《数学物理方法复习提纲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学物理方法复习提纲（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 共 18 页复变函数论复变函数：若在复数平面上存在一个点集 ，对于 中的每一点 ，按照一定的规律，有Ez一个或多个复数值 与之相对应，则说在点集 上定义了一个复变函数，记作：w，点集 叫作函数的定义域)(zfwE令： ，并将 代入，则有：ivuiyxz),(),()( yxivuzfwivuf 初等复变函数：指数函数： )sin(coyeexiyxiyxz 三角函数： , , izi21sinztazsincot1）因为 ， ，所以 ， 具有实周期z)i(cos)2cos( 22） ， 为无界函数。sco3） 212121 sins)( zzzmcoinsin1cossin22z双
2、曲线函数： ， ， zeshzzehht对数函数： iArgLnivuwl幂函数： 为 复 常 数 ）（ rgziLnzeel一般指数函数： 为 复 常 数 ）（iArln复变函数的导数：设函数 是在区域 上定义的单值函数，对于 上的某点 ，如)(zfEEz果极限 存在，则称函数 在点 处可导，此极限叫作fzw(limli00 )(zfw函数 在点 处的导数，表示为:)(f)()(lili00 zfdfzffz 复变函数可导的充要条件：复变函数 可导的充要条件是偏导数,yxivufw第 2 页 共 18 页， ， ， 存在、连续，并且满足柯西-黎曼条件，即：xyu),(),(xyv),(),(
3、，yu, xyvyxu),(),(解析函数(全纯函数，正则函数)：如果函数 在 点及其邻域内处处可导，那么称zf0在 点解析。如果 在区域 内每一点都解析，那么称 在 内解析，或称zf0)(zfE)(zfE为 内的一个解析函数。()E注： 在某点 解析 在该点可导 该点连续 该点有极限f0区域解析 区域可导，即解析函数是函数在一个区域上的性质，而不是在一些孤立点上的性质。解析函数在定义域内的和、差、积、商（分母不为零）仍然为解析函数. 设给定二元调和函数 ，作为解析函数 的实部，由柯西-黎曼条件可),(yxuivuzf)(求出相应的虚部，进而确定这个解析函数。设二元函数 的全微分式为：),(y
4、xv dyvxdv考虑柯西-黎曼条件可得： uy的三种计算方法：),(yxv（1） 曲线积分法：全微分的线积分与路径无关，可选取特殊路径积分，使积分容易求出（2） 凑全微分显式法：把 凑成全微分的显式，求出 。dyxudv ),(yxv（3） 不定积分法例题. 已知解析函数 的实部 ，求虚部和这个解析函数)(zf 2),(yu容易验证 为调和函数：2),(yxu 02),(),(22 yxux由柯西-黎曼条件可得： yuv,),( xyyv),(,所以有： xddyxdv2(1) 曲线积分法： 第 3 页 共 18 页),(yx)0,(xxyO图 1取如图 1 所示的积分路径，可求出积分 Cx
5、ydyxCxdyxdyvx 2222),()0,(),()0,()0,(),(其中 为积分常数。C(2) 凑全微分显式法： )2(2xydyxdvxdv所以有; xyv2(3) 不定积分法： ，xv2),(yv2),(把 视为参数， 对 积分可得：xy,y )(2)(xyxd对 求偏导数)(2xyv)(2xvx与 向比较可得：, C0所以由 可得：)(2)(2xyxdyv xyv2所以有： iziivuzf 22)(,)(可把 , 代入上式求出2xizy复变函数积分:复变函数的积分归结为两个实变函数的曲线积分： llll dyxuyvidyxvuidyxivyxudzf ),(),(),(),
6、()(,),()(若曲线 由参数方程 ， ， 给出tt21t则有 ，可得积分的计算公式iziz )()()(第 4 页 共 18 页dtytxutytxvidtytxvtytxui dtztyxivtyxuiydxvyxdzf ttt tll )(),()(,)(),()(, )(),()(,)(,),()( 212121 21 高阶导数公式设 在区域 内是解析的，在闭区域 上是连续的， 为 的边界，对于区域 内的任)(zfEElEE一点 ， 可以求导任意多次，第 阶导数可表示为：ndzfizflnn1)( )(2!上式可看作在柯西公式 对 求 次导，其中等式右边在积分号内对lfif1)(关于
7、 求 次导。zf)(n幂级数： LL nnnn zczczc )()()( 00100其中：系数 和固定点 都是复常数， 是一个复变量0幂级数收敛半径的比值判别法（达朗贝尔判别法）： Rcn1lim幂级数收敛半径的根式判别法（柯西判别法）： 1li奇点法：幂级数中心 到最近奇点的距离即为收敛圆的半径0z收敛圆： Rz0泰勒级数：定理：设函数 在区域 上是解析的， 为区域 内任一点，在区域 内)(zfE0zEE的圆 中， 可以展开为泰勒级数：zC0: 00)(0 )!1)()(nnnn zfzczf泰勒级数的收敛半径 为 到区域 的边界的最短距离RE将函数展开为泰勒级数的方法1直接计算系数 ：例
