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1、东 南 大 学 考 试 卷 （ A、B 卷）一、简单计算题（每题 8 分）：1、 已知某连续信号 ()ft的傅里叶变换为 21()3Fjj，按照取样间隔 1T对其进行取样得到离散时间序列 ()fk，序列 ()fk的Z 变换。2 求序列 10(),2kf和 2()1cos()2fkk的卷积和。3 已知某双边序列的 Z 变换为 2()19Fzz，求该序列的时域表达式()fk。2、 已知某连续系统的特征多项式为： 2691063)( 23457 ssssD试判断该系统的稳定情况，并指出系统含有负实部、零实部和正实部的根各有几个？3、 已知某连续时间系统的系统函数为：3264()1ssH。试给出该系统
2、的状态方程。4、 求出下面框图所示离散时间系统的系统函数。 1z 1z2-0.3)(ke )(kr-0.2二、 （12 分）已知系统框图如图（a） ，输入信号 e(t)的时域波形如图（b） ，子系统 h(t)的冲激响应波形如图 (c)所示，信号 ()ft的频谱为e(t)图 (a)h(t) y(t)(tfh(t)t图(c)011()jnFje。e(t)244图 (b)试：1） 分别画出 )(tf的频谱图和时域波形；2） 求输出响应 y(t)并画出时域波形。3） 子系统 h(t)是否是物理可实现的？为什么？请叙述理由；三（12 分） 、已知电路如下图所示，激励信号为 )(te，在 t=0 和t=1
3、 时测得系统的输出为 1)0(y， 5.0)(。分别求系统的零输入响应、零状态响应、全响应、以及自然响应和受迫响应。e ( t )L = 2 HC = 1 FR 1 = 2R 2 = 1+y ( t )_四(12 分) 、已知某离散系统的差分方程为)1()1(32( keyky其初始状态为 62,zizi ，激励 )(ke；求：1） 零输入响应 )(kyzi、零状态响应 )(kyzs及全响应 y；2） 指出其中的自由响应分量和受迫响应分量；3） 判断该系统的稳定性。五（12 分） 、已知某离散时间系统的单位函数响应()cos()2kh。1） 求其系统函数 ()Hz；2） 粗略绘出该系统的幅频特
4、性；3） 画出该系统的框图。六、 （10 分）请叙述并证明 z 变换的卷积定理。答案1、 已知某连续信号 ()ft的傅里叶变换为 21()3Fjj，按照取样间隔T对其进行取样得到离散时间序列 fk，序列 ()fk的 Z 变换。解法一：f(t) 的拉普拉斯变换为 211(32)( ssss，211)(Re)( ezezKzsFzFniTsisni Ti解法二：f(t)=L 1F(jw)=(et e2t )(t)f(k)= (ek e2k )(k)= (21kkF(z)=Zf(k)= 21ez2、 求序列 10(),kf和()1cos()2fkk的卷积和。解：f 1(k)=1,2,1=(k)+2(
5、k1)+ (k2)f1(k)* f2(k)= f2(k)+ 2f2(k1)+ f2(k2)3、已知某双边序列的 Z 变换为 2()109Fzz，求该序列的时域表达式()fk。解： 5.014.zzF，两个单阶极点为0.4、0.5当收敛域为|z|0.5 时，f(k)=( 0.4)k1( 0.5)k1)(k1)当收敛域为 0.4|z|0.5 时，f(k)= ( 0.4) k1(k1)+( 0.5)k1( k)当收敛域为|z|0.4 时，f(k)= ( 0.4)k1(k)+( 0.5)k1( k)点评：此题应对收敛域分别讨论，很多学生只写出第一步答案，即只考虑单边序列。4、已知某连续系统的特征多项式
6、为： 269063)( 23457 ssssD试判断该系统的稳定情况，并指出系统含有负实部、零实部和正实部的根各有几个？解 构作罗斯-霍维茨阵列 167s29038514s3 42(0) 3s此 时 出 现 全 零 行 ， 有 辅 助 多 项 式3646,s求 导 可 得 以 代 替 全 零 行 系 数 。2103ss由罗斯-霍维茨数列可见，元素符号并不改变，说明 s右半平面无极点。再由4230s令 2x则有x可解得 1,相应地有 1,2sj3,4j 2这说明该系统的系统函数在虚轴上有四个单极点分别为土 j 及土 j 2，系统为临界稳定。e(t)图 (a)h(t)y(t)(tf e(t)244
