直线与方程教师

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1、1第三章 直线与方程课堂接力小专题 13 倾斜角 PK 斜率直线的倾斜角和斜率是联系非常紧密的两个概念，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率。当直线的倾斜角为 90时斜率不存在。还有当直线的倾斜角在某个范围内变化时，斜率的变化情况如何，是同学们最容易出错的地方。本小节通过定义的辨析和示例的解读，来突破这个问题。（一）问题剖析1 忽视斜率的存在：认为所有直线都有斜率。如果倾斜角为 90时,直线的斜率就不存在，但这时并不是直线不存在,而是直线垂直于 x 轴， 因为定义直线斜率时先排除了倾斜角是 90。2 不明确直线倾斜角和斜率之间的变化关系。从可以看出，当斜率大于 0 时，即倾斜角的正切

2、值大于 0 时，倾斜角 ，当斜率小,9于 0 时，即倾斜角的正切值小于 0 时，倾斜角。9,18（二）示例解读类型一 直线倾斜角和斜率的关系例 1关于直线的倾斜角和斜率，下列说法是正确的是（ ）A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；C.两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等.D.直线斜率的范围是(，).【思路】从定义入手，并注意易错点。【错解】B【正解】D 正确，其余均错误，原因如下：A.与 x 轴垂直的直线倾斜角为 ，但斜率不存在；B 由斜率和倾斜角的函数2图象易知。C.如果两直线的倾斜角都是 ，但斜率不存在，也就谈不上相等.2【易错评析】忽视斜率存在的条

3、件及直线倾斜角和斜率之间的关系。因此把握好关键点是学好知识的前提。类型二 忽视斜率的存在例 2已知 M(2, 3), N(3,2)，直线 l 过点 P(1, 1)，且与线段 MN 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是 .【思路】先求出直线 PM 和 PN 的斜率，注意倾斜角和斜率的变化关系。【错解】 算出两直线 PM 和 PN 的斜率，然后直接写出 。34k【正解】 , Q1()324PNk1()2PMk当直线 l 绕着点 P 由 PM 旋转到与 轴平行的位置时，它的斜率变化范围是 当直线 l 绕着 P 点由与 轴平行的y34， y2位置旋转到 PM 位置时它的斜率变化范围是 。,4要使

4、直线 l 与线段 MN 相交，则有 k 或 k43【易错评析】主要还是忽视的倾斜角为 90时,直线的斜率就不存在情况，以及对倾斜角和斜率的变化关系把握不准。【自我检评】1下列命题中，正确的命题是 （ ）A.直线的倾斜角为 ，则此直线的斜率为 tanB.直线的斜率为 tan，则此直线的倾斜角为 C.任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率D.直线的斜率为 0，则此直线的倾斜角为 0 或 2若直线 k 的斜率满足 30)且 0，解得 S4.2S 24AOB 面积的最小值为 4.【方法评析】1.对直线 l 的大致位置分析，界定了斜率存在性及其范围，指明了解题方向，这种分析是避免解题盲目性的

5、重要技能，应学会掌握.2.设参，用参，消参是解析几何解决问题的基本思路，特别要注意对参数范围的界定。【自我检评】1.直线 与连结 A(2,3)， B(3,2)的线段相交，则 的取值范围是_10axya2.直线 l 的斜率为 ，l 与坐标轴围成的三角形周长是 12，则 l 的方程_3443.直线过定点 A(-2,3),且与两轴围成的三角形面积为 4,求直线 l 的方程.【答案】1.a| a2 或 a1【解析】直线 axy 10 过定点C(0，1)，当直线处在 AC 与 BC 之间时，必与线段 AB 相交，应满足a 或a ，即 a2 或 a1.3 12 2 1 32. 3x4y120 【解析】 l

6、 ：y xb，| b| |b| |b|12，34 43 53|b |3 ， l：3x 4y 12 03. 【解析】依题意可知, l 不与两坐标轴垂直,设直线的方程为: ,则 l 在1292和 )2(3xkyx 轴、y 轴上的截距分别为 ，根据题意，得 ，即 当3k和 4|23|2|1k8)(时，解之得 ；8)3(k当 时，解之得 所以所求的直线 l 的方程为：2,29,1k01904yxyx和课堂接力小专题 15 直线的截距式方程直线的截距式方程以其结构优美和几何意义明显而应用广泛。用直线的截距式来画直线、判断直线经过的象限，求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长时较为方便。但结构优美的同时要求

7、也较高，它只能表示两截距都不为零的情况，而直线经过原点或与坐标轴垂直时，就没有截距式方程了。（一）类型剖析1.忽视直线截距式的适用范围直线经过原点时，直线的方程就不能用截距式表示了，如直线在两坐标轴上截距相等就包括截距都是 0 的情况，它不能用截距式表示。2.忽视截距的意义直线在 x 轴上的截距是直线与 x 轴交点的横坐标，直线在 y 轴上的截距是直线与 y 轴交点的纵坐标，而不是交点到原点的距离，因此截距 a , b 可能为正或 0，也可能为负.（二）示例解读类型一 忽视直线截距式的适用范围例 1.求过点 ，并且在两轴上的截距相等的直线方程. (3,2)P【思路】因其直接提到截距，可直接用待

