《常微分方程解的延伸》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常微分方程解的延伸（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、13 解的延伸1 的定理 1 只肯定了在相当广泛的条件之下，解在区间 上存在，其中 ，hx0 ),min(Mbah.当 很大时， 可能很小，甚至出现 的定义域扩大后，Cauchy 问题),(max),(yfRyMh),(yf0)(,yxfd )2.3(1的解的存在区间 反而缩小的现象.例如 Riccati 方程的 Cauchy 问题h0)(,2yxd当 时， ，而当 时， .由1,),(1yxR12,),(2yxR41)82,min(2h此看到， ，反而 ，这说明在 上，由定理 1 得到的 Cauchy 问题的解在 有定义，22h 至少可以把此解延伸在 上仍有定义.,仅仅知道解局部存在，在许多
2、情形下往往不能满足需要.我们的问题是：能否将一个在小区间上有定义的解延伸到比较大的区间上去呢？这就是本节所要讨论的问题.设微分方程 经过点 的解 有如下表达式)1.3(0P， （ ）)(:xyJx其中 表示 的最大存在区间.J先考察积分曲线 在点 右侧的延伸情况.令 为 在点 右侧的最大存在区间，即0P0P.),0xI若 ，则积分曲线 在区域 内就延伸到无穷远，因此也就延伸到区域 的边界.否则，JGG就只有下面两种可能：1） 是有限闭区间.令 ，其中 ，方程 与条件 的解 存在于区间 上，当,10xJ01x)1.3()2.()(xyJ时， ，我们按下述方式把解 向右延伸：xG)(xy令 ，则
3、.因为区域 是一个开集，所以存在矩形区域：1xyy),1G: , ,Rax1by使得 .由定理 3， ，在 上，方程 至少有一个解 满足初始条件G1 01h1hx).3( )(1xy2.令)(11xy),()(1xy.,110hx当当显然 是方程 的满足条件 的在区间 上有定义的解.因此，它是积分曲线 在区)(xy.32.3,0 间 上的表达式.由于已设积分曲线 的最大右侧存在区间为 ，从而 必包含,10h,10xJJ，与假设矛盾.故 比可能是有限闭区间.xJ2） 是有限半开区间.J令 ，其中 ，而当 时，有 .),10x01xJGx)(,下证对任何有限闭区域 ，不可能使G，对一切 1)(,x
4、Jx )3.(成立.事实上，若不然，设 是 内一个有限闭区域，使得 成立，则有 和1 )3.(0)(yx， 当 )(,)( xfxJ4.3它等价于， （ ） xdsfy0)(,)( 10x)5.(由于 在有限闭区域 上是连续的，故 在 上有上界 ，再由 和 可推),(yxf1G,yf1GK34.知，在 上 有上界 ，再由拉格郎日中值公式即可推得 JK， 当 .2121)(ttJt21,由此可证，当 时， 的极限存在，设为 ，即xy)(lim1xyx )6.3(令,)(1y.,10x当当可知这样定义的函数 是连续的，从而由 和 可知， 在 上满足)(x)53(6.)(xy10x.xdsfy0,(
5、3由上一节定理 1 的证明知， 在区间 上是微分方程 的满足初值条件 的一个解.)(xy,10x)1.3()23(这也就是说，上面的积分曲线 可延伸到区间 上，这与 的最大存在区间为 矛盾.故对,10x任何有限闭区域 ，关系式 是不可能成立的.G1)3(由上述讨论可知，积分曲线 在 点的右侧将延伸到区域 的边界.同理可证，积分曲线 在 点0PG0P的左侧也将延伸到区域 的边界.把上面的结果写成一个定理，即有定理 4 设 为区域 内一点，并设 是积分方程 经过 点的任一条积分曲线，则积分曲线0PG)1.3(0P将在区域 内延伸到边界.由定理 1 和定理 4 立即可得如下推论.推论 设函数 在区域
