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1、第五章弯曲应力,5.1 纯弯曲,当梁上有横向外力作用时, 一般情况下, 梁的横截面上既又弯矩M, 又有剪力FS。,5.1.1 纯弯曲的概念,t,s,只有与正应力有关的法向内力元素dFN=dA才能合成弯矩。,只有与切应力有关的切向内力元素dFS=dA才能合成剪力。,所以, 在梁的横截面上一般既有正应力, 又有切应力。,5.1 纯弯曲,在梁CD段任一横截面上, 剪力等于零, 而弯矩为常量, 所以CD段梁的弯曲就是纯弯曲。,若梁在某段内各横截面上的弯矩为常量, 剪力为零, 则该段梁的弯曲就称为纯弯曲。,在AC和DB段内横截面上既有弯矩又有剪力, 这种情况称为横力弯曲或剪切弯曲。,(1) 试验,取纯弯
2、曲梁段来研究。加载前先在其侧面上画两条相邻的横向线mm和nn, 并在两横向线间靠近顶面和底面处分别划两条纵向线aa和bb。,5.1 纯弯曲,5.1.2 纯弯曲的平面假设,(2) 现象,使杆件发生纯弯曲变形后, 纵向线aa和bb弯成弧线, 但横向直线mm和nn仍保持为直线, 它们相对旋转一个角度后, 仍然垂直于弧线aa和bb。,4.4.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力,(3) 结论,变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面, 并绕垂直于纵对称面的某一轴旋转, 且仍然垂直于变形后的梁轴线。这就是弯曲变形的平面假设。,4.4.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力,设想梁由平行于轴线的众多纵向纤维所组成。
3、发生弯曲变形后(假设发生图示凸向下的弯曲), 必然要引起靠近底面的纤维伸长, 靠近顶面的纤维缩短。,5.1.3 中性层与中性轴,因为横截面仍保持为平面, 所以沿截面高度, 应由底面纤维的伸长连续地逐渐变为顶面纤维的缩短, 中间必定有一层纤维的长度不变。这一层纤维称为中性层。,中性层与横截面的交线称为中性轴。在中性层上、下两侧的纤维, 如一侧伸长则另一侧必为缩短。这就形成横截面绕中性轴的轻微转动。,在纯弯曲变形中, 还认为各纵向纤维之间并无相互的挤压作用。,5.1.3 中性层与中性轴,5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力,1. 变形几何关系,用两个横截面从纯弯曲梁中假想地截取长为dx的一段。,由平
4、面假设可知, 在梁弯曲变形后这两个横截面将相对地旋转一个角度d, 并仍保持为平面。,以梁横截面的对称轴为y轴, 且向下为正。以中性轴为z轴, 但中性轴的位置尚待确定。在中性轴尚未确定之前, x轴只能暂时认为是通过原点的横截面的法线。,距中性层为y的纤维bb的长度变为,这里r为中性层的曲率半径。纤维bb的原长度为dx, 且,因为变形前、后中性层内纤维OO的长度不变, 故有,根据应变的定义, 求得纤维bb的应变为,纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比。,2. 物理关系,因为纵向纤维之间无正应力, 每一纤维都是单向拉伸或压缩。当应力小于比例极限时, 由胡克定律知,这表明, 任意纵向纤维的正应力与它
5、到中性层的距离成正比。在横截面上, 任意点的正应力与该点到中性轴的距离成正比。亦即沿截面高度, 正应力按直线规律变化。,现在的问题是中性轴在何处？,3. 静力关系,横截面上的微内力s dA组成垂直于横截面的空间平行力系, 这一力系只可能简化成三个内力分量:,5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力,根据梁段作纯弯曲这一条件可知, 上式中的FN和My均等于零, 而Mz就是横截面上的弯矩M。,5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力,Sz为截面图形对z的静矩, 因E/r0, 必有Sz 0, 所以中性轴必通过横截面形心。,中性轴(z轴)过形心且与横截面的对称轴y垂直。,z,中性轴,5.2 纯弯曲时梁横截面上的正
6、应力,这是保证梁为平面弯曲的条件。,称为横截面对y、z轴的惯性积, 只要截面图形对称于y、z中的任一轴, 其值必为零。,由于前已设定横截面的对称轴为y轴, 故上式自然满足。,称为横截面对中性轴z轴的惯性矩。,是梁中性层的曲率表达式。,EIz称为梁的抗弯刚度。,该式为等直梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式。,M - 横截面上的弯矩,y - 求应力的点到中性轴的距离,Iz - 横截面对中性轴的惯性矩,5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力,应用公式时, 一般将M, y以绝对值代入。根据梁变形的情况直接判断的正负号。以中性轴为界, 梁变形后凸出边的应力为拉应力(为正号)。凹入边的应力为压应力(为
7、负号)。,讨论：,5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力,最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处。当中性轴为对称轴时, ymax表示最大应力点到中性轴的距离, 横截面上的最大正应力为,st max,sc max,矩形截面梁横截面上正应力分布如图所示,5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力,Wz称为弯曲截面系数。是截面的几何性质之一, 其值与横截面的形状和尺寸有关, 单位是m3。,令,y,z,C,ymax,ymax,得,5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力,矩形截面的抗弯截面系数,圆形截面的抗弯截面系数,y,h,b,z,5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力,应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距