7、t图 (b)h(t)t图 (c)011z 1z2-0.3)(ke )(kr-0.2所以系统含有三个负实部的根、四个零实部的根，无正实部的根。点评：此题得分率很低。很多学生对全零行不知如何处理。5、已知某连续时间系统的系统函数为：3264()1ssH。试给出该系统的状态方程。解：系统的微分方程为 )(24)(6)()(2 tetettytyt 取原来的辅助变量 q及其各阶导数为状态变量并分别表示为 1xq、 2、 3xq、3xq，于是，由此微分方程立即可以写出如下方程状态方程：)(2 3132texx输出方程： )(464321texy 或者写成矩阵形式，上式即为 exx 10210 3321B
8、eA)(4132texyDeC6、求出下面框图所示离散时间系统的系统函数。解： 06.5.32.01)3.21() zzzH二、 （12 分）已知系统框图如图（a） ，输入信号 e(t)的时域波形如图（b） ，子系统 h(t)的冲激响应波形如图(c)所示，信号 ft的频谱为jnFje。试：1） 分别画出 tf的频谱图和时域波形；2） 求输出响应 y(t)并画出时域波形。3） 子系统 h(t)是否是物理可实现的？为什么？请叙述理由；解：1）根据傅立叶变换的性质得：2-424tf(t)1 wF(jw)2nttf)2()(njF)()(2）y(t)=e(t) f(t)h(t)=(t+2)+2(t)+
9、 (t2) h(t)= h(t+2)+2h(t)+ h(t2)2-21213ty(t)3）因 h(t)是有始因果信号，所以子系统 h(t)是物理可实现的。点评：此题做对的非常少，大多数写不出 f(t)的表达方式。三（12 分） 、已知电路如下图所示，激励信号为 )(te，在 t=0 和 t=1时测得系统的输出为 1)0(y， 5.0)(e。分别求系统的零输入响应、零状态响应、全响应、以及自然响应和受迫响应。e ( t )L = 2 HC = 1 FR 1 = 2R 2 = 1+y ( t )_解：1）电路满足 KVL：得 )(5.0)(.)(5.)( tetytty2）系统函数为： .12ss
10、H，特征根为 1=0.5， 2=1Yzs(s)=H(s)E(s)= 5.02= .s零状态响应：y zs(t)=(e0.5t et)(t)yzs(0)=0，y zs(1)=(e0.5 e1)；yzi(0)= y(0) yzs(0)=1，y zi(1)= y(1) yzs(1)= e1 ；yzi(t)=(C1e0.5t +C2et)(t),得 C1=0，C 2=1零输入响应：y zi(t)= et(t)；全响应：y (t)= e 0.5t (t)点评：此题中很多学生把全响应初始条件当成零输入响应的初始值来解答，失去少部分分数。w|H(ejw)|2230.5四(12 分) 、已知某离散系统的差分方
11、程为)1()1(32( keyky其初始状态为 62,zizi ，激励 )(ke；求：1） 零输入响应 、零状态响应 (yzs及全响应 y；2） 指出其中的自由响应分量和受迫响应分量；3） 判断该系统的稳定性。解： 13)(2zzH，特征根为 1=0.5， 2=11） yzi(k)=(C10.5k+C2)(k)；代入初始条件得 C1=2，C 2=2零输入响应：y zi(k)= (220.5k)(k)Yzs(z)=H(z)E(z)= 22 )1(5.013zzz= 15.0s零状态响应：y zs(k)= (0.5k +k1)(k)yzs(0)=0，y zs(1)=(e0.5 e1)；全响应：y
12、(k)= (1+k0.5 k)(k)2）自由响应：(1 0.5 k)(k)受迫响应：k(k) ，严格地说是混合响应。3）系统的特征根为 1=0.5（单位圆内） ， 2=1（单位圆上） ，所 2 系统临界稳定。五（12 分） 、已知某离散时间系统的单位函数响应()cos()kh。4） 求其系统函数 ()Hz；5） 粗略绘出该系统的幅频特性；6） 画出该系统的框图。解：1）系统函数为： 121 )(21)(21)(2)(cos22 2 zez keZkeZkeZkZjj jjjkj )(zH2）系统的幅频特性为： |cos2|1)(| 2jjeH3）系统的框图 1z1z-1E(z) Y(z)六、 （10 分）请叙述并证明 Z 变换的卷积定理。解：卷积定理设 )(1zFkfZ, )(2zFkf，则*2或用符号表示为：若 1f， )(2zkf，则)()(211zkf两序列卷积后 z 变换的收敛区是原来两个 Z 变换收敛区的重叠部分。以上定理可根据卷积和及 Z 变换的定义证明如下 kjj jkfzjfZkf )()()(* 212121交换上式右方的取和次序，上式成为jkjfzjfkfZ)()()(2121对上式右方第二个取和式应用式(815)的移序特性，则得)()()()(*212121 zFzjfkfj 点评：很多学生做不出此题，有的竟然连卷积定理内容都写不出。
