《2014年高考导数综合题做题技巧与方法总结》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014年高考导数综合题做题技巧与方法总结（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2014 年高考导数综合题做题技巧与方法总结知识点梳理1导数与函数单调性的关系设函数 在某个区间内可导，则在此区间内：()fx（1） ， ；0)(xf)(f()0fx（2） 时， f 0（单调递减也类似的结论）2单调区间的求解过程：已知 )(fy（1）分析 的定义域； )(xfy（2）求导数 ；（3）解不等式 ，解集在定义域内的部分为增区间0f（4）解不等式 ，解集在定义域内的部分为减区间)(3函数极值的求解步骤：（1）分析 的定义域； xfy（2）求导数 并解方程 ；)()0fx（3）判断出函数的单调性；（4）在定义域内导数为零且由增变减的地方取极大值；在定义域内导数为零且由减变增的地方取极
2、小值。4函数在区间内的最值的求解步骤：利用单调性或者在求得极值的基础上再考虑端点值比较即可。1、典型例题讲解例 1、已知函数 ， 321()1fxx2()gxa（1）讨论方程 （ 为常数）的实根的个数。fk（2）若对 ，恒有 成立，求 的取值范围。0,x()fxa（3）若对 ，恒有 成立，求 的取值范围。2ga（4）若对 ， ，恒有 成立，1,0,212()fxg求 的取值范围。a解：（1）求导得： 2()3fx令 解得 ，此时 递增，0f1x或 ()fx令 解得 ， 此时 递减，当 时 取极大值为3()f(0f当 时 取极小值为1xx2)3方程 （ 为常数）的实根的个数就是函数()fk ()
3、yfx与 的图象的交点个数y当 或 时方程有 1 个实根；2310当 或 时方程有 2 个实根；k当 时方程有 3 个实根。（2） 时，要使得 恒成立，则只需0,2x()fxamin()fxa由（1）可知 时0,2min213f（3） 时，要使得 恒成立，ax()xg即 ，设 ，()fghf则只需 时0,2min()0321()51hxfxxa令 得 或245Q0,x比较 1ha5233a80得 min5()hxa即 33（4）要有对 ， ，恒有 成立，10,2x0,2x12()fxg则只需在 中 mina()fg由（1）可知 时,i 3f而 的对称轴为 且开口向下，2()gxxa1x当 时0
4、,mga即1353练习1.已知函数 ，2()ln4fx(1).求 在 上的最值。0,(2).若对 ， 恒成立，求 的取值范围。2x()ln2fxmm(3).若对 ， 恒成立，求 的取值范围。,(4).若 ，对 ，使得 恒成立，求的 取值范围。()gx0,x()fxgm历年导数高考题1.(2007 湖北, 20, 13 分) 已知定义在正实数集上的函数 f(x) = x2+2ax, g(x) =3a2ln x+b, 其中 a0. 设两曲线 y=f(x) , y=g(x) 有公共点 , 且在该点处的切线相同. () 用 a 表示 b, 并求 b 的最大值;() 求证:f(x) g(x) (x0)
5、. () 设 y=f(x) 与 y=g(x) (x0) 在公共点(x 0, y0) 处的切线相同. f (x) =x+2a, g(x) = , 由题意 f(x0) =g(x0) , f (x0) =g(x0) . 即由 x0+2a= 得 x0=a 或 x0=-3a(舍去) . 则有 b= a2+2a2-3a2ln a= a2-3a2ln a. 令 h(t) = t2-3t2ln t(t0) , 则 h(t) =2t(1-3ln t) . 于是当 t(1-3ln t) 0, 即 00;当 t(1-3ln t) 时, h(t) 0) , 则 F(x) =x+2a- = (x0) . 故 F(x)
6、在(0, a) 为减函数 , 在(a, +) 为增函数, 于是函数 F(x) 在(0, +) 上的最小值是F(a) =F(x0) =f(x0) -g(x0) =0. 故当 x0 时, 有 f(x) -g(x) 0, 即当 x0 时, f(x) g(x) . 2.(2007 天津, 20, 12 分) 已知函数 f(x) = (xR) , 其中 aR. () 当 a=1 时, 求曲线 y=f(x) 在点(2, f(2) ) 处的切线方程 ;() 当 a0 时, 求函数 f(x) 的单调区间与极值. 2.() 当 a=1 时, f(x) = , f(2) = , 又 f (x) = = , f (
7、2) =- . 所以, 曲线 y=f(x) 在点(2, f(2) ) 处的切线方程为y- =- (x-2) , 即 6x+25y-32=0. () f (x) = . = . 由于 a0, 以下分两种情况讨论. (1) 当 a0 时, 令 f (x) =0, 得到 x1=- , x2=a. 当 x 变化时, f (x) , f(x) 的变化情况如下表:x - a (a, +) f (x) - 0 + 0 -f(x) 极小值 极大值 所以 f(x) 在区间 , (a, +) 内为减函数, 在区间 内为增函数. 函数 f(x) 在 x1=- 处取得极小值 f , 且 f =-a2. 函数 f(x)
