卫星轨道和位置

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1、 PAGE 1水星的轨道和位置摘要本文主要在已知水星的远日点和绕日运行的线速度的条件下，通过建立微分方程模型，使用解析法和数值方法求解水星的轨道方程与位置。解析法的求解的过程中，结合了开普勒三大定律，准确的给出了微分方程的精确解，求得水星到太阳的最近距离 ，水星绕太阳运行的周期约为 88 天。数值计算求解水星)(104.6mrm自远日点运行 50 天后的位置时，本文分别采用了 Simpson 求积法，基于压缩映射的求根方法以及经典的四阶龙格库塔法，使用 matlab 数学软件编程，得到了较为合理的行星运行模型的近似解，三种方法所得结果对应分 ，13.79， ， 及 ， 。1014.76r23.

2、7911024.67r3.82104r关键词 行星轨道 微分方程 Simpson 法 四阶龙格库塔法 matlab一 问题重述水星到太阳的最远距离为 m，此时水星绕太阳运行的线速度为10.698243.8610ms。试求问题一 水星到太阳的最近距离问题二 水星绕太阳运行的周期问题三 从远日点开始的第 50 天（地球天）结束时水星的位置并画出轨道曲线二 问题分析求水星到太阳的最近距离以及水星绕太阳运行的周期等，需要先将水星轨道方程 PAGE 1求出，因此可以根据 Newton 第二定律及万有引力定律 ，建立微22imMGdZert分方程模型，将原问题转化为求解带有初值条件的微分方程问题，进而采用

3、解析法或数值方法求解远日点和周期。三 模型假设1水星运行的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆2从太阳指向水星的线段在单位时间内扫过的面积相等3水星运行周期的平方与其运行轨道椭圆长轴的立方之比为常量四 符号系统1 水星在远日点的线速度0v2. 太阳的质量M3. 水星的质量m4. 水星在远日点的距离or5. 周期T五 建立模型与求解模型一 水星的轨迹方程设太阳中心所在的位置为复平面的原点 O，在时刻 t，水星位于 ()iZtre所表示的点 P。这里 均为 t 的函数，分别表示 的模和辐角。于(),rtt()是水星的速度为 ，加速度为()iiidZdrdeettt（1.1） ，而太阳对行星的引力依万有22

4、22()()idZreirttttt 引力定律，大小为 ，方向由行星位置 P 指向太阳的中心 O,故为 ，2mMGr 2imMGer PAGE 1其中 为太阳的质量，m 为水星的质量，301.98()Mkg为万有引力常数。2672/GN依 Newton 定律，我们得到 (1.2)，将（1.1）代入(1.2)，22iMGdZemrt然后比较实部与虚部，就有 2220()drttGr这是两个未知函数的二阶微分方程组。在确定某一行星轨道时，需要加上定解条件。假设当 t=0 时，行星正处于远日点，而远日点位于正实轴上，距原点 O 为 ，0r行星的速度为 。那么就有初值条件：0v000tttrdvr因此

5、问题转化为求解带初值问题的微分方程组 222000()tttdrrttMGrrdvr又将 两边同乘以 r ，即得 ，从而20drrtt2()0drt PAGE 1（1.3）,其中 ，这样有向线段 在时间 内扫过的面积等于21drct10crvOPuvt，这个正是 Kepler 的第二定律，从太阳指向水星的线段在单位2tt tt时间内扫过的面积相等。将（1.3）代入 得 ，于是我们可以得到水22()drMGttr2132cdGtr星运行的较为简单形式的数学模型： 2132200tttcdtrdr为了求得行星的轨迹方程，要消去变量 t，令 ，那么 可以改写为1ru12cdtr从而 将上式代入21d

6、cut22111()drudcccttt，化简后为 (1.4)，其中 ，引进 ，立232rMGr2p21cpMG1up即可以求出 ，这里 A 和 是待定的常数。记 ，上式0cos()uAp0eA可以写为 01cos()pre这个就是水星的轨道方程，是一条平面二次曲线。由于水星绕太阳运行，故必有 。由于 r 在 t=0 时取道最大值 （远日点） ，这个就意味着此时函数01e0r取道最大值 1.于是就有 ，从而轨迹方程为 cos() 00,1per PAGE 1。对于水星而言， ，又水星的1cospre1400.698(),3.861(/)rmvms近日点到太阳的距离 。依据已知数据，可知1cos

