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1、毕达哥拉斯定理的证明侯昕彤 南京大学匡亚明学院摘 要：欧几里德的毕达哥拉斯定理证明。包括其中涉及的 4 条定义，5 条公设，4 条公理，25 个命题证明，以及主证明（欧几里德几何原本第一卷命题 47） 。关 键 词：毕达哥拉斯定理 几何原本 欧几里德毕达哥拉斯定理：一个直角三角形斜边的平方，等于其两个直角边的平方和。欲证明该定理，首先给出下列定义，公设以及公理： 定义：【定义 1】当一条直线和另一条直横的直线交成的邻角彼此相等时，这些角的每一个被叫做直角。【定义 2】圆是由一条线包围成的平面图形，其内有一点与这条线上的点连接成的所有线段都相等。【定义 3】在四边形中，四边相等且四个角是直角的，
2、叫做正方形。【定义 4】平行直线是在同一平面内的直线，向两个方向无限延长，在不论那个方向它们都不相交。 公设：【共设 1】由任意一点到另外任意一点可以画直线.【共设 2】一条有限直线可以继续延长.【共设 3】以任意点为心及任意的距离可以画圆。【共设 4】凡直角都彼此相等。【共设 5】同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二自角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交 公理：【公理 1】等于同量的量彼此相等。【公理 2】等量加等量，其和仍相等。【公理 3】等量碱等量，其差仍相等。【公理 4】彼此能重合的物体是全等的。根据给出的上述定义，公设，公理，进行下列命题的证明。证
3、明段落中出现的【 】表示该段证明所用的论据。 【命题 1】命题：在一个已知有限直线上作一 appear 个等边三角形 。命题 1设 AB 是已知有限直线。那么，要求在线段 AB 上作一个等边三角形。以 A 为中心，且以 AB 为距离画圆【共设 3】再以 B 为心，且以 BA 为直为距离画圆 ACE；【共设】由两圆的交点 C 到 A,B 连线 CA，CB .【共设】因为，点 A 是圆 CDB 的圆心，AC 等于 BA。【定义 2】又点 B 是圆 CAE 的圆心，BC 等于 BA，【定义 2】但是，已经证明 CA 等于AB;所以线段 CA，CB 都等于 AB。而且等于同量的量彼此相等，【公理 1】
4、.三条线段 CA , AB，BC 彼此相等.所以三角形 ABC 是等边的，即在已知有限直线 AB 上作出了这个三角形.这就是所要求作的. 【命题 2】命题：由一个已知点(作为端点)作一线段等于已知线段命题 2设 A 是已知点，BC 是已知线段，那么，要求由点 A(作为端点)作一线段等于已知线段 BC.由点 A 到点 B 连线段 BC,【共设 1】而且在 AB 上作等边三角形 DAB，【命题 1】延长 DA，DB 成直线 AE，BF,【共设 2】以 B 为心，以 BC 为距离画圆 CGH.【共设 3】再以 D 为心，以 DG 为距离画圆 GKL【共设 3】 .因为点 B 是圆 CGH 的心，故
5、BC 少等于 BG .【定义 2】且点 B 是圆 CGH 的心，故 BC 等于 BG.【定义 2】又 DA 等于 DB,所以余量 AL 等于余量 BG【公理 3】但已证明了 BC 等于 BG，所以线段 AL，BG 的每一个都等于 BG 又因等丁同量的量彼此相等.【公理 1】所以，AL 也等于 BC。从而，由已知点 A 作出了线段 AL 等于一已知线段 BC.这就是所要求作的。 【命题 3】命题：已知两条不相等的线段，试由大的上边截取一条线段使它等于另外一条。命题 3设 AB，C 是两条不相等的线段，且 AB 大于 C.这样要求由较大的 AB 上截取一段等于较小的 C，由点 A 取 AD 等于线
