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1、前言第 1 页 （共 15 页）拉丁方试验设计及分析1 前言“拉丁方” 的名字最初是由 R、A、Fisher 给出的。拉丁方设计（latin square design）是从横行和直列两个方向进行双重局部控制，使得横行和直列两向皆成单位组，是比随机单位组设计多一个单位组的设计。在拉丁方设计中，每一行或每一列都成为一个完全单位组，而每一处理在每一行或每一列都只出现一次，也就是说，在拉丁方设计中，试验处理数=横行单位组数=直列单位组数=试验处理的重复数。在对拉丁方设计试验结果进行统计分析时，由于能将横行、直列二个单位组间的变异从试验误差中分离出来，因而拉丁方设计的试验误差比随机单位就在于提供对实验
2、处理顺序的控制，使实验条件均衡，抵消由于实验处理的先后顺序的影响而产生的顺序误差，因而也可称之为抵消法设计。组设计小，试验精确性比随机单位组设计高。拉丁方设计又叫平衡对抗设计(baIanced design)、轮换设计。这三个名称是从其模式、作用和方法三个不同的角度来说明这种设计的意义。所谓平衡对抗设计，是指在实验中，由于前一个实验处理往往会影响后一个实验处理的效果，而该实验设计的作用。所谓轮换设计，是指在实验中，由于学习的首因效应，先实验的内容，被试容易记住；又因为学习的近因效应，对于刚刚学过的内容，被试回忆的效果一般也较好。因此、在实验方法上，有必要使不同实验条件出现的先后顺序轮换，使情境
3、条件以及先后顺序对各个实验组的机会均等，打破顺序界限。所谓拉丁方设计，是指平衡对抗设计的结构模式，犹如拉丁字母构成的方阵。例如四组被试接受 A、B 、 C、D 四种处理，其实验模式为：上述模式表可以看出，每种处理即表中的字母在每一行和每一列都出现了一次而且仅出现了一次。像这样的一个方阵列就称为一个拉丁方。要构成一个拉丁拉丁方试验设计及分析第 2 页 （共 15 页）方，必须使行数等于列数，并且两者都要等于实验处理的种数。在只有两个实验处理的情况下，通常采用的平衡对抗设计是以 ABBA 的顺序来安排实验处理的顺序。或者把单组被试分为两半一半按照 ABBA 的顺序实施处理，另一半按照 BAAB 的
4、顺序实施处理。2 选题背景 源于生产实践，在畜牧、水产等动物试验中，如果要控制来自两个方面的系统误差且试验动物的数量又较少，则常采用拉丁方设计。2.1 研究的目的和意义拉丁方设计（latin square design）是从横行和直列两个方向进行双重局部控制，使得横行和直列两向皆成单位组，是比随机单位组设计多一个单位组的设计。在拉丁方设计中，每一行或每一列都成为一个完全单位组，而每一处理在每一行或每一列都只出现一次，也就是说，在拉丁方设计中，试验处理数=横行单位组数=直列单位组数=试验处理的重复数。在对拉丁方设计试验结果进行统计分析时，由于能将横行、直列二个单位组间的变异从试验误差中分离出来，
5、因而拉丁方设计的试验误差比随机单位组设计小，试验精确性比随机单位组设计高。课题的目的是：因为在拉丁设计中，横行单位组数、直列单位组数、试验处理数与试验处理的重复数必须相等，所以处理数受到一定限制。若处理数少，则重复数也少，估计试验误差的自由度就小，影响检验的灵敏度；若处理数多，则重复数也多，横行、直列单位组数也多，导致试验工作量大，且同一单位组内试验动物的初始条件亦难控制一致。因此，拉丁方设计一般用于 5-8 个处理的试验。在采用 4 个以下处理的拉丁方设计时，为了使估计误差的自由度不少于 12，可采用“复拉丁方设计”，即同一个拉丁方试验重复进行数次，并将试验数据合并分析，以增加误差项的自由度
