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1、莆田五中备课资料14.3.2 函数的极大值和极小值教学目标：1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤；教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.教学过程：一创设情景观察图 3.3-8，我们发现， 时，高台跳水运动员距水面高度最大那么，函数ta在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么()ht变化规律？放大 附近函数 的图像，如图 3.3-9可以看出 ；在 ，当 时，a()ht ()hatta函数 单调递增，
2、；当 时，函数 单调递减， ；这就说明，()t0t()t0在 附近，函数值先增（ ， ）后减（ ， ） 这样，当 在a()0的附近从小到大经过 时， 先正后负，且 连续变化，于是有 ()对于一般的函数 ，是否也有这样的性质呢？yfx附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 奎 屯王 新 敞新 疆二新课讲授1问题：图 3.3-1（1） ，它表示跳水运动中高度 随时间 变化的函数ht的图像，图 3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度 随时间 变2()4
3、.96.50htt vt化的函数 的图像()9.865vht运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度 随时间 的增加而增加，即 是ht()ht增函数相应地， ()0vth（2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度 随时间 的增加而减少，即 是减函数相应地， 2函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系莆田五中备课资料2如图 3.3-3，导数 表示函数 在点 处的切线的斜率在 处，0()fx()fx0,)y0x，切线是“左下右上”式的，这时，函数 在 附近单调
4、递增；在0()fx (fx0处， ，切线是“左上右下”式的，这时，函数 在 附近单调递10f ()f1减结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间 内，如果 ，那么函数 在这个区间内单调递增；(,)ab()0fx()yfx如果 ，那么函数 在这个区间内单调递减)fxy说明：（1）特别的，如果 ，那么函数 在这个区间内是常函数f f3求解函数 单调区间的步骤：()yf（1）确定函数 的定义域；x（2）求导数 ；（3）解不等式 ，解集在定义域内的部分为增区间；()0f（4）解不等式 ，解集在定义域内的部分为减区间三典例分析例 1已知导函数 的下列信息：()fx当 时， ；x0当 ，或 时， ；41f
5、当 ，或 时，()试画出函数 图像的大致形状yx解：当 时， ，可知 在此区间内单调递增；0f()yfx当 ，或 时， ；可知 在此区间内单调递减；4x1()当 ，或 时， ，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点” f综上，函数 图像的大致形状如图 3.3-4 所示yx例 2判断下列函数的单调性，并求出单调区间（1） ； （2）3()f2()3fx（3） ； （4）sin(0,)41x解：（1）因为 ，所以， 3fx 2()0f 因此， 在 R 上单调递增，如图 3.3-5（1）所示)（2）因为 ，所以， 2(f ()f当 ，即 时，函数 单调递增；0123x当 ，即 时，函数 单调递减；)f
6、xf函数 的图像如图 3.3-5（2）所示2(3x（3） 因为 ，所以，sin(0,)f ()cos10fx因此，函数 在 单调递减，如图 3.3-5（3）所示)莆田五中备课资料3（4） 因为 ，所以 32()41fxx当 ，即 时，函数 ；02()3fx当 ，即 时，函数 ；f函数 的图像如图 3.3-5（4）所示32()注：（3） 、 （4）生练例 3 如图 3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度 与时间 的函数关系图像ht分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高
7、度增加得越来越快反映在图像上， （A ）符合上述变化情况同理可知其它三种容器的情况解： 1,2,3,4BADC思考：例 3 表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭” ；反之，函数的图像就“平缓”一些如图 3.3-7所示，函数 在 或 内的图像“陡峭” ，在 或 内的()yfx0,b,a,b,a图像“平缓” 例 4 求证：函数 在区间 内是减函数321x2,1证明：因为 2666x当 即 时， ，所以函数 在区间,
8、1xx0y321yx内是减函数2说明：证明可导函数 在 内的单调性步骤：f,ab（1）求导函数 ；x（2）判断 在 内的符号；f,（3）做出结论： 为增函数， 为减函数00fx例 5 已知函数 在区间 上是增函数，求实数 的23()4()fxaR1,a取值范围解： ，因为 在区间 上是增函数，所以 对 2()fxfx, ()0fx恒成立，即 对 恒成立，解之得：1,0x1所以实数 的取值范围为 a1,说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则 ；若函数单调递减，则 ”来求解，()fx()0fx注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解四课堂练习1求下列函数的单调区间莆田五中备课资料41.f(x)=2x36x 2+7 2.f(x)= +2x 13. f(x)=sinx , x 4. y=xlnx02课本 P101 练习五回顾总结（1）函数的单调性与导数的关系（2）求解函数 单调区间()yfx（3）证明可导函数 在 内的单调性,ab六布置作业