8、定系数法设出截距式方程，但要注意在两坐标轴上截距为 0 时也是截距相等。【错解】设所求直线 ，则 ，解得 .1yxa321a5a 所求直线方程为 ，即 . 550xy5【正解】当在两轴上的截距 ，设所求直线 ，点 代入得 ，解得 . 所求直线为0abykx(3,2)P3k2323yx当在两轴上的截距 ，设所求直线 ，则 ，0ab1xyab321ab解得 . 所求直线方程为 ，即 .5ab550综上，所求直线方程为 或 .23yx0y【易错评析】直线在两轴上截距相等，直接考虑截距式方程 . 解题时特别要注意直线在两坐标轴上截距相等、1xyab截距互为相反数、在 x 轴上截距是在 y 轴上的截距的

9、 2 倍这些情况，他们都包含截距是 0，这时要分类讨论，先把截距为 0 的解决掉，可选用函数 .kx类型二 忽视截距的意义例 2已知直线 过点 ，且与两坐标轴构成单位面积的三角形，求直线 的方程l(2,) l【思路】涉及面积和长度可考虑用截距式，但要注意截距的意义。【错解】设方程为 由已知有1xyab21ab解方程组 , 得 故所求方程为 ,即2ab 211ab或 1122xyyx或00xyxy或【正解】设方程为 由已知，有 ,解方程组 , 得 ,而方程组1ab2ab21ab211ab或无解.21ab故所求方程为 ,即1122xyyx或 2020xyxy或【易错评析】错解中结果虽然和正解的结果

10、相同，但没有考虑截距的意义，误认为截距就是距离，这是错误的。在平时的学习过程中也特别注意这些易错点。【自我检评】1.求经过点 A（-5，2）且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程；2.直线 l 经过点 P（3，2）且与 x，y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点，OAB 的面积为 12，求直线 l 的方 程.3.过点 p（2，1）的直线 l 交轴 x、y 轴正半轴于 A、B 两点，求使：AOB 面积最小时 l 的方程；【答案】1. x+2y+1=0 或 2x+5y=0【解析】当直线 l 在 x、 y 轴上的截距都为零时，直线方程为 y=- x,即 2x+5y=0.56当横

11、截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为 =1，ayx2将（-5，2）代入所设方程，解得 a=- ，此时，直线方程为21x+2y+1=0.综上所述，所求直线方程为 x+2y+1=0 或 2x+5y=0.2. 【解析】设直线 l 的方程为 （ a0, b0）,3101baA( a,0),B(0,b), 解得24,31.ab.4,6b所求的直线方程为 =1,即46yx20xy3. x+2y-4=0. 【解析】设直线的方程为 (a2, b1),1ba由已知可得 .2 =1， ab8.12ba2S AOB= ab4.当且仅当 = = ,即 a=4,b=2 时，21ab12S AOB取最小值 4，此时直

12、线 l 的方程为 =1,即 x+2y-4=0.4yx课堂接力小专题 16 判定两直线位置关系妙招平行和垂直是两直线的位置关系中最重要的两种关系，解决此类题目的方法多种多样，但同学们掌握的却不是很好，主要还是对各种方法的应用范围模棱两可。如教材中给的判定直线平行与垂直前提是两条直线的斜率都存在。可是在涉及的方程中有参数需讨论时，使用时就不方便了，这时可以通过直线方程的“系数关系”来判断直线的位置关系。（一）类型剖析已知直线 的方程分别是： （ 不同时为 0） ， （ 不同时为 0） ，则12,l 11:0lAxByC1,AB22:0lAxByC2,AB两条直线的位置关系可以通过方程组的系数来确定

13、.1. ,特别的如果 时，则 ；如 1212121/0,lABC211122/l1:36lxy,:46xy由于 ，故两直线平行。3=12. 两条直线垂直 ， ，2120lAB1:0lxy显然两条直线垂直而由 也可判定.2:0lxy7上述方法优点视避免了考虑斜率不存在的情形，大大降低了难度，应学会应用。（二）示例解读类型一 判定两直线平行例 1.直线 l1：2 x(m1) y40 与直线 l2：mx3 y20 平行，则 m 的值为_【思路】一种是化为斜截式方程，比较斜率和截距，较烦.另一种方案是直接根据系数的关系判断.【解析】法一：l 1：2x(m1)y 40，l 2：mx 3y20，当 m0

14、时，显然 l1 不平行于 l2；当 m0 时，若 l1l 2 需 2m m 13 4 2由上式有 m2m60，解得 m2，或 m3.经检验 m2，或 m3 满足题意法二：若 l1l 2，则 A1B2A 2B123m(m 1)0，A1C2A 2C12(2)m444m0. m 3 或 2.【方法评析】方法一和方法二都采用系数判断，但法二避免了斜率不存在的讨论，降低了难度，应细心体会。类型二 判断两直线垂直例 2. 已知直线 ： ， ： ，问 m 为何值时 .1l20xy2l10xy12l【思路】如用斜截式 判断，还得分类讨论，采用系数关系，简洁明快。14【解析】 时， ，则 ，解得 m0.12l12ABm【方法评析】用系数关系避免了斜率不存在的讨论，形式简单明了.【自我检评】1.已知直线 l1: x+(1+m)y + m2=0 , l2: 2mx+4y+16=0 当且仅当 m 为何值时直线 l1 与 l2 分别有下列关系？(1) l1 l2 (2)l1l 22.直线 40与 50xn垂直，垂足为(1， p)，则 np【答案】1. (1) (2) 13【解析】 (1) 若 l1l 2，则 A1B2A 2B1 40解得 或 .又 A1C2A 2C1m62m 或 ,故 满足条件。4(2)若 时，则 得12l1232. 20. 【解析】由题