6、。应当注意，在进行拉丁方试验时，某些单位组因素，如奶牛的泌乳阶段，试验因素的各处理要逐个地在不同阶段实施，如果前一阶段有残效，在后一阶段的试验中，就会产生系统误差而影响试验的准确性。此时应根据实际情况，安排适当的试验间歇期以消除残效。另外，还要注意，横行、直列单位组因素前言第 3 页 （共 15 页）与试验因素间不存在交互作用，否则不能采用拉丁方设计。其研究的意义在于：1、精确性高 拉丁方设计在不增加试验单位的情况下，比随机单位组设计多设置了一个单位组因素，能将横行和直列两个单位组间的变异从试验误差中分离出来，因而试验误差比随机单位组设计小，试验的精确性比随机单位组设计高。2、试验结果的分析简
7、便2.2 现状和发展趋势与研究的主攻方向拉丁方试验从实际应用上来说，在计算机科学、数字通讯、光纤网络优化、实验设计、生物基因工程等方面都有着重要的应用，其不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如心理学、生物等学科中均有重要应用。近年来，正交拉丁方理论在实验设计、计算机科学、编码理论和保密通讯等领域得到了重要的应用，这为正交拉丁方理论的研究提供了巨大的原动力。本研究方向近年来在 frame 自正交拉丁方、带对称正交侣的自正交拉丁方、r-自正交拉丁方、自正交的 Mendelsohn 三元系、横截设计等方面取得了一系列的研究成果。3 试验设计及拉丁方试验设计3.1试验
8、设计试验设计的基本工具是正交表，正交表是根据均匀分布的思想，运用组合数学理论构造的一种数学表格试验设计的方法很多，不同的方法用于解决在实际工作中所遇到的不同的问题，应用最广泛和最具典型性的方法有区组设计、正交设计、参数设计、回归设计、均匀设计、混料设计、饱和设计与超饱和设计”。为比较某因子的多个水平，按某个已知的噪声因子把全部试验单元分为若干个组并进行试验和统计分析的方法称为区组设计。根据不同情况设计具体拉丁方试验设计及分析第 4 页 （共 15 页）试验的方法有随机化完全区组设计、平衡不完全区组设计和链式区组设计。区组设计被广泛用于因素水平比较试验。正交试验设计是一种常用多因子试验设计方法，
9、它利用正交表k(q选择试验条件和安排试验计划。并利用正交表的特点进行数据分析，减少试验次数，找出最好的或满意的试验计划组合。对应试验具体情况和要求不同，正交设计方法和统计分析方法也有相应的调整和优化。正交试验设计中的裂区设计是现今一大研究热点。试验设计的主要作用是减低试验次数、提高试验精度，使研究人员从试验结果中获得无偏的处理效应及试验误差的估计，进行正确而有效的比较。为了控制干扰因子引起的差异，降低试验误差，在试验设计中要遵循三条基本原则。一重复(Replication)重复性是科学调查结论的基本要求。相同处理设置试验单元重复后就可研究在试验单元间的变异。设置重复主要作用在于；1估计试验误差
10、；2降低试验误差，提高试验精度二随机化(Randomization)随机化指试验中每一个处理都有相等的机会实施安排在任何一个试验单元上。随机可以消除任何人为的主观偏性及各种干扰因子的影响，以保证获得处理效应及误差变异的有效无偏估计。三区域控制(Blocking) 区域控制是将试验单元按系统干扰因子的环境控制因子进行区组划分，实施区组控制，使同一区组内的单元间环境因子保持一致，保证同一区组中局部范围内单元间误差的同质性。3.2拉丁方试验设计拉丁方设计（latin square design）在统计上控制两个不相互作用的外部变量并且操纵自变量。每个外部变量或分区变量被划分为一个相等数目的区组或级拉
11、丁方试验设计的具体实例第 5 页 （共 15 页）别，自变量也同样被分为相同数目的级别。如果将 k 个不同符号排成 k 列，使得每一个符号在每一行、每一列都只出现一次的方阵，叫做 kk 拉丁方。应用拉丁方设计就是将处理从纵横二个方向排列为区组(或重复)，使每个处理在每一列和每一行中出现的次数相等（通常一次），即在行和列两个方向都进行局部控制。所以它是比随机区组多一个方向局部控制的随机排列的设计，因而具有较高的精确性。 拉丁方设计的特点是处理数、重复数、行数、列数都相等。最小的可以为 22拉丁方设计,没有诸如 23 拉丁方设计。它的每一行和每一列都是一个区组或一次重复，而每一个处理在每一行或每一
