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1、2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数 的可去间断点的个数为( ) 3()sinxf(A)1. (B)2. (C)3. (D)无穷多个.（2）当 时， 与 是等价无穷小，则( )0x()sifxax2()ln1)gbx(A) ， . （B ） ， . 1a6b6(C) ， . （D） ， .（3）使不等式 成立的 的范围是( )1sinlxtdx(A) . (B) . (C) . (D) .(0,)(,)2,2(,)（4）设
2、函数 在区间 上的图形为yfx13则函数 的图形为( )0xFftd(A) (B)()fO 2 3 x1-2-11()fxO 2 3 x1-2-111()f-2 O 2 3 x-11(C) (D)()fxO 2 3 x1-11()fxO 2 3 x1-2-11（5）设 均为 2 阶矩阵， 分别为 的伴随矩阵，若 ，则分块矩阵,AB*,AB,|,|AB的伴随矩阵为( )O(A) . (B) . *32A*23OA(C) . (D) .*OB*B（6）设 均为 3 阶矩阵， 为 的转置矩阵，且 ，,APTP102TPA若 ，则 为( )123123(,),(,)QTQ(A) . (B) . 00(
3、C) . (D) .201102（7）设事件 与事件 B 互不相容，则 ( )A(A) . (B) . ()P()PAB(C) . (D) .1(1（8）设随机变量 与 相互独立，且 服从标准正态分布 ， 的概率分布为XYX(0,)NY，记 为随机变量 的分布函数，则函数 的间断点个02P()zFZX()zFZ数为( )(A) 0. (B)1. (C)2 . (D)3.二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 .（9） .cos320lim1xxe（10）设 ，则 .()yxz(1,0)z（11）幂级数 的收敛半径为 .21nne（12）设某产品的需
4、求函数为 ,其对应价格 的弹性 ，则当需求量为 10000 件时，价()QP0.2p格增加 1 元会使产品收益增加 元.（13）设 , ，若矩阵 相似于 ，则 .()T(1,0)TkT30k(14)设 ， , 为来自二项分布总体 的简单随机样本， 和 分别为样本均值和样本1X2n(,)BnpX2S方差，记统计量 ，则 .2TSET三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15） （本题满分 9 分）求二元函数 的极值.2(,)lnfxyy（16） （本题满分 10 分） 计算不定积分 .1ln()xd(0)（17） （本
5、题满分 10 分）计算二重积分 ，其中 .()Dxyd 22(,)1(),Dxyyx（18） （本题满分 11 分）（）证明拉格朗日中值定理，若函数 在 上连续，在 上可导，则 ，()fx,ab,ab,ab得证 .()()fbafba（）证明：若函数 在 处连续，在 内可导，且 ，则x00,()0lim()xfA存在，且 .(0)f(0)fA（19） （本题满分 10 分）设曲线 ，其中 是可导函数，且 .已知曲线 与直线 及()yfx()fx()0fx()yfx0,1yx所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的 倍，求该曲(1)xtx t线的方程.（20） （本题满
6、分 11 分）设 , .1A=0421（）求满足 ， 的所有向量 ， .1231A23（）对（）中的任意向量 , ，证明 , , 线性无关.21（21） （本题满分 11 分）设二次型 .2212313132(,)()fxaxaxx（）求二次型 的矩阵的所有特征值. （）若二次型 的规范形为 ，求 的值.f21y（22） （本题满分 11 分）设二维随机变量 的概率密度为(,)XY0(,)xeyfy其 他（）求条件概率密度 ； ()Yfyx（）求条件概率 .1P（23） （本题满分 11 分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以 、 、 分XYZ别表示两
7、次取球所取得的红、黑与白球的个数.（）求 ； 10PXZ（）求二维随机变量 的概率分布.(,)Y2010 年数学三试题 1999 年2000 年数 42001 年2002 年2003 年全国硕士入学统考数学(四)试题及答案一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1）极限 = _ .xx20)1ln(im（2） = _ .dex1)(（3）设 a0， 而 D 表示全平面，则 = _ .，xagf其 他若 ,10,)(DdxygfI)(（4）设 A,B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵. 已知 AB=2A+B,B= ,则204= _ .1)(A（5）
