《[考研数学]北京航天航空大学线性代数 7-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[考研数学]北京航天航空大学线性代数 7-1（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七章 线性空间与欧氏空间,第一节 线性空间的定义与基本性质,在第三章学习向量空间时, n维向量空间是所有n维向量构成的集合, 其上定义了加法与数乘运算，满足8个运算规律.,同样我们可以验证, 全体mn矩阵构成的集合 对所有mn矩阵的加法与数乘也满足类似的8个运算规律.,当然在n维向量空间与所有mn矩阵构成的集合上的加法与数乘是封闭的运算.,设V是一个非空集合, K是数域, 若满足,定义,(1) 在V中定义了元素之间加法与数乘运算，,对, V, kK, +, k唯一确定且V；,(2) 加法与数乘运算满足以下8条运算规律:, V, k, lK, 在V中存在零元素0，对任意V, 都有, 对任何V,
2、 都有的负元素，使, + 0 = ,则称V是数域K上的一个线性空间, 记作V.,若K是实数域, V称为实线性空间; 若K为复数域, V称为复线性空间.,注,1. 线性空间的元素通常称为向量, 零元素-零向量；负元素-负向量. 但这时元素不能理解为通常意义下的向量.,2. 加法与数乘运算是一种符号运算, 不是通常意义下的加法与数乘.,例1 数域K上的全体mn矩阵关于矩阵的加法及数与矩阵的乘法构成线性空间, 记为Mmn.,例2 实数范围内的次数不超过n的多项式集合, 按照多项式加法与数与多项式的乘法构成一个实线性空间. 记为Pnx.,例3 齐次线性方程组Ax=0的所有解向量组成的集合按照向量的加法
3、与数乘运算构成一个线性空间. 记为Sn.,非齐次线性方程组Ax=b(b0)的解向量集合不构成线性空间.(对向量的加法与数乘不封闭；没有零向量),例4 定义在闭区间a, b上的全体实连续函数, 按照普通函数的加法及数与函数的乘法构成一个实线性空间. 记为Ca, b.,全体正实数的集合记为V，在其中定义加法及数乘运算为：,例5,证明对上述加法与数乘运算构成线性空间.,证,运算封闭.,运算规律：,(1),1是零元素：,a的负元素是,(2),(3),(4),(5),(6),(7),故 V 对于所定义的运算构成线性空间.,(8),线性空间的性质,1. V中零元素是唯一的;,2. V中任意元素的负元素唯一
4、;,3. 0a=0; (1)a= a; k 0=0;,4. ka=0k=0或a=0.,在学习特殊矩阵时, 所有数域K上的nn阶上三角矩阵是全体n阶矩阵的子集. 而上三角矩阵对矩阵的加法与数乘是封闭的, 可以验证满足运算规律, 这样所有数域K上的nn阶上三角矩阵构成一个线性空间, 称为线性空间Mnn的子空间.,例3中齐次线性方程组Ax=0的解向量空间Sn是n维向量空间的子空间.,定义 设L是数域K上的线性空间V的非空子集, 且L对于V中定义的加法与数乘运算也构成一个线性空间, 则称L是V的一个子空间.,例 若V是线性空间, 则V本身也是子空间. 只含有单个零元素的集合也是子空间, 称为V的零(子)空间.,定理 设V是线性空间, V的非空子集L成为V的子空间的充分必要条件是L对于V中定义的加法与数乘两种运算都是封闭的.,