12、列都只出现一次，因此，它的处理数、重复数、行数、列数都等于 5。拉丁方设计的优点是：精确度高。缺点是：由于重复数与处理数必须相等，使得两者之间相互制约，缺乏伸缩性。因此，采用此类设计时试验的处理数不能太多，一般以 410 个为宜。其具体的应用过程是这样的： 假设我现在要做一个实验，被试一共要进行 5 个小测试，并且需要重测多次，因此对这 5 个测试的排序就需要列入变量控制之内，不可能多次都一样的顺序，因此为了平衡这种顺序效应，采取拉丁方设计，先命名 5 个小测试分别为 1，2，3，4，5。那么对其的排序就是这样的： 第一组测试顺序：1，2，5，3，4 第二组测试顺序：2，3，1，4，5 第三组
13、测试顺序：3，4，2，5，1 第四组测试顺序：4，5，3，1，2 第五组测试顺序：5，1，4，2，3 其顺序是这样确定的，横排：1，2，n，3，n-1，4，n-2（n 代表要排序的量的个数） 竖排：1，2，3，4，5 再轮回 1。（1）设计的基本要求：必须是三个因素的实验，且三个因素的水平数相等（若三因素的水平数略有不同，应以主要处理因素的水平数为主，其它两因素的水平数可进行适当调整）；三因素间是相互独立的，均无交互作用；各行、列、字母所得实验数据的方差齐。（2）设计步骤：根据主要处理因素的水平数，确定基本型拉丁方，并从专业角度使另两个次要因素的水平数与之相同；先将基本型拉丁方随机化，然后按随
14、机化后的拉丁方阵安排实验。可通过对拉丁方的任两列交换位置，或/及任拉丁方试验设计及分析第 6 页 （共 15 页）两行交换位置实现随机化；规定行、列、字母所代表的因素与水平，通常用字母表示主要处理因素。4、拉丁方试验设计数据处理的相关理论拉丁方设计试验结果的分析，是将两个单位组因素与试验因素一起，按三因素试验单独观测值的方差分析法进行，但应假定 3 个因素之间不存在交互作用。将横行单位组因素记为 A，直列单位组因素记为 B，处理因素记为 C，横行单位组数、直列单位组数与处理数记为 r，对拉丁方试验结果进行方差分析的数学模型为：（I=j=k=1 ，2，r） 式中： 为总平均数； 为第 I 横行单
15、位组效应； 为第 j 直列单位组效应，为第 k 处理效应。单位组效应 、 通常是随机的，处理效应 通常是固定的，且有 ； 为随机误差，相互独立，且都服从 N（0， 2）。注意：k 不是独立的下标，因为 I、 j 一经确定，k 亦随之确定。平方和与自由度划分式为：SST = SSA+SSB+SSC+SSedfT = dfA+dfB+dfc+dfe 矫正数 C= x2./r2总平方和 SS T =x 2ij(k)-C横行平方和 SS A =x 2I./r- C直列平方和 SS B =x 2.j/ r C处理平方和 SS C =x 2(K)/ r C拉丁方试验设计的具体实例第 7 页 （共 15 页
16、）误差平方和 SS e= SS T- SS A- SS B- SS c总自由度 df T= r 2-1横行自由度 df A= r-1直列自由度 df B= r-1处理自由度 df C= r-1误差自由度 df e=dfT-dfA-dfB-dfC=(r-1)( r-2)关于方差分析的基本步骤现归纳如下： （一）计算各项平方和与自由度。 （二）列出方差分析表，进行 F 检验。 （三）若 F 检验显著，则进行多重比较。多重比较的方法有最小显著差数法(LSD 法)和最小显著极差法(LSR 法：包括 q 检验法和新复极差法 )。表示多重比较结果的方法有三角形法和标记字母法。5 拉丁方试验设计的具体实例在畜牧、水产等动物试验中，如果要控制来自两个方面的系统误差，且试验动物的数量又较少，则常采用拉丁方设计。下