8、离yt max和yc max直接代入公式,对于中性轴不是对称轴的横截面,求得相应的最大正应力。,5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力,5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力,5.3 横力弯曲时的正应力,当梁上有横向力作用时, 横截面上既又弯矩又有剪力。梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲 。,横力弯曲时, 梁的横截面上既有正应力, 又有切应力。,切应力使横截面发生翘曲。,横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力。,纯弯曲时所作的平面假设和各纵向线段间互不挤压的假设都不成立 。,对于跨度与截面高度之比l/h大于5的横力弯曲梁, 横截面上的最大正应力按纯弯曲正应力公式计算, 误差不超过1%, 所得结果略偏低
9、。但完全满足工程上的精度要求。梁的跨高比l/h越大, 误差就越小。,等直梁横力弯曲时横截面上的最大正应力公式为,5.3 横力弯曲时的正应力,例：简支梁由56a工字钢制成, 其横截面见图, F = 150 kN。求,(1) 梁上的最大正应力max,(2) 同一截面上翼缘与腹板交界处a点的应力,5 m,10 m,A,B,F,C,查型钢表, 56a 工字钢,解: 分析梁的受力, 作弯矩图。,FA,FB,C截面为危险截面。最大弯矩,375 kNm,M图,(1) 梁的最大正应力,C,(2) a点的正应力,a点到中性轴的距离为,所以a点的正应力为,梁的正应力强度条件,等直梁的最大正应力发生在最大弯矩的横截
10、面上距中性轴最远的各点处(梁的上下边缘处) 。,该处的切应力等于零或与该点处的正应力相比很小。此外纵截面上由横向力引起的挤压应力可略去不计。,因此, 可将横截面上最大正应力所在各点处的应力状态看作单轴应力状态 。,梁的正应力强度条件为：,梁的横截面上最大工作正应力max不得超过材料的许用弯曲正应力即,还可将上式写为,可对梁按正应力进行强度校核; 选择梁的截面; 确定梁的许可荷载。,5.3 横力弯曲时的正应力,对于铸铁等脆性材料制成的梁, 由于材料的抗拉强度与抗压强度不同,两者有时并不发生在同一横截面上, 要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力。,且梁横截面的中性轴一般也不是对称轴, 所以,
11、5.3 横力弯曲时的正应力,例: 跨长l2m的铸铁梁受力如图所示。已知材料的拉, 压许用应力分别为st30 MPa, sc90 MPa, 试根据截面最为合理的要求, 确定T字形截面梁横截面的尺寸, 并校核梁的强度。,1 m,2 m,A,B,F80 kN,60,220,280,y1,y2,y,z,O,解：(1) 要使截面最合理, 必须使同一截面的,60,220,280,y1,y2,y,z,O,60,220,280,y1,y2,y,z,O,60,220,280,y1,y2,y,z,O,由上两式确定出,根据形心坐标公式得(以上边缘为参考边),(2) 校核梁的强度,60,220,280,y1,y2,2
12、4,y,z,O,210,梁满足强度要求。,例: 图示梁由工字钢制成。钢的许用弯曲正应力152 MPa, 试选择工字钢的型号 。,A,B,F,F,F75 kN,2.5 m,2.5 m,2.5 m,2.5 m,解: 求约束反力, 作弯矩图,梁的最大弯矩在中点,FA = FB = 112.5 kN,梁所必需的抗弯截面系数为,FA,FB,此值小于所必需的,但也不到1%, 故可选用56b号工字钢 。,但不到1%, 采用此工字钢时最大正应力,由型钢表查得56b号工字钢的,例: T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示。铸铁的抗拉许用应力为t30MPa, 抗压许用应力为c160 MPa。已知截面对形心轴z的惯
13、性矩为Iz763 cm4, y152 mm。校核梁的强度。,B,A,C,1m,D,F19 kN,F24 kN,1m,1m,解：求约束反力,FA,FB,FA2.5 kN, FB10.5 kN,作梁的弯矩图, 求最大弯矩。,最大正弯矩在截面C上,最大负弯矩在截面B上,MC2.5 kNm,MB4 kNm,t30MPa, c160MPa, Iz763 cm4, y152 mm。,t30MPa, c160MPa, Iz763 cm4, y152 mm。,B截面,B,A,C,1m,D,F19 kN,F24 kN,1m,1m,FA,FB,在截面C上, 虽然弯矩MC的绝对值小于MB, 但MC是正弯矩, 最大拉
14、应力发生于截面的下边缘各点, 而这些点到中性轴的距离却比较远, 因而就有可能发生比截面B还要大的拉应力。,例: 一槽形截面铸铁梁如图所示。已知, b2 m, Iz5493104 mm4, 铸铁的许用拉应力t30MPa, 许用压应力c90 MPa。试求梁的许可荷载F。,20,20,180,40,120,86,134,z,y,C,形心,b2 m, Iz5493104 mm4, t30MPa, c90 MPa。,解：弯矩图如图所示。,最大负弯矩在B截面上, 最大正弯矩在C截面上。,B,A,C,qF/b,b,D,F,b,b,梁的截面图如图所示, 中性轴到上、下边缘的距离分别为,F/4,7F/4,y1,y2,C截面,C截面的强度条件由最大的拉应力控制。,F/4,7F/4,y1,y2,B截面,取最小值F19.2 kN。,F/4,7F/4,y1,y2,