6、 内连续，且对 满足局部的李普希兹条件，则微分方程 经过),(yxf y )1.3(内任一点 存在唯一的积分曲线 ，并且 在 内延伸到边界.G0PG例 1 在平面上任取一点 ，试证初值问题),(0yxP： ，)(E2xyed0)(y的右行解（即从点 出发向右延伸的解）都在区间 存在.0 x证 记 ，它在全平面上连续.对于平面上任意一个包含点 的区域 ，2)(),xyeyxf 0PG在 上一致连续，所以对 ， ，亦即 在212eyfxRGyx),(Nyxf),(),(yxf上满足李普希兹条件，从而由上面的推论可知，初值问题 的解存在且唯一，并且可以延伸到 的R E边界.不难看出，直线 ： 是微分
7、方程所对应的线素场的水平等斜线，且线素的斜率在 上方为负，Lxy L因而积分曲线在 上方是单调下降的，而在 下方线素的斜率为正，故积分曲线在 下方是单调上升的.L现设 位于 的上方，即有 .利用 的右行解 在条形域0P0y)(: Syx,),(0上的延伸定理，以及积分曲线 在 上方的单调下降性，可推知 必与 相交（如图 ）.LL再设 位于直线 上或其下方，即 .那么在区域0 0: Gyxy,),(0上应用右行解的延伸定理，可知 的解 可延伸到 的边界.又由前面讨论知，在 下方积分曲线是EGL单调上升的，且它在向右延伸时不可能从水平等斜线 的下方穿越到上方.因此，积分曲线 必可延伸到L4.x0例
8、 2 研究定义于条形区域 : 中的方程 .Gyxy,32),( 2ydx这里 处处连续，且在条形区域 中的任一点的领域内满足李普希兹条件.方程的通解2),(yxf为 ，此外还有特解 .很显然，积分曲线 的两端都能达到 的边界.可以算出，经过Cy100yG点 的积分曲线是 ，它的左端能达到 ，但右端当 时， ，故不能达),(xy212x2xy到 的边界 .仿此，经过点 的积分曲线是 ，它的右端能达到 ，但在左端当G3x),(y13时， ，故不能达到 的边界 .（如图 ）0yGx例 2 说明，微分方程解的最大存在区间因解而异.对不同的解，需要在不同的区间上进行讨论.因此，当我们不知道解的最大存在区
9、间时就无法对解进行研究，下面的定理在一定条件下为我们克服了这个困难.定理 5 设微分方程),(yxfd )7.3(其中函数 在条形区域 : 内连续，而且满足不等式),(yxfSy,)()(,(xByAxf )8.(其中 和 在区间 上是连续的.则微分方程 的每一个解都以区间0)(xA)B )7.3(为最大存在区间.证 设方程 满足初值条件)7.3(，0(yxSx),(0的一个解为 ： .要证 的最大存在区间为 .)yx用反证法.设它的右侧最大存在区间为 ，其中 是常数， ，在 的两侧分别),0x00x0取常数 ，使得21,x，且 .2010x012xx由假设条件知， 、 在有限闭区间 上是连续
10、有界的.设 分别为它们的正的上)(xAB,0 0,BA界，从而由 可得)8.3(， （ ） 0,yxfyx,20 )9.3(5不妨设 ,由于 在 上存在， ，于是有 ，01214Ax)(xy),0010x1)(yx.Syx),(1现以 点为中心作一矩形区域),(1.111,),( byaxyR这里正数 是充分大.显然， .再由 有1bS1)9.3(， 00)(),(BbyAxf11,Ryx)10.3(成立.令 ， ，再以 点为中心作一矩形区域0101M),min(11Mbah),(1.1*1,),(yxyR显然， ，在 内应用定理 4，可以推知，微分方程 过 的解 必可向右延伸到*1)8.3(),1yx的边界.R另一方面，由 式可知，解 在 内必停留在扇形区域)0.3(*1R.11,hxxMy因此，解 可向右延伸到 ,又由于 及 .所以只要取充分大的正数 ，),10h014Aa01lim1AMb1b就有.12111),min(xMbah由此可知， 在 上存在.但是，由上述区域的构作可知，区间 严格大于 的右侧最20x ),20x大存在区间 .故矛盾.从而证明 的右侧最大存在区间为 .),x),0x同理可证 的左侧最大存在区间为 .因此， 的最大存在区间是 .,(0x),(
