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1、高等数学作业答案（2012-2013-1）第 1 页/共 19 页第一章 函数、极限与连续1.1 函数1、 （1）（2） （3）2、(1)不同，定义域不同；(2)不同，对应法则不同3、 (1)，(21),2,(1)kkkU；N(2) 时 ； 为空集aa， 4、 （1）奇；（2）奇；（3）奇.5、 (1) (2)xyln1xy6、 (1) ；cos,5u(2) ；e,yx(3) ；3,sinuv(4) arcsil,21yx7、 (1) ；1()xfg(2) ；2fx(3) ()tan(31)g8、略9、 2,()kk10、 sinx11、 .()1fx1.2 极限1、(1) ；(2) ；3 n
2、 0n (3) 极限不存在； (4) 极限不存在2、(1) 例： ，1()0xf()g(2) 例： ，()1fx0()g3、(1) 极限不存在；(2) ，2arctn x ，时, 的极限不存在；xxarct(3) ，11 xeex ，时， 的极限不存在x4、 ；0limx当 时， 左、右极限不一样，()x极限不存在5、 ； 不存在.0li()xf1li()xf1.3 极限的运算法则1、2； 2、0； 3、 ； 744、 5、 6、12高等数学作业答案（2012-2013-1）第 2 页/共 19 页7、 .1,3ab8、 2,81.4 极限存在准则 两个重要极限1、(1) ；(2) ；(3)
3、；(4) 1；(5) 0；e2-2e(6) ；(7) ；(8)2 ；(9) ；(10) .35ax2、1 3、 .lim2n1.5 无穷小与无穷大1、 （1） 时是无穷小； 时是无穷大.x0x（2） 时是无穷小； 时是无穷大.1（3） 时是无穷小；()2k时是无穷大.x（4） 时是无穷小； 以及10x时是无穷大.x2、 （1）既不是无穷小，又不是无穷大；（2）前者是无穷小，后者是无穷大.3、 （1）错（2）正确（3）正确（4）正确（5）错例：当 时， 与 均是无穷小，0x2x但商为无穷大（6）错例：当 时， 和 均是1无穷大，但其和为有界函数（7）正确4、 ，理由：无穷小的倒数是无穷大.5、解
4、：（1） ，取 ，0M2(0,)nxn此时， . 当 充分大时，()2nfxn. 所以无界.M（2）取 ，此时，(0,)2nx. 故 . 所以，()0flimnnfx时 不是无穷大()fx6、(1) ；arct(2) 时等价; 时同阶；eea(3) 同阶； (4) 同阶7、(1) ； (2) ； (3) 6n1n， 12m8、 （1） （2） （3） 121.6 连续函数的概念与性质1、连续2、(1) 是可去间断点， 是无穷间断点.x3x(2) 是可去间断点.0(3) 是第二类间断点， 是无穷间断点.1(4) 是无穷间断点.1x(5) 是跳跃间断点， 是无穷间断02x点.（6） ,）（）（，）
5、（ 0101fff 第一类跳跃，0x3、(1) a（2） ， eb高等数学作业答案（2012-2013-1）第 3 页/共 19 页4、 3ab，5、(1) ；(2) 0；(3) 1/2；(4) 0；12lne(5) ；(6) (7) (8) 1l2l32e6、解：令 ，显然5()fx.()0,1fC，由零点定理知，至()0f少存在一点 使得 ，原即方程在 0 与 1之间至少有一实根 证毕7、 2,1ab8、证：易知 设1(),nfxC， ，则1,minx1,a()nxMf.(),ifiL于是有 12()()nfxffxnM在 上使用介值定理得：在 内至少1,n 1,n存在一点 使 证毕12(
6、)()nfxffxfL综合练习题一1、3()1,0,),.xf 2、证：当 时， 0x1()cafxbfx联立得： 22()()cfxfx.2afb又 ，显然 是奇函数. 证毕(0)f()fx3、D 4、证： 00lim()lixxfxx0li()f在 处连续 证毕f5、 （1） （2） （3） .（4） （5）1xan2e（6）0 6、 17、 是无穷间断点； 是可去间断点；xx是跳跃间断点.08、解： 21,|0lim,nnxfx（是函数的跳跃间断点.1在点 处连续.x高等数学作业答案（2012-2013-1）第 4 页/共 19 页 9、 （1） ， （2） .0ba110、 （1） （
7、2） （3）11、证：令 ，则()Fxf.(),xCab易知， .,min(),a()bfxfx()0,0FF若 或 ，则取 或 均a()a可.否则 ，由零点定理知至少()0,()Fb存在一点 ，使 ，即a0F.()f无论哪种情况点 都存在. 证毕 12、证：由 在 上连续，得 在()fx,ab()fx上一定存在最小值和最大值，分别记为,ab和 .于是有：tT()( ()mntfcfdmTnn由介值定理得：在 上必存在点 使,ab，再移项得证 证毕()(fcfdfmn13、证：在极坐标系下建立温度函数为，显然有： . 温度()T()2)T在圆环上非均匀连续分布，于是有 0,2C设 ，当()()
