必修四教案任意角1--2

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1、1第一章 三角函数4-1.1.1 任意角（1）教学目标：要求学生用“旋转”理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角” “负角” “象限角” “终边相同的角”的含义。教学重点：理解“正角” “负角” “象限角” “终边相同的角”的含义教学难点：“旋转”定义角高考要求：了解任意角的概念教学过程：一、情景引入 1、 初中接触过三角函数，仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等。2、你的手表慢了 5 分钟，你怎么调？ 若快了 5 分钟又怎么调？三角函数也是高中数学的一个重要内容，在今后的学习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容，它能够简单地解决许

2、多数学问题，在中学数学中有着非常广泛的应用。二、讲授新课1回忆：初中是怎么定义角的-从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”初中时，我们已学习了 0 360 角的概念，它是如何定义的呢？角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。如图 1，一条射线由原来的位置 OA，绕着它的端点 O 按逆时针方向旋转到终止位置 OB，就形成角 。旋转开始时的射线 OA叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点 O 叫做叫 的顶点。 在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体 720o” （即转体 2 周） ， “转体 1080o

3、”（即转体 3 周） ；再如时钟快了5 分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了 5 分钟，又该如何校正？逆时针旋转 300；顺时针旋转 300.比如（1）用扳手拧螺母；（2）跳水运动员身体旋转说明旋转第二周、第三周，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。还有很多例子自己找。本节课将在已掌握 角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法2.角的概念的推广：(1)定义：一条射线 OA 由原来的位置 OA，绕着它的端点 O 按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角 。其中射线 OA 叫角 的始边，射线 OB 叫角 的终边，O 叫角 的顶点。3正角、负角、零角概

4、念A：为了区别起见，我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，如图 2 中的角为正角，它等于 300与 7500；我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，那么同学们猜猜看，负角怎么规定呢？零角呢？B：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。BO A图 12A：如图 3，以 OA 为始边的角 =-150 0，=-660 0。特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这是形成了一个角，并把这个角称为零角。A：好，角的概念经过这样的推广之后，就应该包括正角、负角、零角。这里还有一点要说明：为了简单起见，在不引起混淆的前提下， “角 ”或“”可简记为 .

5、 4.象限角A：在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念。同学们已经经过预习，请一位同学回答什么叫：象限角？ B：角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合。那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。思考这么三个问题：1.定义中说：角的始边与 x 轴的非负半轴重合，如果改为与 x 轴的正半轴重合行不行，为什么？2.定义中角的始边，角的终边含端点吗？3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？处理：给学生思考-后回答，教师适时予以纠正。答：1.不行，始边包括端点（原点） ； 2端点在原点上；3不是，一些特殊角终边可能落在坐标轴上；如果角的

6、终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限。A：同学们一定要学会看数学书，特别是一些重要的概念、定理、性质要斟字酌句，每个字都要弄清楚，这样的预习才是有效果的。师生讨论：好，按照象限角定义，图中的 300，390 0，-330 0角，都是第一象限角；300 0，-600角，都是第四象限角；585 0角是第三象限角。：（追问 1）锐角是第一象限角吗？第一象限角是锐角吗？为什么？生：锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；师：（2）锐角就是小于 900的角吗？生：小于 900的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；师：（3）锐角就是 0090 0的角吗？ 生：锐角：|0 090 0；0 090

7、 0的角：|0 090 0.学生练习（口答） 已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在 x 轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？（1）420 0； （2）-75 0； （3）855 0； （4）-510 0.答：（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角.5.终边相同的角的表示法师：观察下列角你有什么发现? 390 330 30 1470 1770生:终边重合.师:请同学们思考为什么？能否再举三个与 300角同终边的角？生：图中发现 3900，-330 0与 300相差 3600的整数倍，例如，390 0=3600+300，-330 0=-3600

8、+300；与 300角同终边的角还有 7500，-690 0等。师：同学发现了两个同终边角的特征，即：终边相同的角相差 3600的整数倍。例如：7500=23600+300；-690 0=-23600+300。那么除了这些角之外，与 300角终边相同的角还有：333600+300 -33600+30043600+300 -43600+300， ，由此，我们可以用 S=|=k360 0+300，kZ来表示所有与 300角终边相同的角的集合。师：那好，对于任意一个角 ，与它终边相同的角的集合应如何表示？生：S=|=+k360 0，kZ，即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和。6

