数学夜自习讲评

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1、高等数学夜自习讲评纲要 第 1 页（共 4 页）数学夜自习讲评纲要第一部分 初中知识复习第一节 因式分解1因式分解的方法提公因式法公式法a.平方、立方差公式b.完全平方、完全立方公式 十字相乘法 求根分解法【例 】分 解 因 式 ： 6132734xx令 所 以 可 以 得 到02234x617 待定系数法【例】分解因式： 45234x第二节 整式（多项式）的除法（长除法）【例】计算： （YBP5）152x第二部分 高中知识复习第一节 函数概念 1.1 映射的概念（任一、唯一）函数是一种特殊的映射1.2 函数的表示方法1.3 函数的概念和图象（GSP369）1.3.1 二次函数的图像与性质1.

2、3.2 分段函数的表达式与图像1.3.3 函数的平移及伸缩变换1.3.4 复合函数（一层嵌套）单调性（同增异减 ）增增增 减减增 减增减 增减减奇偶性（一偶 则偶）奇奇奇 偶偶偶 奇偶偶 偶奇偶1.4 函数的简单特性1.4.1 单调性：定义证明 导数判断1.4.2 奇偶性：定义判断 定义证 明1.4.3 周期性定义域的无界性1.5 函数与方程第二节 基本初等函数2.1 幂函数 （ 为常数）xy 2.1.1 分数指数幂 abx2.1.2 幂函数的图像与性质 0ya2.2 对数函数2.3 指数函数2.4 反函数 2.4.1 反函数的产生与定义 2.4.2 反函数的图像特点 2.4.3 反函数的特殊

3、性（存在反函数的充分条件）高等数学夜自习讲评纲要 第 2 页（共 4 页）第三节 三角函数3.1 任意角、弧度3.2 任意角的三角函数的产生（YBP8）3.3 三角函数的图象和性质三角函数的平移及伸 缩变换3.4 三角恒等变换3.4.1 三角函数的诱导公式3.4.2 两角和与差的三角函数、 、sincostan3.4.3 倍角公式（升幂公式） （YBP8）（二倍角） si2si1cos2inco21tatan（三倍角） 3sin4i3sicoco3)tan1(2ttan3.4.4 降（升）幂公式（YBP8）cos2si2cos121tan3.4.5 几个三角恒等式（YBP10）a. 三角运算平

4、方关系b. 积化和差公式 coscs2sino1cosinsiis 2cnc. 和差化积公式 2cossinis i2n2cosscos2sinsi2cos 3.4.6 万能公式推导过程：3.4.7 关于一般三角函数 ，BxAysin（其中 ）2,0A等量关系： T坐标变换a.先伸缩，后平移 BxAyxyxy sinisinsinB/1A个 单 位） 平 移下 （向 上横 纵 坐 标 均 不 变 ， 整 体 个 单 位） 平 移右 （向 左横 纵 坐 标 均 不 变 ， 整 体 倍为 原 来 的纵 坐 标 不 变 ， 横 坐 标 变 倍为 原 来 的横 坐 标 不 变 ， 纵 坐 标 变b.先

5、平移，后伸缩BxAyxy siniisinB/1/个 单 位） 平 移下 （向 上横 纵 坐 标 均 不 变 ， 整 体 倍为 原 来 的纵 坐 标 不 变 ， 横 坐 标 变 个 单 位） 平 移右 （向 左横 纵 坐 标 均 不 变 ， 整 体 倍为 原 来 的横 坐 标 不 变 ， 纵 坐 标 变3.4.8 三角函数（单位圆）中的不等关系，tansi2,0第四节 导数及其应用4.1 导数的概念 21xffy4.2 导数的运算法则（降次运算）高等数学夜自习讲评纲要 第 3 页（共 4 页）4.2.1 导数的基本运用判断函数的单调 性4.2.2 复合函数的求导（链式法则）4.3 导数在研究函

6、数中的应用4.4 导数在实际生活中的应用4.5 定积分4.5.1 定积分的产生（圆面积公式的引入）4.5.2 定积分的定义4.5.3 定积分的基本计算牛顿莱布尼兹定理4.5.4 定积分的基本性质第五节 极坐标（YB12）5.1 极坐标系的建立与极坐标中点的坐标表示5.2 极坐标系与平面直角坐标系的转化（YB13） sincoyx0tan2xy第六节 常用几何图形（YBP13）6.1 扇形和弓形6.2 圆锥曲线6.2.1 椭圆、双曲线、抛物线第三部分 大一高等数学难点讲评第一章 函数与极限1.1 函数1.1.1 集合与区间邻域（GSP4 ）1.1.2 函数概念取整函数（GSP8）1.1.3 函数