8、LT时， . 在,2()T上连续， 在 上连续.2()0(0)()LT(2)T)02(0()0L若 ，则问题得证.)T否则就有 ，由零点定理知，()至少存在一点 ，使得 . 即：0,()0L. 证毕()T第二章 一元函数的导数与微分2.1 导数的概念1、 （1）-20 （2）12、 （1） （2） （3）(0)f0()fx02()fx3、 4、 ,ab1,y5、证法一： 00()()()limlixxfff 高等数学作业答案（2012-2013-1）第 5 页/共 19 页00()()()limlitxxfftff （因为 为偶函数）0()li()()tffft（因为 ）0ff. 证毕()()
9、证法二： 00()()limli(0)xxfff00()lilimxxfff. 证毕()f6、证：函数 在 处连续()fx00li()xf存在0limx0li()xff存在 存在()f在 处可导. 证毕2.2 函数的求导法则1、 （1） yxxlnl2(2) -()(3) 2cosixxy(4) ()3(1)31x(5) 2cosin()xy2、 （1）-2 （2） (1)43、(1) (2)38(5yxsin(43)yx(3) (4)2a2(5) (6) rctn1xey1()yx(7) s(8) 11incosinsiconyxxx(9) ()4、证：（1）设 为偶函数，且可导，下证(fx
10、为奇函数.()fx，00D00()()limxfxf00()lixff x0 000()()lilitx txtfft0m()tx fx所以， 为奇函数. 证毕()f另一个同理可证.（2）设 是以 为周期的周期函数，且可导，()fxT下证 也是以 为周期的周期函数.，00D高等数学作业答案（2012-2013-1）第 6 页/共 19 页00()()limxfxf00()lixTfTf x00()lixTtftf. 证毕00lim()txffx5、 4(3),6(1) (2)-2ttye21xy2.3 高阶导数1. (1) (2) sincosx(7)ex(3) 23(1)y2(1) (2)
11、!n.xe(3) .11si2ny(4) ()1!nnx3. (1) (2)23.y2e.2.4 隐函数的导数与由参数方程所确定的函数的导数1、(1) (2) cosinicosint2、 3dyxt3、 (1) (2)2.ayyxysinco()4、 （1） sin1eecot2(1)xxx2（2） tan 2an()sl()x x2.5 函数的微分1、参考答案：（1）可导与可微是等价的，即存在性是一样的.（2）导数和微分是两个完全不同的概念. 导数 是一个数；是函数在该点处的变0()fx化率；是曲线 在点 处的切()yf0,()xf线的斜率. 微分 是函数dy在点 处增量（改变量）的线性主
12、部，是()fx0的近似值，是 的线性函数；是曲线yx在点 处的切线的纵坐标在0(,)f点 的改变量.02、(1) (sin2cos)d.xx(2) (3)231)ln1.（3、 （1） （2）xCcosx（3） （4）sin21eC（5） （6）1l()xlnx4、 5、d32.6 微分中值定理1、方程 有且仅有三个实根,它们分别()0fx在区间 内.,23)高等数学作业答案（2012-2013-1）第 7 页/共 19 页2、证： ，由零点定(0)1,()10ff理得，函数在 内至少存在一零点. 下证函数在 内不可能有两个及以上的零点. (,)（反证法）不妨令 是函数的两个120x零点，即
13、. 1()ff，由 Rolle 定理得：至少存),fxC在一点 ，使得 . 而实际上，(0)()0f在 内无实根，矛盾. 2)3fx,1证毕 3、证：原不等式等价于： ln1.ab令 ，显然 在 上连续，()lnfx()fx,内可导，由 Lagrange 中值定理得：至少存,ba在一点 ，使得 .(,)ln1()abf又 ，于是有：10ba，整理变形即可. 证毕1lnb 4、证：显然 是方程的两个实根.0,1x令 ，则 .2()f1(),)fC， ；156f由零点定理得，原方程在 内至少存在一实(4,5)根. 下证原方程不可能有四个及以上实根.（反证法）不妨令 是方程的 41234xx个实根，即 .()()0ffff分别在 上使用 Rolle 定理1234,xx得：在 内分别存在点()()使得 对函123,123(0.fff数 分别在区间 上使用 Rolle()fx,定理得：在 内分别存在点123,)(使得 对函数 在12,20.ff()fx区间 上使用 Rolle 定理得：在 内 12,存在点 使得 而().f无实根，矛盾. 故原方程有且3()2lnxf仅