9、.例题讲评例 1 设 ，第 一 象 限 的 角 锐 角 ，的 角 小 于 GF9oE，那么有（ D ） A B C （ ）D 例 2 用集合表示：（1）各象限的角组成的集合（2）终边落在 轴右侧的角的集合解：(1) 第一象限角：|k360 ok360 o+90o,kZ第二象限角：|k360 o+90o k360 o+180o,kZ第三象限角：|k360 o+180ok360 o+270o,kZ第四象限角：|k360 o+270ok360 o+360o ,kZ（2）在 中， 轴右侧的角可记为 ，同样把该范围“旋转”后，得 ， ，故 轴右侧角的集合为 说明：一个角按顺、逆时针旋转 （ ）后与原来角

10、终边重合，同样一个“区间”内的角，按顺逆时针旋转 （ ）角后，所得“区间”仍与原区间重叠例 3 （1）如图，终边落在 位置时的角的集合是_| k360o+120o ,kZ ；终边落在 位置，且在 内的角的集合是_45 o,225o_ ；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是_|k360 o45 ok360 o+120o ,kZ三、课堂练习： （1）请用集合表示下列各角 间的角 第一象限角 锐角 小于 角4解答（1） ； ； ； （2）分别写出：终边落在 轴负半轴上的角的集合；终边落在 轴上的角的集合；终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合；终边落在四象限角平分线上的角的集合解答（2） ； ；

11、 ； 说明：第一象限角未必是锐角，小于 的角不一定是锐角， 间的角，根据课本约定它包括 ，但不包含 例 4 在 间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角（1） ；（2） ；（3） 解：（1） 与 角终边相同的角是 角，它是第三象限的角；（2） 与 终边相同的角是 ，它是第四象限的角；（3） 所以与 角终边相同的角是 ，它是第二象限角总结：草式写在草稿纸上，正的角度除以 ，按通常除去进行；负的角度除以 5，商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大 1，以使余数为正值课堂练习： （1）一角为 ，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_ _（2）集合 M=k ，kZ中，各角

12、的终边都在（C ）o90A 轴正半轴上， B 轴正半轴上，C 轴或 轴上， D 轴正半轴或 轴正半轴上（3）设 ， C|= k180o+45o ,kZ ， 则相等的角集合为_BD，CE_四.本课小结本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，学习终边相同的角的表示法。判断一个角 是第几象限角，只要把 改写成 ， ，那么 在第几象限， 就是第几象限角，若角 与角 适合关系： ， ，则 、 终边相同；若角 与 适合关系： ， ，则 、 终边互为反向延长线判断一个角所有象限或不同角之间的终边关系，可首先把它们化为： ， 这种模式（

13、） ，然后只要考查 的相关问题即可另外，数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法五.作业:4-1.1.1 任意角（2）教学目标：进一步要求学生用“旋转”理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角” “负角” “象限角 ”“终边相同的角”的含义。教学重点：理解“正角” “负角” “象限角” “终边相同的角”的含义教学难点：“旋转”定义角课标要求：了解任意角的概念教学过程：一、复习师：上节课我们学习了角的概念的推广，推广后的角分为正角、负角和零角；另外还学习了象限角的概念，下面请一位同学叙述一下它们的定义。6师：上节课我们还学习了所有与 角终边相同的角

14、的集合的表示法，板书S=|=+k360 0，kZ这节课我们将进一步学习并运用角的概念的推广，解决一些简单问题。二、例题选讲例 1 写出与下列各角终边相同的角的集合 S，并把 S 中适合不等式-360 0720 0的元素 写出来：（1）60 0； （2）-21 0； （3）363 014，解：（1）S=|=60 0+k3600，kZS 中适合-360 0720 0的元素是600+（-1）360 0=-3000 600+03600=600 600+13600=4200.（2）S=|=-21 0+k3600，kZ S 中适合-360 0720 0的元素是-210+03600=-210 -21 0+13600=3390 -210+23600=6990说明：-21 0不是 00到 3600的角，但仍可用上述方法来构成与-21 0角终边相同的角的集合。（3）S=|=363 014， +k3600，kZS 中适合-360 0720 0的元素是363014， +（-2）360 0=-356046， 363014， +（-1）360 0=3014，363014， +03600=363014，说明：这种终边相同的角的表示法非常重要，应熟练掌握。例 2写出终边在下列位置的角的集合(1)x 轴的负半轴上；（2）y 轴上分析：要求这些角的集合，根据终边相同的角的表示