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1、1、如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，顶点为 M 的抛物线 yax 2bx（a0）经过点 A 和 x 轴正半轴上的点B，AOBO 2，AOB 120（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结 OM，求AOM 的大小；（3）如果点 C 在 x 轴上，且ABC 与AOM 相似，求点 C 的坐标（1）所以抛物线的表达式为 233()yxx（2）抛物线的顶点 M 的坐标为 所以 所以BOM30所以AOM1501,tanBOM（3） （3）由 A 、B(2,0)、M ，得 ， ， (1,3)3()3A23B23OM所以ABO30， O因此当点 C 在点 B 右侧时， ABCAOM150ABC 与AOM
2、 相似，存在两种情况：如图 3，当 时， 此时 C(4,0)3AM23BAC如图 4，当 时， 此时 C(8,0)BO6图 3 图 42、如图 1，已知抛物线 （b 是实数且 b2）与 x 轴的正半轴分别交于点 A、B （点 A 位于21()44yx点 B 是左侧） ，与 y 轴的正半轴交于点 C（1）点 B 的坐标为_，点 C 的坐标为_（用含 b 的代数式表示） ；（2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点
3、 Q，使得QCO、QOA 和QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由图 1（1）B 的坐标为(b, 0) ，点 C 的坐标为(0, )4b（2）如图 2，过点 P 作 PD x 轴，PEy 轴，垂足分别为 D、E，那么PDBPEC因此 PDPE 设点 P 的坐标为(x, x) 如图 3，联结 OP所以 S 四边形 PCOBS PCO S PBO 2b15248bx解得 所以点 P 的坐标为( )165x6,5图 2 图 3（3）由 ，得 A(1, 0)，OA1211()()44byxxb如图 4，以 OA、OC 为邻边构
4、造矩形 OAQC，那么OQCQOA当 ，即 时，BQA QOA BAQO2BA所以 解得 所以符合题意的点 Q 为( )2()1b843b1,23如图 5，以 OC 为直径的圆与直线 x1 交于点 Q，那么 OQC 90。因此OCQQOA当 时，BQA QOA此时OQB90BAQO所以 C、Q、B 三点共线因此 ，即 解得 此时 Q(1,4)BOAC14b4A图 4 图 53、如图 1，已知抛物线的方程 C1： (m0) 与 x 轴交于点 B、C ，与 y 轴交于点 E，且点 B 在(2)yx点 C 的左侧（1）若抛物线 C1 过点 M(2, 2)，求实数 m 的值；（2）在（1）的条件下，求
5、BCE 的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得 BHEH 最小，求出点 H 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线 C1 上是否存在点 F，使得以点 B、C 、F 为顶点的三角形与BCE 相似？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由图 1（1）将 M(2, 2)代入 ，得 解得 m41(2)yxm24()（2）当 m4 时， 所以 C(4, 0)，E(0, 2) 4x所以 SBCE 62BCOE（3）如图 2，抛物线的对称轴是直线 x1，当 H 落在线段 EC 上时，BHEH 最小设对称轴与 x 轴的交点为 P，那么 EOC因此 解得 所以点 H 的坐标为 4HP3
6、23(,)2（4）如图 3，过点 B 作 EC 的平行线交抛物线于 F，过点 F 作 FFx 轴于 F由于BCEFBC，所以当 ，即 时，BCEFBCBE设点 F 的坐标为 ，由 ，得 1(,2)(xxmOC1(2)mx解得 xm2所以 F(m2, 0)由 ，得 所以 COBE24B2(4)F由 ，得 2F22()()m整理，得 016此方程无解图 2 图 3 图 4如图 4，作CBF45交抛物线于 F，过点 F 作 FFx 轴于 F，由于EBCCBF，所以 ，即 时，BCEBFCBEC2BE在 Rt BFF中，由 FFBF ，得 1()xm解得 x2m所以 F 所以 BF2m 2， (2,0
7、) (2)F由 ，得 解得 BCE ()综合、，符合题意的 m 为 24、如图 1，已知梯形 OABC，抛物线分别过点 O（0，0） 、A（2，0） 、B（6，3） （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点 M 的坐标；（2）将图 1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线 OA、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A 1、 C1、B 1，得到如图 2 的梯形 O1A1B1C1设梯形 O1A1B1C1 的面积为 S，A 1、 B1 的坐标分别为 (x1，y 1)、(x2，y 2)用含 S 的代数式表示 x2x 1，并求出当 S=36 时点 A1 的坐标；（3）在图 1 中，
8、设点 D 的坐标为 (1，3)，动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着线段 BC 运动，动点 Q 从点 D 出发，以与点 P 相同的速度沿着线段 DM 运动P、Q 两点同时出发，当点 Q 到达点 M 时，P、Q两点同时停止运动设 P、Q 两点的运动时间为 t，是否存在某一时刻 t，使得直线 PQ、直线 AB、x 轴围成的三角形与直线 PQ、直线 AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由图 1 图 2（1）抛物线的对称轴为直线 ，解析式为 ，顶点为 M（1， ） 1x2184yx8（2） 梯形 O1A1B1C1 的面积 ，由此得到
9、由于2()3()6Sx123sx，所以 整理，得 因此得到213y2221184yxx2121()84217xS当 S=36 时， 解得 此时点 A1 的坐标为（ 6，3） 21,.x126,8.x（3）设直线 AB 与 PQ 交于点 G，直线 AB 与抛物线的对称轴交于点 E，直线 PQ 与 x 轴交于点 F，那么要探求相似的GAF 与GQE ，有一个公共角G 在GEQ 中， GEQ 是直线 AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值在GAF 中，GAF 是直线 AB 与 x 轴的夹角，也为定值，而且 GEQ GAF因此只存在GQEGAF 的可能，GQEGAF这时GAFGQEPQD 由于 ， ，所以
10、 解得 3tan4AFtan5DQtP345t207t 图 3 图 45、如图 1，抛物线经过点 A(4，0) 、B（1，0)、C（0， 2）三点（1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的一个动点，过 P 作 PMx 轴，垂足为 M，是否存在点 P，使得以 A、P、M 为顶点的三角形与OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线 AC 上方的抛物线是有一点 D，使得DCA 的面积最大，求出点 D 的坐标,（1）因为抛物线与 x 轴交于 A(4，0) 、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为 ，代入点 C 的 )4(1xay坐标（0，2） ，解得
11、 所以抛物线的解析式为 21a 25)4(122xy（2）设点 P 的坐标为 )4(,(xx如图 2，当点 P 在 x 轴上方时，1x 4， ， )(xPMxAM如果 ，那么 解得 不合题意COAM2)(12x5如果 ，那么 解得 1P42x此时点 P 的坐标为（2，1） 如图 3，当点 P 在点 A 的右侧时，x4， ， )4(1PM4xAM解方程 ，得 此时点 P 的坐标为 2)(x52,5解方程 ，得 不合题意1421x如图 4，当点 P 在点 B 的左侧时，x1， ， )4(12xMxA解方程 ，得 此时点 P 的坐标为 2)(21x3,3解方程 ，得 此时点 P 与点 O 重合，不合题意214)(21x0x综上所述，符合条件的 点 P 的坐标为（2，1）或 或 )14,3()2,5(图 2 图 3 图 4 图 5 图 6（3）如图 5，过点 D 作 x 轴的垂线交 AC 于 E直线 AC 的解析式为 21xy设点 D 的横坐标为 m ，那么点 D 的坐标为 ，点 E 的坐标)41( )2,(m为 所以 )21,(m)1)252mE因此 )(SDAC 4(2当 时，DCA 的面积最大，此时点 D 的坐标为（2，1）
