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1、编号 学 士 学 位 论 文求点到直线的距离的几种方法学生姓名： 热彦古力沙吾提 学 号： 20030101077 系 部： 数学系 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2003-1 班 指导教师： 买米提依明克力木 完成日期： 2008 年 4 月 25 日 学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS中文摘要点到直线的距离指的是点到直线的垂直线段的长度。本文讨论推出点到直线的距离公式的几种方法和有关的例题。关键词：点，直线，距离。 学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS2目录中文摘要 .1引言 .11.直线 0AxByC中 ,0AB的时候求点到直线的距离 .1
2、1.1 用三角形的相似来推出点到直线的距离 .11.2 用求三角形的面积来推出点到直线的距离 .21.3用直线与圆的相切的条件来推出点到直线的距离 .21.4 用向量的性质来推出点到直线的距离 .31.5 用点对直线的对称性来推出点到直线的距离 .41.6用两点之间的距离公式来推出点到直线的距离 .51.7用函数的最小值来推出点到直线的距离 .62.直线方程中 0A的时候求点到直线的距离 .113.直线方程中 B的时候求点到直线的距离 .11总结 .12参考文献 .13致谢 .14中文摘要 .14目 录 .1 学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS1引言在直角坐标系中给定点
3、的坐标为 ，直线 的方程为op,oxyl 0AxByC。下面我们要讨论用不同的方法来推出给定点 到直线 的距离。0,AB 0pl1.直线 中 的时候求点到直线的距离0xyC,0AB1.1 用三角形的相似来推出点到直线的距离设直线 与 轴分别相交于点 ，:0lAxByC,0AB,xy,0CEA。从点 作 轴的垂线与直线 相交与点 ，垂足为0,F0pl 0,xQB，从点 再作直线 的垂线垂足为 ，则 。M0PlN0dp因为 tREO所以 00PQEF002AxCyNB因为 所以 0PNd02xyCABoyx0,BF0,ACQBM0(,)pxyNE 学 士 学 位 论 文BACHELOR S THE
4、SIS20022AxCyBydB1.2 用求三角形的面积来推出点到直线的距离如图所示直线 与 轴分别相交于点 ，从点 作L,xy,0,CEFAB0P于0PN因为 0 00122EPFACxBySyABVx又因为 02012EPFSNdV所以 20CAxycCABB0022xydAAB1.3用直线与圆的相切的条件来推出点到直线的距离设点 为圆心，直线 为圆的切线则点 到直线 的距离是指圆的半径0PL0PLr所以 ，直线与圆的方程为rd: ,AxByCAB 学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS322000:Pxyd从式解出 代入得ACyB220xxyd整理得 2200ABxAB
5、yCx022d因为直线与圆相切所以它们具有一个公共点即 22004BxAyc02xdByC整理得 220AxByCA022d02xyAB1.4 用向量的性质来推出点到直线的距离设点 是直线 上的不同的两个点则 ，由直1,QxyL1Qur1,xy线的方程 把直线 的法向量可以表示为 ，从0,ABCAB ,nAB点 作 于0POL则 10xyAB 学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS4110AxBy所以 10nQur可见 与直线 互相垂直，设 与 所成的角为 于是rLPQurn00cosr00cosnnPPurru中0RtPOQ0cosdPQru0cosPur把式代入得 000
6、2,nxyABdPrru0002 2AAxBy02C所以 02AxByd5用点对直线的对称性来推出点到直线的距离设点 对直线 的对成点是 则0,PxyL:0AxByC1,Pxy10 学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS5因为线段 的中点01P在直 1010,2xyN线 的上面所以点 的坐标L满足直线 的方程即10102xyABC由式可以得点 的坐标1P2 2000012xyAxByCPAB 2010101d 2 22 20002xyACBxAyBCx yB 02AyC所以 02xBd1.6用两点之间的距离公式来推出点到直线的距离过点 作直线 的垂线 ，垂足为 由 可知 的斜
7、率0PL,QxyL，据直线的点斜式写出 的方程： 即BkA 00BxA00xy00:LAxByCAy 学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS62200ABxyCAy220Bxy202AxC从式 解出 ， 的位置代入式可以得1Byx20xA所以点 的坐标为Q22002,ByxCyABxC 220 00 0 02AyxBP y整理得 2200 2BxyCQ02AC所以 02Axyd1.7用函数的最小值来推出点到直线的距离点 到直线 的距离就是点 到直线 上的任意一点的距离的最小值0PL0PL设 是直线 上的任意一点则,Muv 220001Muxvy点 是 上的任意一点所以它满足直
8、线的方程即 (),ABCABu+= 学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS7将 可写成()0,0AuBCAB+=00uxvyAxByC记 则0xy01u代入式得 22000PMyxB22 2AAuB因为 所以当 时 取最小20AB00022xycxB0PM值用同样的方法可以知 时 取最小值()002AxyCyu+=-0002min22AxByCPMB所以 02AxyCd例 ：求点 到直线 的距离。101,P:10Lx解法一：直线 与 轴分别相交于点 从点 作 轴的垂线Lxy5,EF0Px与直线 相交于点 ,2Q0RtEFOtPNQ:00152PNEF 学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS8解法二：直线 与 轴分别相交于点 因为L,xy5,0,1EF0512EPFSV又因为 0001522EPFNPV所以 005解法三：设 为圆心，直线 为圆的切线则直线 与圆01,2P:210LxyL的方程为0d22201xyrd 由式 解出 代入式 得1228xx整理得 5306d因为圆与直线相切所以它们具有只要一个公共点即 0V22450d解法四：设 是直线 上的不同的两个点则 ，1,QxyL11,Qxyur由于 不同时为零，把直线 的法向量可以表示为 则,AB 2,nr120xy1
