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1、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质,R,R,y|1y1 y|1y1 R, 2k， 2k,上递减，kZ;, 2k， 2k,上递减，kZ,上递减，kZ,上递减， kZ,(2k1)，2k,2k，(2k1),( k， k),2k,2k,2k,奇偶性,对称中心,对称轴l：,对称轴l：,奇,偶,奇,(k，0)，kZ,xk，kZ,无,xk ，kZ,(k ，0)，kZ,( ，0)，kZ,2,2,正弦函数和余弦函数的图象的对称轴及对称中心与函数图象的关键点有什么关系？,提示：ysinx与ycosx的对称轴方程中的x都是它们取得最大值或最小值时相应的x，对称中心的横坐标都是它们的零点.,1.(2009广西高
2、考改编)函数f(x)(1 tanx)cosx的最小正 周期为 .,解析：f(x)(1 tanx)cosxcosx sinx2sin(x )，T2.,答案： 2,2.函数 y=tan( -x)的定义域是 .,解析：x k ，xk ，kZ.,答案：x|xk ，kZ，xR,函数f(x)的最小正周期为2；函数f(x)在区间0, 上是增函数；函数f(x)的图象关于直线x0对称；函数f(x)是奇函数,3.已知函数f(x)sin(x )(xR)，下面结论错误的是 .,.,.,解析：ysin(x )cosx，T2，正确；ycosx在0, 上是减函数，ycosx在0, 上是增函数，正确；由图象知ycosx关于直
3、线x0对称，C正确.ycosx是偶函数，错误.,答案：,4.设函数f(x)ABsinx，若B0时，f(x)的最大值是 ，最 小值是 - ，则A，B.,解析：根据题意，由 可得,答案： -1,5.比较大小，sin( )sin( ).,解析：因为ysinx在 - ,0上为增函数且- - ,故sin(- )sin(- ).,答案：,1.与三角函数有关的函数的定义域(1)与三角函数有关的函数的定义域仍然是使函数解析式有 意义的自变量的取值范围.(2)求此类函数的定义域最终归结为用三角函数线或三角函 数的图象解三角不等式.,2.用三角函数线解sinxa(cosxa)的方法 (1)找出使sinxa(cos
4、xa)的两个x值的终边所在位置. (2)根据变化趋势，确定不等式的解集.3.用三角函数的图象解sinxa(cosxa，tanxa)的方法. (1)作直线ya，在三角函数的图象上找出一个周期内 (不一定是0,2)在直线ya上方的图象. (2)确定sinxa(cosxa，tanxa)的x值，写出解集.,求下列函数的定义域：(1)ylg(2sinx1) ；(2)y,(1)第(1)小题实际就是求使的x值，可用图象或三角函数线解决； (2)第(2)小题解不等式组 ，然后利用数轴求解.,【解】(1)要使原函数有意义，必须有：由图知，原函数的定义域为：,即,2k ，2k )(kZ)；,(2)要使函数有意义函
5、数定义域是x|0x 或x4.,则,得,1.(1)求函数y 的定义域和值域； (2)求函数y 的定义域.,解：(1)由函数1 cos( -x)0，得sinx ， 利用单位圆或三角函数的图象，易得所求函数的定义域是x|2k x2k ，kZ当sinxcos( x) 时，ymin0；当sinxcos( x)1时，ymax .所以函数的值域为 .,函数的定义域是x|4x或0x.,得,(2)由,三角函数求值域问题的类型及方法1.形如yasin2xbsinxc(a0)型的值域问题，一般利用换 元法转化为二次函数，然后利用配方法结合三角函数的 有界性求最值或值域；2.形如yasinxbcosx型的值域问题，一
6、般利用和差公式 化为一个角的一种函数值，然后利用sinx、cosx的有界性 求得最值或值域；,3.形如 y= 型的值域问题，一般看成直线的斜率， 通过数形结合求解；4.其他比较常用的方法还有基本不等式法、导数法等.,求下列函数的值域：(1)y2cos2x2cosx；(2)y3cosx sinx;(3)ysinxcosxsinxcosx.,先将原函数式进行等价变形，利用|sinx|1，|cos|1，但要注意自变量的取值变化.,【解】(1)y2cos2x2cosx2(cox+ )2- .当且仅当cosx1时，得ymax4，当且仅当 cosx=- 时，得ymin=- , 故函数值域为- ,4(2)y
7、=3cosx- sinx=2 ( cosx- sinx)=2 cos(x+ ). |cos(x+ )|1,该函数值域为-2 ,2 .,所以当sin(x+ )=1时，y取最大值1+当 sin(x+ )=- 时，y取最小值1，该函数值域为-1, ,(3)ysinxcosxsinxcosx sin(x )sin2(x ) sin(x )sin(x ) 21，,2.若将本例中xR改为x0, 求三个函数的值域.,解：(1) y=2(cos+ )2- ,又 x0, ，cosx0,1，当且仅当cosx0时，ymin0，cosx1时，ymax4.故函数值域为0,4.,(2)y2 cos(x )，x ， cos
8、(x ) ， y3，故值域为 ，3,(3)ysin(x ) 21，且x0， ，sin(x ) ，1，当且仅当sin(x ) 时，ymin1；sin(x )1时，ymax .故函数的值域为1， .,1.形如yAsin(x)(A0，0)的函数的单调区间， 基本思路是把x看作一个整体，由- +2k x 2k(kZ)求得函数的增区间，由 2kx 2k(kZ) 求得函数的减区间.,2形如yAsin(x)(A0，0)的函数，可先利用 诱导公式把x的系数变为正数，得到yAsin(x )，由 2kx 2k(kZ)得到 函数的减区间，由 2kx 2k(kZ)得到函数的增区间,【注意】对于函数yAcos(x)，y
9、Atan(x)的单调区间的求法与yAsin(x)的单调区间的求法相同.,已知函数f(x)log2 sin(2x- ).(1)求函数的定义域；(2)求满足f(x)0的x的取值范围；(3)求函数f(x)的单调递减区间.,f(x)的单调递减区间必须在定义域内，同时要注意应用复合函数的单调性求解.,【解】(1)令 sin(2x )0sin(2x )02k2x 2k，kZk xk ，kZ.故函数的定义域为(k ，k )，kZ.,(2)f(x)0，sin(2x ) 2x 2k 或2k ，kZxk 或xk ，kZ，故x的取值范围是x|xk 或xk ，kZ(3)令2k 2x 2k，kZ2k2x2k ，kZk xk ，kZ，故函数f(x)的单调递减区间是k ，k )，kZ.,3.求下列函数的单调区间：(1)y sin( )；(2)y|sin(x )|.,解：(1)y sin( ) sin( )故由2k 2k ，解得3k x3k (kZ)，由2k 2k ，解得3k x3k (kZ)，递减区间为3k ，3k ，递增区间为3k ，3k (kZ),