6、段 C【命题 2】，且以 A 为心，以 D 为距离画圆DEF。【公设 3】因为点 A 是圆 DEF 的圆心，故 AE 等于 AD【定义 2】但 C 也等于 AD，所以线段 AE，C 的每一条都等于 AD;这样 AE 也等于 C。 【公理 1】所以，已知两条线段 AD、C，由较大的 AB 上截取了 AE 等于 C。这就是所要求作的。 【命题 4】命题：如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS 定理） 命题 4证明：设 ABC，DEF 是两个三角形，两边 AB，AC 分别等于边 DE、DF，即 AB 等于DE， 且 AC 等于 DF，以及角 BAC 等于角 EDF
7、。如果移动三角形 ABC 到三角形 DEF 上，若点 A 落在 D 上且线段 AB 落在 DE上，因为 AB=DE，那么， 点 B 也就与点 E 重合。又，AB 与 DE 重合，因为角 BAC 等于角 EDF，线段 AC 也与 DF 重合。因为 AC 等于 DF，故点 C 也与点 F 重合。又，B 与 E 重合，故底 BC 也与底 EF 重合。这样，整个三角形 ABC 与整个三角形 DEF 重合，由【公理 4】，他们全等。命题得证。 【命题 5】命题：在等腰三角形中，两底角彼此相等，并且若向下延长两腰，则在底以下的两个角也彼此相等命题 5证明：设 ABC 是一个等腰二角形，边 AB 等于边 A
8、C，且延长 AB，AC 成直线 BD，CE.【共设 2】则可证角 ABC 等于角 ACB，且角 CBD 等于角 BCE.在 BD 上任取点 F，且在较大的 AE 截取一段 AG 等于较小的 AF，【命题 3】连接 FC 和 GB.【共设 1】因为 AF 等于 AG，AB 等于 AC，两边 FA ,AC 分别等于边 GA、AB，且它们包含着公共角 FAG .所以底 FC 等于底 GB，且三角形 AFC 个等于三角形 AGB，其余的角也分别相等，即相等的边所对的角，也就是角 ACF 等于角 AGB，角 AFC 等于角 AGB【命题4】又因为，整体 AF 等于整体 AG，且在它们中的 AB 等于 A
9、C，余量 BF 等于余量 CG.【公理 3】但是已经证明了 FC 等于 GB；所以，两边 BF，FC 分别等于两边 CG、GB，且角 BFC 等于角 CGB .这里底 BC 是公用的;所以，三角形 BFC 也全等于三角形 CGB;又，其余的角也分别相等，即等边所对的角.所以角 FBC 等于角 GCB，且角 BCF 等于角 CBG.由以上已经证明了整个角 ABG 等于角 ACF，且角 CBG 等于角 BCF，其余的角ABC 等于其余的角 ACB。【公理】又它们都在三角形 ABC 的底边以上.从而，也就证明了 FBC 等于角 GCB，且它们都在三角形的底边以下。证完。 【命题 6】命题：在已知线段
10、上(从它的两个端点)做作出相交于一点的二线段，则不可能在该线段(从它的两个端点)的同侧作出相交于另一点的另外二条线段，使得作出的二线段分别等于前面二线段，即每个交点到相同端点的线段相等.命题 6证明：因为，如果可能的话，在已知线段几召以上作出交于点 C 的两条线段AC、CB.设在儿 AB 同侧能作另外两条线段 AD，DB 相交于另外一点 D.而且这二线段分别等于前面二线段，即每个交点到相同的端点。这样 CA 等于 DA，它们有相 1 司的端点 A，且 CB 等于 DB，它们也有相同的端点 B，连接 CD。因为，AC 等一于 AD，角 ACD 也等于角 ADC。【命题 5】所以，角 ADC 大于
11、角 DCB，所以角 CDB 比角 DCB 更大。又，因为 CB 等于 DB,且角 CDB 也等于角 DCB.但是已被证明了它更大于它:这是不可能的。证完。 【命题 7】命题：如果两个三角形的一个有两边分别等于另一个的两边并且一个的底等于另一个的底，则夹在等边中间的角也相等. 命题 7证明：设.ABC，DEF 是两个三角形，两边 AB、AC 分别等于两边 DE 、DF，即 AB 等于 DE，且AC 等于 DF，又设底 BC 等于底 EF.则可证角 BAC 等于角 EDF.若移动三角形 ABC 到三角形 DEF，且点 B 落在点 E 上，线段 BC 在 EF 上，点 C 也就和 F 重合.事实上，