8、题. 以 为中心，将 展开为泰勒级数。)(!10zfnc0zzef)(第 5 页 共 18 页解： 的各阶导数为 ，zef)( znef)( !1!)0(!10) nezfncz所以： 02!1nzzL2. 换元法：例题. 试分别以 及 为中心将函数 展开成 Taylor 级数，01z 1)(zf并指出其收敛半径.解：利用级数 ， 来展开01nz)(zf以 为中心，则有：0z 1,)(21)(121)( 0zzzf n的奇点是 ，从中心 到 的距离为 1，所以收敛半径 。)(f1z0z R3. 在收敛圆内逐项求导法(求积分法)例题. 以 为中心， 将函数 展开为 Taylor 级数0z 2)1
9、()zf解：已知 ， ，等式左边对 求导，右边对 逐项求导可得：01nzz， 012)1()()( nnnzzz 洛朗定理：若函数 在环形区域 内解析，则 可在环形区域内任一f 2R)(zf点 展开为罗朗级数，其形式为：z nnzczf)()(0其中展开系数为： lndzic10)(21积分路径 为环形区域内绕 的任一简单闭合曲线。l0z罗朗级数中 称为展开式的正则部分， 称为主要nnczf)()(01 nnzczf)()(012部分。罗朗级数 在环形区域 内绝对且一致收敛nnzf0 201R罗朗级数展开方法举例例题. 将函数 在以 为中心的环形区域 内展开为罗朗级数。2)(zef0 z第 6
10、 页 共 18 页解： 0202!1)(nnz zef在上式中令 ，再把 写成 可得：ll 2)!()(nzef例题. 已知函数 ，以 为中心将函数 展开成罗朗级数1)(2zf0zfz解：已知 2zf上式中的第二项 有一个奇点 ，所以在 为圆心的圆周 内，11z10z21z可以展开为泰勒级数：12z nn)(4)2(420所以有： ，nnzzzzf )1(112)( 0 21z孤立奇点：若函数 在 不可导(或无定义)，而在 的任意小邻域内除 外处处可)(f0 0导，则称点 是 的一个孤立奇点。0z孤立奇点的分类及其判定(1) 可去奇点：若极限 存在，则称 为 的可去奇点。)(lim0zfz0z
11、)(f(2) 极点.零点：不恒为零的解析函数 如果能表示成)(f )()0zzfm其中 为正整数， 在点 点解析，且 ，那么 为 的 阶零点。m)(z0(0zf零点判定定理：如果函数 在 点解析，那么 为 的 阶零点fz)(zf,)()()( 0)(0100 fzff mmL例如： 为 的一阶零点1z3极点：如果函数 在其孤立奇点 邻域内的罗朗级数中的主要部分为有限项)(zf0zLLL nn mmmzc zczczcf)( )()()()()(0 0101100则称 为函数 的 阶极点。上式也可表示为 ，其中0z)f mzPf)()0第 7 页 共 18 页LL mmm zczczczP )(
12、)()()( 01010)1对于 ，有 且为 邻域内的解析函数0(3)本性奇点：函数 在其孤立奇点 邻域内的罗朗级数中的主要部分有无限项)(zf0z留数概念(Residue)：若点 是函数 的一个孤立奇点，函数 在环形区域 内解析，则在此0z)(zf )(zf Rz0环形区域内， 可展开成罗朗级数 LLLL nnnnnn zczczczczczf )()()()()()( 010101100罗朗级数 的 项的系数 叫作函数 在 点nf)(0 dfiC21f的留数（或残数） ，记作 。,(Re0zfs留数定理：设函数 在简单闭合曲线 所围区域 内除有限个孤立奇点 外处)(zfCEnzL,21处解
13、析，在闭区域 上除 外连续，则有：EnzL,21 nkkCfsidzf1),(Re2)(其中沿曲线 的积分方向为逆时针方向。C留数的计算(1) 若 为 的可去奇点， 为中心的罗朗级数中不含负幂次项，则：0z)(f0z),(Re0zfs(2). 若点 为 的一阶极点：)(f )(lim),(Re0100zfczfsz若函数 可以表示为 的特殊形式，其中函数 和 都在 点解析，zf )(QPzfPQ0z点 为 的一阶零点（ ） ，且 ，点 必为 的一阶极点，0)(Q00)(z0z)(zf则有公式： )(lim)(li),(Re 0000 00 zfzzfs z (3). 若 为 的 阶极点，则函数
14、 在环形区域 内的罗朗级数展开式0z)(fm)(f R为： LL )()()()( 0101100 zczczccf第 8 页 共 18 页可容易得到计算 在点 的留数的公式：)(zf0 )(lim)!1(,Re 0110 zfzdcs mz(4). 若 为 的本性奇点，求留数采用罗朗级数展开法或直接计算围道积分。0z)(f 复数形式的傅里叶级数： ， ， klxkiecxS)( dxefllkik)(2对于复数形式的傅里叶级数，尽管 是实变函数，但其傅立叶系数 却可能是复数。f kc容易证明：在区间 上的函数系 有如下性质：,l,10:Lkelxi mlddxellxmikillmixki 2)(函数：如果一个函数在 上满足下列条件：),(1) 00,)(xx(2) )1),()(000baxdba（， ， 或 都都这样的函数 称为 函数。x函数等价的泛函定义：若对于任意一个定义在 上的连续函数 总有： ),()(xfdxfxf )()(00数理方程分离变量法解题的一般步骤(1) 代入试探解 ，将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化 为常微)(),(tTxXtu分方程的定解问题。(2)
