试问：对于什么样的椭圆，才存在这样的点 P，使得PQF1F2 为平行四边形？说明理由（答案用关于离心率 e 的等式或不等式来表示） 四、 （20 分）设 a01，a 12，a n+12a n-1n，n1,2,3,试求出 an的表达式（答案用有限个关于 n 的式子相加的形式表示，且项数与 n 无关） 五、 （20 分）试求出所有的有序整数对(a,b)，使得关于 x 的方程 x4(2ba 2)x22axb 210 的各个根均是整数 第 7 页 共 32 页第二试一、 （50 分）点 P 在ABC
11、 内，且BAP CAP，连结 BP 并延长交 AC 于点Q设BAC60，且 PQCB1求证：P 是ABC 的内心二、 （50 分）设正数 a、b 满足 且使得关于 x 的不等式2b1xba总有实数解试求 f(a,b)a 23abb 2 的取值范围三、 （50 分）试求出正整数 k 的最小可能值，使得下述命题成立：对于任意的 k 个整数 a1,a2,ak（允许相等） ，必定存在相应的 k 的整数 x1,x2,xk（也允许相等） ，且|x i| 2(i1,2,k)，| x1| x2| xk|0，使得 2003 整除x1a1x 2a2x kak 第 8 页 共 32 页参考答案第一试一、选择题：题号
12、 1 2 3 4 5 6答案 C C B A D C二、填空题：1、 ； 2、 ；65,32,6U5613、 ； 4、1；1,5、2004； 6、 20三、 1,2e四、a 2n2 n+22n3；a 2n+132 n+12n4五、(a ,b)(2l1,l 2l1)( lZ )第二试一、证略（提示：将条件变形为 ，然后应用正弦定理，进行三PQCBA1角变换，得BPC120，利用同一法即证） ；二、( ，1) 第 9 页 共 32 页三、k min72010 全国高中数学联赛模拟试题（五）（命题人：罗增儒）第一试一、 选择题：（每小题 6 分，共 36 分）1、空间中 n（n3）个平面，其中任意三
13、个平面无公垂面那么，下面四个结论（1） 没有任何两个平面互相平行；（2） 没有任何三个平面相交于一条直线；（3） 平面间的任意两条交线都不平行；（4） 平面间的每一条交线均与 n2 个平面相交其中，正确的个数为（A）1 （B）2 （C）3 （D ）42、若函数 y=f(x)在 a,b上的一段图像可以近似地看作直线段，则当 c(a,b)时，f( c)的近似值可表示为（A） （B）2f2baf（C） （D）abfcfafcf3、设 abc ，a+ b+c=1，且 a2+b2+c2=1，则（A）a+ b1 （B）a+b=1 （C）a+b1（D）不能确定，与 a、b 的具体取值有关4、设椭圆 的离心率
14、 ，已知点 到椭圆上的点的最2yx23e23,0P远距离是 ，则短半轴之长 b=47（A） （B） （C） （D ）168141215、S=1,2,2003，A 是 S 的三元子集，满足：A 中的所有元素可以组成等差数列那么，这样的三元子集 A 的个数是（A） （B）320C210（C） （D）102326、长方体 ABCDA1B1C1D1，AC 1 为体对角线现以 A 为球心，AB、AD、AA 1、AC 1 为半径作四个同心球，其体积依次为V1、V 2、V 3、 V4，则有 第 10 页 共 32 页（A）V 4V 1+V2+V3 （B）V 4=V1+V2+V3（C） V4V 1+V2+V3 （D）不能确定，与长方体的棱长有关二、 填空题：（每小题 9 分，共 54 分）1、已知 ，则 k 的取值范围为 cossin332、