12、BC 等于 EF .故 BC 和 EF 重合，BA、AC 也和 ED，DF 重合.因为，若底 BC 与底 EF 重合，且边 BA、AC 不与 ED，DF 重合而落在它们旁边的及 EG，GF 处.那么，在已知线段(从它的端点)以卜有相交于一点的已知两条线段，这时，在同一线段(从它的端点)的同一侧作出了交于另一点的另外两条线段，它们分别等于前面二线段，即每一交点到同一端点的连线。但是，不能作出后二线段.【命题 6】如果把底 BC 移动到底 EF，边 BA，AC 和 ED，DF 不重合，这是不可能的.因此，它们要重合。这样一来，角 BAC 也重合于角 EDF,即它们相等.证完。 【命题 8】命题：二
13、等分一个已知直线角。命题 8设角 BAC 是一个已知直线角，要求二等分这个角.设在 AB 任意取一点 D，在 AC 上截取 AE 等于 AD;【命题 3】连接 DE，且在DE 上作一个等边三角形 DEF，连接 AF.则可证角 BAC 被 AF 所平分.因为 AD 等于 AE，且 AF 公用，两边 DA，AF 分别等于两边 EA，AF又底 DF，等于底 EF;所以，角 DAF 等于角 EAF【命题 7】从而，直线 AF，二等分已知直线角 BAC.作完。 【命题 9】命题：二等分已知有限直线.命题 9设 AB 是已知有限直线，那么，要求二等分有限直线 AB.设在 AB 上作一个等边一角形 ABC【
14、命题 1】.且设直线 CD 二等分角 ABC .则可证线段 AB 被点 D 二等分.【命题 8】事实卜，由于 AC 等于 CB，且 CD 公用，两边 AC，CD 分别等于两边 BC，CD且角 ACD 等于角 BCD所以，底 AD 等于底 BD。【命题 4】从而，将已知有限直线 AB 二等分于点 D 作完。 【命题 10】命题：由已知直线上的一已知点作一直线和已知直线成直角。命题 10证明：设 AB 是已知直线，C 是它边上的已知点。那么，要求由点 C 作一直想和直线 AB 成直角。设在 AC 上任取一点 D，且使 CE 等于 CD。【命题 3】在 DE 上作一个等边三角形 FDE。【命题 1】
15、连接 FC。则可证明直线 FC 就是由已知直线 AB 上的已知点 C 作出的和 AB 成直角的直线。事实上，因为 DC 等于 CE，且 CF 公用；两边 DC，CF 分别等于两边EC，CF；且底 DF 等于底 FE。所以，角 DCF 等于角 ECF。【命题 7】它们又是临角。由【定义 1】知角 DCF，FCE 每一个都是直角。从而，由已知直线 AB 上的已知点 C 作出的直线 CF 和 AB 成直角。作完。 【命题 11】命题：一条直线和另一条直线所交成的角，或者是两个直角或者它们的和等于两个直角。命题 11证明： 设任意直线 AB 在直线 CD 的上侧和它交成角 CBA，ABD。则可证角 C
16、BA，ABD 或者都是直角或者其和等于两个直角。现在，若角 CBA 等于角 ABD，那么它们是两个直角。【定义 1】但是，假若不是，设 BE 是由点 B 所作的和 CD 成直角的直线。【命题 10】于是角 CBE，EBD 是两个直角。这时因为角 CBE 等于两个角 CBA，ABE 的和，给它们各加上角 EBD；则角CBE，EBD 的和就等于三个角 CBA，ABE，EBD 的和。【公理 2】再者，因为角 DBA 等于两个角 DBE，EBA 的和，给它们各加上角 ABC；则角DBA，ABC 的和就等于三个角 DBE，EBA，ABC 的和。【公理 2】但是，角 CBE，EBD 的和也被证明了等于相同的三个角的和。由【公理 1】故角 CBE，EBD 的和也等于角 DBA，ABC 的和，但是角 CBE，EBD 的和是二直角。所以，角 DBA，ABC 的和也等于二直角。证完。 【命题 12】命题：如果过任意直线上一点有两条直线不在这一直线的同侧，