8、 在 x2=a 处取得极大值 f(a) , 且 f(a) =1. (2) 当 a0, 如果过点(a, b) 时作曲线 y=f(x) 的三条切线, 证明:-a0(x0) . 这时 f(x) 在(-, 0) 、(0, +) 内是增函数;当 a0 时, 令 f (x) =0, 解得x= . 当 x 变化时, f (x) 、f(x) 的变化情况如下表:x (-, - ) - (- , 0) (0, ) ( , +) f (x) + 0 - - 0 +f(x) 极大值 极小值 所以 f(x) 在(-, - ) 、( , +) 内是增函数, 在(- , 0) 、(0, ) 内是减函数. () 由() 知,
9、 f(x) 在 上的最大值为 f 与 f(1) 中的较大者, 对于任意的 a , 不等式 f(x) 10在 上恒成立, 当且仅当 即对任意的 a 成立. 从而得 b , 所以满足条件的 b 的取值范围是 .5. (2009 重庆, 20, 13 分) 设函数 f(x) =ax2+bx+c(a0) , 曲线 y=f(x) 通过点(0, 2a+3) , 且在点(-1, f(-1) ) 处的切线垂直于 y 轴. () 用 a 分别表示 b 和 c;() 当 bc 取得最小值时, 求函数 g(x) =-f(x) e-x 的单调区间. 6.() 因为 f(x) =ax2+bx+c, 所以 f (x) =
10、2ax+b. 又因为曲线 y=f(x) 通过点(0, 2a+3) , 故 f(0) =2a+3, 而 f(0) =c, 从而 c=2a+3. 又曲线 y=f(x) 在(-1, f(-1) ) 处的切线垂直于 y 轴, 故 f (-1) =0, 即-2a+b=0, 因此 b=2a. () 由() 得 bc=2a(2a+3) =4 - , 故当 a=- 时, bc 取得最小值 - . 此时有 b=- , c= . 从而 f(x) =- x2- x+ , f (x) =- x- . g(x) =-f(x) e-x= e-x, 所以 g(x) =f(x) -f (x) e-x=- (x2-4) e-x
11、. 令 g(x) =0, 解得 x1=-2, x2=2. 当 x(-, -2) 时, g(x) 0, 故 g(x) 在 x(-2, 2) 上为增函数;当 x(2, +) 时, g(x) 0, 则当 x 时, f (x) 0, 函数 f(x) 单调递增. 若 k0, 函数 f(x) 单调递增;当 x 时, f (x) 0, 则当且仅当- -1, 即 k1 时, 函数 f(x) 在(-1, 1) 内单调递增;若 k0) 在 x=0 处取得极值, 且曲线 y=f(x) 在点(1, f(1) ) 处的切线垂直于直线 x+2y+1=0. () 求 a, b 的值;() 若函数 g(x) = , 讨论 g
12、(x) 的单调性. 8.() 因 f(x) =ax2+bx+k(k0) , 故 f (x) =2ax+b, 又 f(x) 在 x=0 处取得极值, 故 f (0) =0, 从而 b=0. 由曲线 y=f(x) 在(1, f(1) ) 处的切线与直线 x+2y+1=0 相互垂直可知该切线斜率为 2, 即 f (1) =2, 有2a=2, 从而 a=1. () 由() 知, g(x) = (k0) , g(x) = (k0) , 令 g(x) =0, 有 x2-2x+k=0(k0) . 当 =4-4k1 时, g(x) 0 在 R 上恒成立, 故函数 g(x) 在 R 上为增函数. 当 =4-4k
13、=0, 即当 k=1 时, 有 g(x) = 0(x1) , 从而当 k=1 时, g(x) 在 R 上为增函数. 当 =4-4k0, 即当 00, 故 g(x) 在(-, 1- ) 上为增函数;当 x(1- , 1+ ) 时, g(x) 0, 故 g(x) 在(1+ , +) 上为增函数. 9. (2009 天津, 20, 12 分) 已知函数 f(x) =(x2+ax-2a2+3a) ex(xR) , 其中 aR. () 当 a=0 时, 求曲线 y=f(x) 在点(1, f(1) ) 处的切线的斜率 ;() 当 a 时, 求函数 f(x) 的单调区间与极值. 9.() 当 a=0 时,
14、f(x) =x 2ex, f (x) =(x2+2x) ex, 故 f (1) =3e. 所以曲线 y=f(x) 在点(1, f(1) ) 处的切线的斜率为 3e. () f (x) =x 2+(a+2) x-2a2+4aex. 令 f (x) =0, 解得 x=-2a 或 x=a-2. 由 a 知, -2aa-2. 以下分两种情况讨论. 若 a , 则-2aa-2. 当 x 变化时, f (x) 、f(x) 的变化情况如下表x (-, a-2) a-2 (a-2, -2a) -2a (-2a, +) f (x) + 0 - 0 +f(x) 极大值 极小值 所以 f(x) 在(-, a-2)
15、, (-2a, +) 内是增函数, 在(a-2, -2a) 内是减函数. 函数 f(x) 在 x=a-2 处取得极大值 f(a-2) , 且 f(a-2) =(4-3a) ea-2. 函数 f(x) 在 x=-2a 处取得极小值 f(-2a) , 且 f(-2a) =3ae-2a. 10.(2010 重庆, 18, 13 分) 已知函数 f(x) = +ln(x+1) , 其中实数 a-1. () 若 a=2, 求曲线 y=f(x) 在点(0, f(0) ) 处的切线方程 ;() 若 f(x) 在 x=1 处取得极值, 试讨论 f(x) 的单调性. 10.() f (x) = + = + . 当 a=2 时, f (0) = + = , 而 f(0) =- , 因此曲线 y=f(x) 在点(0, f(0) ) 处的切线方程为 y- = (x-0) , 即 7x-4y-2=0. () 因 a-1, 由() 知 f