7、mpree， ， ，从而52102.730(/)crv21015.47()MG0.25per计算水星到太阳的最近距离为 6mrm模型二 水星的运行周期设水星的周期为 T，那么利用 Kepler 第二定律，我们有 （1.4）2101drtCT上式左端为水星轨迹椭圆所围的面积，记为 S，由于椭圆的半长轴 ，半短21epa轴 ，从而有 将上式代入式（1.4）,解得21epb23)1(epabS（1.5）将有关数据代入，易得 231)(eCT87.91(d)(07.656s模型三 水星的位置由于水星的运行满足 Kepler 第二定律，则该式可改写为 ，从tCdr12而可得 021)cos(tdeCp如

8、果我们要求 时相应的 和 ，则意味着首先要解方程 ， 1Ttr 21)(pTCF，其中 deF02)cos1() PAGE 1在求出了 时的 后，立即可以由 得到相应的 r。1Tt1cospre下面用数值方法求解水星的位置1. Simpson 法由被积函数 的恒正性可知 单调，从而方程 的根必21(cos)e()F21)(pTCF存在且唯一。取 ，记 。若 ，,(1,.kh)kk1122,nn那么 位于 与 之间，在 h 适当小时，可取 。n1 n计算 可采用不同的数值积分法，本文采用 Simpson 法，取步长 h=0.001，()F具体求解过程见附录一，最后结果为 ，3.791104.67

9、r2. 基于压缩映像的求根方法我们引入水星轨道椭圆的参数方程，由于椭圆的半长轴 ，半短轴21epa，从而中心到焦点的距离为 。因左焦点为原点，故椭圆21epb eba2中心位于（ae，0） ，于是得到参数方程 (cos)inxyb它们与 的关系为,r ta,22xryx此式可改写成 1()sin()sinCtdbeeab当 时解方程1TtabTCe1sin记 ， ，那么上式即 ，就是说要去求函abC1i)(g()g数 的不动点，求解方程不动点可以采用简单迭代法，对于水星，我们已计算()g PAGE 1出 ，由于 e 很小，因此迭代收敛理论上可以很快，当时间从远日点开始0.25e的第 50 天结

10、束时，意味着 ,从而)(10432.71sT3.570 2epTCab不妨取 ，于是03.570 sin01e612.54sin3.7 e65 6故 .由式 ， ，可以计算出相应的 ，sin),co(byeax tan,22xyrx 即由 0.75849)cos(itane得 0.64891，而 3.1此时的距离 为 （m）r 1022768sin)( b3. 经典四阶 Runge-Kutte 法由我们将由最初的微分方程组求解水星的位置，方程组见下 PAGE 12132200tttcdrMGtrrd令 ，那么我们可以得到一阶微分方程组：dtrq0021231tttdrCdqtrrMG若记这个微

11、分方程组中方程的右端依次为 ，),(),(),( rqtSrtRrqtQ和则相应的四阶 Runge-Kutte 迭代格式法为 )2(64311 KKhqk 43211 LLrk )(643211 NNhk 这里对于 ，有11234()kqK,kkrqtQ)2,2,( 1112 hNLrhKkk PAGE 1)2,2,(23 hNLrhKqtQKkkkk 3334初值为 ，则对于给定的步长值 h，类似可以逐步计算一系列的0,0rq，由于行星绕着太阳运行，只需取 ，而取得行星轨道上一,kr 12,nn系列点的近似坐标（ ） ，再通过极坐标与直角坐标的转换，继而可以绘出轨道,k曲线。通过 matla

12、b 编程求解得 ， ，轨道曲线如下3.80104.79r程序见附录二。六 模型推广本文建立的微分方程模型对于求解行星绕日运行轨道具有广泛的应用空间，只 PAGE 1需给出行星的远日点和在远日点的运行线速度即可计算出轨道方程，用数学软件绘出近似的轨道曲线，对于研究天体运行有所帮助。此外，本文采用的求解微分方程的数值方法，具有较为快速且准确的收敛效果，可以用来求解其他类似的微分方程模型。 七 参考文献【1】 乐经良，数学实验，北京，高等教育出版社，1999 年 10 月【2】 周品 ，matlab 数值分析，北京，机械工业出版社，2009 年 1 月八 附录附录一 function q1=y2(x)q1=(1-0.2055*cos(x).-2;h=0.001;k=1;x=h*k;f=quad(y2,0,x)while f(k)3.8091k=k+1;x=k*h;f(k)=quad(y2,0,