7、的几种特性函数的 有界性 （GSP9 ）1.1.4 反函数反三角函数（ GSP14）1.1.5 复合函数与初等函数复合函数（多 层嵌套）1.2 数列的极限1.2.1 误差 的定义（GSP22）1.2.2 数列极限的定义与表示（GSP23）存在常数 只要 ，所,0.,ZNtsan对应的 就都 满足不等式：nx|axn则称常数 是数列 的极限，或称数列 收敛于nx常数我们记作 或者nxlim)(n1.2.3 数列极限的几何解释（GSP23）1.2.4 数列极限的证明思路 （GSP24）N由 推得 ，其中 为一|axnNnf包含 且进行取整的函数（反解待定参数 法）1.2.4 数列极限的理解误差 是

8、用来刻划 与常数 的接近程度。nxa具有任意性和稳定性的双重意义。误差 的任意性刻划了 与 的无限接近；然而 同时又具有相对稳nxa定性，一经取定，它就确定了，这样就可以用有限形来表示 无限接近于 的过程。| na 用来刻划 的增大程度，要使 ，N|xn那么 要变化到什么程度才可以。定 义中 表明N了比 大的各 项： 都满足 。L,21Nx|是否以 为极限，关键是对 ，这样的 是nxa0否存在。一般地， 与 有关， 取得越小，其相应地就越大。如果 存在，这样 地 就不唯一。N1.2.5 数列极限定义的充要性反解待定参数 法成立的前提N1.2.6 收敛数列的有界性（GSP26）证明流程：由数列收

9、敛证得数列有界1.2.7 数列极限的其它性质唯一性：若数列 收敛，则数列 的极限是nxnx唯一的。子列的收敛性高等数学夜自习讲评纲要 第 4 页（共 4 页）在数列 中任意抽取无穷多项并保持这些项在nx原数列中地先后次序，这样得到的数列称 为原数列的子列。若数列 收敛，则 的任一子列也收 敛，且nnx极限相同。1.3 函数的极限1.3.1 自变量趋于有限值时函数的极限 时函数的极限定 义与表示 （GSP30 ）0x设函数 在 时有定义。如果存在常f,0x数 并且只要自变量 满足不等,.,RtsAx式 ，对应的函数 值 都满足不等式：|0f|xf则称常数 是 时函数 的极限值，我0x们记作 或者

10、fx0lim)(0xAf如果这样的常数 无法找到即不存在，那么 则称当 时，函数 没有极限f 时函数极限的几何解释（GSP31 ）0 时函数极限的 证明思路x（GSP31）由 推得 ，并且 满|Af |00x足 （反解待定参数 法）函数极限定义 的充要性反解待定参数 法成立的前提 时函数的左、右极限（GSP32）0x 单侧极限、函数极限存在的充要条件（GSP33 ）若 时函数有极限 ，那么此函数极限与左、0A右极限具有关系 Axfxfxfx 000 limlilim或者1.3.2 自变量趋于无穷大时函数的极限 时函数的极限定 义与表示 （GSP34 ）x设函数 在 时有定义。如果存在f,Mx常

11、数 并且只要自变量 满足不,0.,RXtsAx等式 ，对应的函数值 都满足不等式f|xf则称常数 是 时函数 的极限值，我xf们记作 或者fxlim)(xAf如果这样的常数 无法找到即不存在，那么 则称当 时，函数 没有极限f 时函数极限的几何解释（GSP34 ）函数图像的水平 渐近线（GSP35）局部保号性定理（GSP35 ）若 （或 ） ，并且Axf0liAxfli， （或 ） ，当0ARX（或 ）时， 恒不为 且将|xxxf0与 拥有相同的符号。局部保号性定理的推论（GSP35）如果当 （或当 ）时，函数|00 ，且 （或 ） ，xfAxflimAxfli那么 ；若 ，则相应的有 A01

12、.3.3 自变量趋于有限值时函数有极限的判定连续函数，在定义域范围内必有极限；有间断点的函数，又分为：第一类间断点，在间断点有极限，这类间断点又叫可去间断点；第二类间断点，在间断点没有极限，这样又可分以下两种情况： a.左右极限存在但不相等，如阶跃函数（GSP33 ）b.左右极限至少有一个不存在，如振荡或趋向无穷，如 时，函数 和函数 就无0xxy1sinxycot极限1.3.4 自变量趋于无穷大时函数有极限的判定函数在无穷远 点的极限，这个只要能判定此时函数值是不是趋向一个定数就能确定是有极限，否则无极限。如 时， 、 都是没有极限x2xysin的。1.3.51.4 无穷小与无穷大1.4.1 无穷小无穷小的本质 是一个当 （或 ）0x时以 0 为极限的函数无穷小的性质 定理定理 1：在自变量的某个变化过程中，函数有极限 的充要条件是 ，其中xfAAxf是同一变化过程中的无穷小定理 2：有限个无穷小的和是无穷小定理 3：有界函数与无穷小的乘积是无穷小推论 1：常数与无穷小的乘积是无穷小。推论 2：有限个无穷小的乘积是无穷小。1.4.2 无穷大无穷大的本质 是一个当 （或 ）0x时不存在极限的函数无穷大的性质 定理定理 4：在自变量的某个变化过程中，若 为f无穷大，则 为无穷小；反之，若 为无穷小，xf1x且 ，则 为无穷 大0f