8、设 n 维向量 ；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵0,),0(aaTL， ，TEB1其中 A 的逆矩阵为 B，则 a= .（6）设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.5, EX=EY=0, , 则 = .22EYX2)(YX二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）曲线 21xey(A) 仅有水平渐近线 . (B) 仅有铅直渐近线.(C) 既有铅直又有水平渐近线. (D) 既有铅直又有斜渐近线. （2）设函数 ，其中 在 x=1 处连续，则 是 f(x)在 x=1 处可导的)(1)(3x
9、xf)(x0)1(A) 充分必要条件 . （ B）必要但非充分条件.(C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. （3）设可微函数 f(x,y)在点 取得极小值，则下列结论正确的是),(0yx(A) 在 处的导数等于零. （B） 在 处的导数大于零.),(0yxf0),(0yxf0(C) 在 处的导数小于零 . (D) 在 处的导数不存在. （4）设矩阵 .已知矩阵 A 相似于 B，则秩(A-2E)与秩(A-E) 之和等于01B(A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. （5）对于任意二事件 A 和 B(A) 若 ，则 A,B 一定独立. (B) 若 ，则 A,B
10、有可能独立.ABAB(C) 若 ，则 A,B 一定独立 . (D) 若 ，则 A,B 一定不独立.（6）设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，且它们不相关，则(A) X 与 Y 一定独立 . (B) (X,Y)服从二维正态分布. (C) X 与 Y 未必独立 . (D) X+Y 服从一维正态分布. 三 、 （本题满分 8 分）设 试补充定义 f(0),使得 f(x)在 上连续.,210(,)1(sin1)( xxxf 21,0四 、 （本题满分 8 分）设 f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足 ，又 ,求122vfu )(21,),(2yxfyxg.22ygx五 、 （本题满分 8 分）计
11、算二重积分 其中积分区域 D=.)sin(2)(2dxyeIDyx .),(2yx六、 （本题满分 9 分）设 a1， 在 内的驻点为 问 a 为何值时，t(a)最小？并求出最小值.attft)(),().(t七、 （本题满分 9 分）设 y=f(x) 是第一象限内连接点 A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线，M(x,y)为该曲线上任意一点，点 C 为M 在 x 轴上的投影，O 为坐标原点. 若梯形 OCMA 的面积与曲边三角形 CBM 的面积之和为 ，316x求 f(x)的表达式.A1)(21Cdxexexfd= Mln2lnxx= O C B x)1(2Cd八、 （本题满分 8 分）设
12、某商品从时刻 0 到时刻 t 的销售量为 ， 欲在 T 时将数量为 A 的该商ktx)().0(,kT品销售完，试求(1) t 时的商品剩余量，并确定 k 的值；(2) 在时间段0，T 上的平均剩余量.九、 （本题满分 13 分）设有向量组（I）： ， ， 和向量组（II ）：T)2,01(T)3,1(Ta)2,1(， ， 试问：当 a 为何值时，向量组（I）与Ta)3,21(a62.4a（II）等价？当 a 为何值时，向量组（I）与（II ）不等价？十、 （本题满分 13 分）设矩阵 可逆，向量 是矩阵 的一个特征向量， 是 对应的特征值，其aA121b*A中 是矩阵 A 的伴随矩阵. 试求
13、 a,b 和 的值.* 十一、 （本题满分 13 分）设随机变量 X 的概率密度为 F(x)是 X 的分布函数. 求随机变量;,81,03)(2其 他若 xxfY=F(X)的分布函数.十二、 （本题满分 13 分）对于任意二事件 A 和 B， ，1)(0,)(BP称做事件 A 和 B 的相关系数.)()(AP(1) 证明事件 A 和 B 独立的充分必要条件是其相关系数等于零；(2) 利用随机变量相关系数的基本性质，证明 .12004 年全国硕士研究生入学统一考试数学(四)试题及答案二、 填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）(1) 若 ，则 a = ，b = .5)(cosinlm0bxaex(2) 设 ，则 .1lrt2xey 1xdy(3) 设 ，则 .2,1)(2xxf 21)(f（4） 设 ， ，其中 为
