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1、第 1 页 共 5 页根的判别式【例 1】当 取什么值时，关于 的方程 。mx 0)2()12(mx（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根； （3）没有实根。答案：（1） ；（2） ；（3）434m4【例 2】求证：无论 取何值，方程 都有两个不相等的实根。)7(92xx分析：列出的代数式，证其恒大于零。解略。【例 3】当 为什么值时，关于 的方程 有实根。m01)(2xm分析：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分 0 和 04242m两种情形讨论。略解：当 0 即 时， 0，方程为一元一次方程，总有实根；当422)1(0 即 时，方程有根的条件是：2 0，解得
2、 8)()1(2m25当 且 时，方程有实根。综上所述：当 时，方程有实根。m5m习题（一）一、填空题：1、下列方程 ； ； ； 中，无实根的方程是 012x02x012x02x。2、已知关于 的方程 有两个相等的实数根，那么 的值是 。3、如果二次三项式 在实数范围内总能分解成两个一次因式的积，则 的取值范围是 k432 k。4、在一元二次方程 中 ，若系数 、 可在 1、2、3、4、5 中取值，则其中有0cbx)(cbbc实数解的方程的个数是 。5、已知关于 x 的方程 2x2-(4k+1)x+2k2=1 有两个不相等实根,则 k 的取值范围是_.6、关于 x 的方程(k-2)x 2-(2
3、k-1)x+k=0 有两个不相等实根,则 k 的取值范围是_.7、已知方程 kx2-2kx+k=x2-x+3 有两个不相等实根,则 k 的取值范围是_.8、关于 x 的方程 2x(kx-4)-x2+6=0 无实根,则 k 的最小整数值是 _.二、选择题：9、下列方程中，无实数根的是（ ）A、 B、 C、 D、0176y021x023x10、若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实根，则 的取值范围x )()2(mx m是（ ）A、 B、 C、 且 2 D、 且 243m4343411、在方程 （ 0）中，若 与 异号，则方程（ ）2cbxaaacA、有两个不等实根 B、有两个相等实根 C、没有
4、实根 D、无法确定三、试证：关于 的方程 必有实根。1)2(2x习题（一）答案一、填空题：1、；2、 ；3、 ；4、105、 6、 7、k89k241k且 1k且第 2 页 共 5 页8、2 二、选择题：9、C10、C11、A 三：分两种情况讨论：（ 1）当 时， ；（2）当 时，0m1x0m所以方程必有实根。04m根与系数的关系例 1:已知 2x2-3x-1=0 的根是 x1,x2求|x 1-x2|的值.解: ,311xx 2121221222 4)(| xx 749)(494)(11 例 2. 已知关于 x 的一元二次方程. 的 值求且的 两 个 根 是 mxxmx 12,02)(2 21
5、21解: ,)11 m3, 2121222 x1,5,040631)()(21221 mmx)(52xx时但 当是 x2-9x+23=0 此时 =(-9) 2-423=81-92=-110方程无实根 m=-1 1,1: 212时当答例 3: 已知一元二次方程 x2-2kx-5+2k=0 的两根是 x1,x2且 求 k 的值.24|1x解:由韦达定理得:x 1+x2=2k,x1x2=2k-54)(,4|21xQ两边平方得:(x 1-x2)2=321,30284203)5()(421211kkkxx经检验 k1=3 和 k2=-1 都适合题意.例 4: 已知 m 是正实数,关于 x 的方程 2x2
