《复变函数(第四版)课后习题答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数(第四版)课后习题答案（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 习题一解答 1求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。（3）(3+ 4i)(2 5i) ； （4）i8 4i 21 +i13+ 2i1 3i1 i（1） ； （2） ；i 2i3+ 2i = (3+ 2i)(3 2i) = 1 (3 2i)1 3 2i13解 （1）所以 13+ 2i 13=3， Im = 21 Re ,133+ 2i2 213+ 2i= 1 13+ 2i= 3 +3 13(3+ 2i)， ，13 13 13 = 13Arg1 3+ 2i = arg1 3+ 2i + 2k2= arctan + 2k ,k = 0,1,2,31 3i i 3i(1+ i) = i 1 (
2、 3+ 3i)= 3 5（2） 1 i = i( i) (1 i)(1+ i) i,i 2 2 2所以1 3i 3 ,Re i 1 i= 21 3i = 5Im i 1 i 22 21 3i = + i 5， 3 1 3i1i= + = 34， 3 5 i 1 i 1 3i 2 2 i 2 2 21 3i + 2kArg = arg i 1 i i 1 i = arctan 5 + 2k, k = 0,1,2,.3（3） (3+ 4i)(2 5i) = (3+ 4i)(2 5i)( 2i) = (26 7i)( 2i)2i (2i)( 2i) 4= 7 26i = 7 13i2 2所以(3+
3、4i)(2 5i)Re = 7， 2i 2(3+ 4i)(2 5i)Im = 13， 2i1 (3+ 4i)(2 5i) = 7+ l3i2 2i (3+ 4i)(2 5i) = 5 29 ，2i 2(3+ 4i)(2 5i)2i(3+ 4i)(2 5i) 26 + 2k Arg = arg + 2k = 2arctan 7k = 0,1,2, .2i = arctan 267 +(2k 1) ,（4）i)4 4(i )10i + i = (1)4 4(1)10i + i8 2 2 4i21 + i = (i=1 4i + i =1 3i所以Rei8 4i21 + i=1,Imi8 4i i2
4、1 + = 3i 1 3i，| i8 4i21 + i |= 10 8 4i21 + i = +Arg(i8 4i21 + i)= arg(i8 4i21 + i)+ 2k = arg(1 3i)+ 2k= arctan3+ 2k k = 0,1,2,.x +1+ i(y 3) =1+ i成立，试求实数 x, y为何值。2如果等式解：由于5+ 3ix +1+ i(y 3) = x +1+ i(y 3)(5 3i)5+ 3i (5+ 3i)(5 3i)= 5(x +1)+ 3(y 3)+ i 3(x +1)+ 5(y 3)34= 1 5x + 3y 4+ i( 3x + 5y 18)=1+ i3
5、4比较等式两端的实、虚部，得 5x + 3y 4 = 34 5x + 3y = 38 3x + 5y 18 = 34或 3x + 5y = 52解得 x =1, y =11。i3证明虚单位i有这样的性质：-i=i-1=。4证明1) | z | = zz2#6)Re(z) = 1 (z + z),Im(z) = 1 (z z)2 2i2 证明：可设 z = x + iy，然后代入逐项验证。=| z |5对任何 z， z2 2是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对那些 z值才成立？解：设 z = x + iy，则要使 z2 =| z |2成立有 y = x + y , xy = 0。由此可得
6、z为实数。2 2x2 y2 + 2ixy = x2 + y2 ，即 x 2 26当| z |1时，求| zn + a |的最大值，其中 n为正整数，a为复数。iarga+|a|1+|a|，且当 z = e 时，有n解：由于 z n + a |z|nniarga +|a|eiarga = (1+ a)eiarga = 1+|a| zn + a| = e n故1+ | a |为所求。8将下列复数化成三角表示式和指数表示式。（1）i； （2）-1； （3）1+ 3 i；(cos5 + isin5)22i（4）1 cos + isin(0 )； （5） ；（6）(cos3 isin3)1+ i 3i解
7、：（1）i = cos + isin = e；22 2（2） 1= cos + isin = ei i1 3 = 2cos + isin = 2e 3 3 （3）1+ i 3 = 2 2 + i ；2 32 + i2sin cos = 2sin 2 sin + icos 2 （4）1 cos + isin = 2sin 2 2+ isin 12 2= 2sin cos2 = 2sin 2e ,(0 )；i22 2 2i1+ i= 1 2i(1 i)=1 i = 2 i 1（5） 2 2 2 2cos isin 4 = 4i= 2e 4(cos5 + isin5)(cos3 isin3)23 =(ei5) ( )23 = ei10/ei9 = ei19i3/ e（6）3
