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1、5 几种特殊类型的矩阵,一 单位矩阵 数量矩阵 对角形矩阵,二 对称矩阵与反对称矩阵,三 上(下)三角形矩阵,四 正交矩阵,单位矩阵 数量矩阵 对角形矩阵,对于任何矩阵Amn有:,单位矩阵在矩阵乘法中起着类似于数1的作用,特别,当为A阶方阵时,有,单位矩阵,数量矩阵,利用矩阵的乘法运算,对于任意n阶方阵A有,即用数量矩阵左(或右)乘方阵A等于数k乘矩阵A, 即数量矩阵在矩阵的乘法中的作用相当于一个数.,对角形矩阵,定义 方阵的非主对角线的元素全部为零,即形如:,的矩阵,称为对角形矩阵.,数量矩阵, 单位方阵是对角形矩阵的特例.,对角形矩阵的性质,1. 两个对角形矩阵的和、差、积仍为对角形矩阵;
2、,2. 以对角形矩阵左(右)乘矩阵A,相当于将对角形矩阵的各行(列)元素乘A相应的行(列)的各个元素,即:,3. 若对角形矩阵可逆,则它的逆矩阵仍为对角形矩阵, 且,对称矩阵与反对称矩阵,定义 设A=(aij)为n阶方阵,如果有A =A, 即aij=aji(i, j=1, 2,n), 则称A是对称矩阵.,如果有A = A, 即aij= aji(i, j=1, 2, , n), 则称A是反对称矩阵.,注: 反对称矩阵必有aii=0(i=1,2, n).,例如,是对称矩阵.,是反对称矩阵.,对称矩阵的性质,1. 设A,B都是对称矩阵,则A+B, kA仍是对称矩阵;,2. 设A为mn矩阵,则AA与A
3、A都是对称矩阵;,3. 如果A是可逆的对称矩阵,则A-1是对称矩阵.,证明,1. 显然.,2. AA是n阶方阵, 且(AA) =A (A ) =AA.,因此AA是n阶对称矩阵.,同理AA是m阶对称矩阵.,3. 由A对称, 即A =A. 从而A-1A=A-1A =E.,即A-1=(A )-1=(A-1), 所以A-1为对称矩阵.,反对称矩阵的性质,1. 设A, B都是反对称矩阵,则A+B, kA(k0)仍是反对称矩阵.,2. 如果A是可逆的反对称矩阵,则A-1是反对称矩阵.,证明,2. 由(A-1) =(A )-1, 则(A-1) =(A )-1=(A)-1= A-1.,因此A-1是反对称矩阵.
4、,注意,奇数阶反对称矩阵一定不可逆.,证 因为由已知得,所以ABBA为对称矩阵.,例1 设A为n阶反对称矩阵, B为n阶对称矩阵,试证ABBA为对称矩阵.,上(下)三角型矩阵,定义 主对角线下方的元素全为零(即ij 时, aij=0)的方阵称为上三角矩阵,即,1. 两个n阶上三角矩阵的乘积仍为上三角型矩阵,并且主对角线的元素为原先两个矩阵的主对角线元素的相应的乘积,即:,上三角形矩阵性质,上三角形矩阵A的可逆的充分必要条件是:,即A的主对角线元素全不为零.,2. 若上三角形矩阵A是可逆的,则其逆矩阵A-1 也是上三角形矩阵,并且:,证明 设,要说明A-1是上三角形矩阵,即ij时, cij=0.
5、 考察A-1的第j(j=1, 2, , n-1)列元素c1j,c2j,cnj. 由AA-1=E与矩阵相等的定义，得,第j列,即,n-j个等式,最后n-j个等式说明cj+1 j, cj+2 j, , cnj是下列齐次线性方程组的解.,此方程组系数行列式不为零, 因此只有零解.,因此cj+1 j=cj+2 j=cnj=0, j=1,2,n-1.,说明A-1是上三角形矩阵.,下面证明cii=aii-1.,将上述结果代入第j个方程, 得,ajjcjj=1, 即cii=aii-1.,下三角形矩阵,与上三角形矩阵的性质类似.,正交矩阵,定义 实数域上的方阵A如果满足AA = AA =E, 则称A为正交矩阵.,例如,都是正交矩阵.,结论 实数域上的方阵A是正交矩阵的充分必要条件是A-1=A.,正交矩阵的性质,1. 正交矩阵是满秩矩阵,且|A|=1或|A|= 1.,2. 正交矩阵的逆矩阵及转置矩阵仍为正交矩阵.,3. 若A, B都是正交矩阵,则AB也是正交矩阵.,4. 正交矩阵的每行(列)元素的平方和等于1.不同两行(列)的对应元素乘积之和等于零.,证 正交矩阵有:,利用矩阵乘法与矩阵相等的定义，得,解,所以它不是正交矩阵,考察矩阵的第一列和第二列，,由于,例 判别下列矩阵是否为正交阵,所以它是正交矩阵,由于,解,