6、-mx-30=0 的两根是 x1,x2,且 5x1+3x2=0，求 m 的值.解:由根与系数间的关系可得 由已知条件 5x1+3x2=0 1m521x第 3 页 共 5 页解:组成的方程组 解得: 将方程组的解代入得03521xmx45321m=4 或 m=-4 m 是正实数 m=4例 5、已知关于 的方程 有两个实数根，并且这两个根的平0)(2方和比这两个根的积大 16，求 的值。 由解得：m0)5(4)2(16)(212mx或 ，又由可知 1m549 舍去，故 1例 6、已知 、 是关于 的一元二次方程 的两个非零实数根，1x2x 0)1(422xx问： 与 能否同号？若能同号请求出相应的
7、 的取值范围；若不能同号，请说明理由。1x2 m略解：由 0 得 。 ， 063m212214m 与 可能同号，分两种情况讨论：1x2（1）若 0， 0，则 ，解得 1 且 0 且 0021x 21（2）若 0， 0，则 ，解得 1 与 相矛盾1x221m2综上所述：当 且 0 时，方程的两根同号。m例 7、已知 、 是一元二次方程 的两个实数根。1x2 042kx（1）是否存在实数 ，使 成立？若存在，求出 的值；若不k3)(11x k存在，请说明理由。（2）求使 的值为整数的实数 的整数值。212xk略解：（1）由 0 和0 0 ， k121xk412 ，但 0 不2121212 9)()
8、( xx349k59存在。（2） ，要使 的值为整数，而 为12x21x1k整数， 只能取 1、2、4，又 0 存在整数 的值为2、3、5kkk例 8、 、 是方程 的两个根，不解方程，求下列代数式的值：1x2532165)4(32m第 4 页 共 5 页略解：原式 )32()(221xx54172例 9. 求一个一元二次方程,使它的两根分别是: . 1,3解:记住公式：以 x1x2为根的一元二次方程是：x 2-(x1+x2)x+x1x2=0,以 为根21,3的方程是：6x 2+5x-25=0例 10、关于 的方程 的一个根是2，则方程的另一根是 ； 104k 。k分析：设另一根为 ，由根与系
9、数的关系可建立关于 和 的方程组，解之即得。答案：1x1xk，125练习（二）：一、填空题：1、已知方程 的一个根是 1，则它的另一个根是 ， 的值是 。032mx m2、已知 、 是方程 的两根，则 的值为 。12 1241x3、已知 2x2-(2m+1)x+m+1=0 的两根之比是 2:3,则 m=_.4、已知方程 3x2-2x-1=0 的两根是 x1,x2,则 =_; =_; =_;212121x=_.|21x5、已知 8x2-(m-1)x+m-7=0 的两根异号,且正根的绝对值大 ,则 m 的取值范围是_.若它的两根互为相反数,则 m=_.若 m 互为倒数,则 m=_.6、以 3 和-
10、7 为根的方程是_.二、选择题：7、已知 0，方程 的系数满足 ，则方程的两根之比为（ ）ab02cbxaacb2A、01 B、11 C、12 D、238、菱形 ABCD 的边长是 5，两条对角线交于 O 点，且 AO、BO 的长分别是关于 的方程：x的根，则 的值为（ ）3)2(2mxx mA、3 B、5 C、5 或3 D、5 或 3三、解答题：9、已知关于 的方程 的两个实数根的倒数和等于 3，关于 的方程02ax x有实根，且 为正整数，求代数式 的值。0)1(2axkk21k10、已知关于 的方程 3)1(22m（1）当 取何值时，方程有两个不相等的实数根？m（2）设 、 是方程的两根
11、，且 ，求 的值。1x2 01)()2121 xxm（2）在（1）的条件下，若 2，求 的值。y11、已知 x1,x2 是方程 x2-2(2m+1)x+3m2-4=0 的根,且 .求 m 的值.21已知方程 2x2+mx-2m+1=0 的两个根的平方和是 7.25。求 m 的值.已知方程 x2+(2k+1)x+k2-2=0 的两实根的平方和是 11.求 k 的值.第 5 页 共 5 页练习（二）答案：一、填空题： 1、2，2；2、43；34 题略。5、1m76、略二、选择题： 7、B8、A 三、9、 ，k-1/k-1k2=0，10 、 （1） ；（2） 、11.-1 或 5/3 12.3(-11 舍去) 13.1(-3 舍去)m1
