立体几何知识点总结123[1]

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1、 1 高中数学第九章-立体几何考试内容一、平面.1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.2. 两个平面可将平面分成 3 或 4 部分.（两个平面平行，两个平面相交）3. 过三条互相平行的直线可以确定 1 或 3 个平面.（三条直线在一个平面内平行，三条直线不在一个平面内平行）注：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有 0 或 1 个.4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X 、Y 、Z 三个方向）二、空间直线.1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线共面有反且有一个公共点；平行直线共面没有公共点；异面直线不同在任一

2、平面内注：两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（） （可能两条直线平行，也可能是点和直线等）直线在平面外，指的位置关系：平行或相交若直线 a、 b 异面，a 平行于平面 ，b 与 的关系是相交、平行、在平面 内.两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.在平面内射影是直线的图形一定是直线.（） （射影不一定只有直线，也可以是其他图形）在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（） （并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段） 是夹在两平行平面间的线段，若 ，则 的位置关系为相交或平行或异面.ba, ba,2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的

3、直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）. （二面角的取值范围 ）o80,12方 向 相 同 12方 向 不 相 同 2 （直线与直线所成角 ）o90,（斜线与平面成角 ）（直线与平面所成角 ）o,（向量与向量所成角 )180,推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.是异面直线，则过

4、 外一点 P，过点 P 且与 都平行平面有一个或没有，但与21,l 21,l 21,l距离相等的点在同一平面内. （ 或 在这个做出的平面内不能叫 与 平行的1L2 1L2平面）三、直线与平面平行、直线与平面垂直.1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行” ）注：直线 与平面 内一条直线平行，则 . （ ） （平面外一条直线）aa直线 与平面 内一条直线相交，则 与平面 相交. （） （平面外一条直线）若直线 与平面 平行，则 内必存在无数条直线与 平行.

5、（） （不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （） （可能在此平面内）平行于同一直线的两个平面平行.（） （两个平面可能相交）平行于同一个平面的两直线平行.（） （两直线可能相交或者异面）直线 与平面 、 所成角相等，则 .（） （ 、 可能相交）l3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行” ）4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. 三垂线定理

6、的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直” ）POAa 3 直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.注：垂直于同一平面的两个平面平行.（） （可能相交，垂直于同一条直线的两个平面平行）垂直于同一直线的两个平面平行.（） （一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）垂直于同一平面的两条直线平行.（）5. 垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的

7、两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；垂线段比任何一条斜线段短.注：垂线在平面的射影为一个点. 一条直线在平面内的射影是一条直线.（）射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上四、平面平行与平面垂直.1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行” ）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.注：一平面间的任一直线平行于另一平面.3. 两个平面平行的性质

8、定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行” ）4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直” ）注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.证明：如图，找 O 作 OA、OB 分别垂直于 ，21,l因为 则 . BPM

9、AP, OBPMA,6. 两异面直线任意两点间的距离公式： （ 为锐角取加，cos22mndnl图 12图 2PMABO 4 为钝取减，综上，都取加则必有 ） 2,07.最小角定理： （ 为最小角，如图）21coscos11. 棱柱.直棱柱侧面积： （ 为底面周长， 是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开ChSh图为矩形得出的.斜棱住侧面积： （ 是斜棱柱直截面周长， 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利l1l用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.四棱柱 平行六面体 直平行六面体 长方体 正四棱柱 正方体.直四棱柱 平行六面体=直平行六面体.四 棱 柱 平 行 六 面 体 直 平 行 六 面 体 长 方

10、 体 正 四 棱 柱 正 方 体底 面 是平 行 四 边 形 侧 棱 垂 直底 面 底 面 是矩 形 底 面 是正 方 形 侧 面 与底 面 边 长 相 等棱柱具有的性质：棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （）（直棱柱不能保证底面是钜形可如图）（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.注：四棱柱的对

11、角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为 ，则,.1coscos22推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为 ，则,.2coscos2注：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（） （斜四面体的两个平行的平面可以为矩形）各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（） （应是各侧面都是正方形的直棱柱才行）对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（） （只能推出对角线相等，推不出底面为矩形） 5 棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能

12、不相交，若两条边相交，则应是充要条件）2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.注：一个棱锥可以四各面都为直角三角形.一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以 .侧侧3VSh正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.注：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等） ；底面为正多边形.正棱锥的侧面积： （底面周长为 ，斜高为 ）Ch21SCh棱锥的侧面积与底面积的射影公式： （侧面与底面

13、成的二面角为 ）cos底侧 S附： 以知 ， ， 为二面角 .clba bla则 ， ， 得S21lS21cos.cos底侧 S注：S 为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）.棱锥具有的性质：正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.棱锥的各侧面与底面所成角均相

14、等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.每个四面体都有外接球，球心 0 是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；每个四面体都有内切球，球心 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等Ilac 6 于半径.注：. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（） （各个侧面的等腰三角形不知是否全等）. 空间四边形 OABC 且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形. 若

15、是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.简证：取 AC 中点 ，则 平面O ACOBACo,90易知 EFGH 为平行四边形 EFGH 为长方形.若对角线等， FGHBACO则 为正方形.EF3. 球：球的截面是一个圆面.球面的距离在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点的球面距离.球的表面积公式： .24RS球的体积公式： .3V纬度、经度：纬度：地球上一点 的纬度是指经过 点的球半径与赤道面所成的角的度数.PP经度：地球上 两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半BA,平面的二面角的度数，特别地，当经过点 的经线是本初子午线时，这个二面角的度数A就是 点的经度.4. 内切球：当四面体为正四面体时，设边长为 a， ， ，h36243aS底 243aS侧得 .RaRaa 42/4243143643222