浅谈概率的交汇性

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1、1浅谈概率的交汇性以能力立意是数学命题的指导思想，在知识网络交汇处设计试题是今后高考的新特点和大方向。与概率交汇的试题正是在这种背景下“闪亮登场” ，频频出现在各类考试题中。概率作为数学知识的综合应用，是中学数学一个重要的交汇点，已经成为联系多项知识内容的媒介，常常与函数及导数、平面向量、线性规划、复数、解析几何、数列、统计、算法、方程等内容交叉渗透，自然地交汇在一起。由于背景新，条件多，因此导致近年来概率题的难度相对来讲比较大，而对与之交汇的其它数学知识和数学思想方法的考查又相当深刻，因而成为近年来各种测试的一个热点问题。鉴于上述情况，下面就采撷几例进行分类解析，以期对大家能有所启发。一、与

2、函数、导数和方程的交汇函数与方程是高考的一个永恒主题，是高中数学的一条主线。将函数、导数和方程与概率问题综合考查，改变了近几年概率统计应用问题考查内涵的单纯性与题型结构的单一性，注重新增知识与传统知识间的整和与交汇，其解决的一般思路是先探求函数和方程的有关问题，再利用相应的概率知识将问题解决例 1、已知函数 ， 是函数 的导数。若 ，Rbaxxf ,213)( )(xf)(xf 1,1ba求函数 在 R 上有零点的概率。)(f分析：函数 在 R 上有零点即要求 有实数根，只需根据一元二次方程有实数根xf 02x的条件得出相应的不等关系，画出相应的符合条件的可行域，利用定积分求出曲线围成的面积，

3、然后借助几何概型求概率即可。解析：由 得 = ，由函数 在 R 上有零点得方程,213)(bxaxf)(fbax2)(xf，即方程 有实数根，只需 ，即 ，若 ，方程0)(xf 0042 1,1ba有实数根的条件为 ， （如图 1） ，条件 的面积为：f )(,412ba)(= ，而条件112)()(4ddaS631,ba的面积为 ，根据几何概型的概率公式可知：方程 有实数根的概率为0)(xf 2413Sp点评：本题是一道涉及函数导数、定积分与零点的几何概型的综合问题，利用定积分求曲线所围成平面图形面积，借助几何概型的概率公式求所要解决的问题，主要考查学生分析问题和解决问题的能力。本题是函数与

4、概率相结合的几何概型问题，这正是新课标高考的体现，为近几年高考命题的趋势，相信在今后的高考中又是一个新亮点，值得大家关注。二、与平面向量的交汇将平面向量问题与概率问题交汇在一起进行考查，是近年命题的一个热点，对这类问题的解决主要考查对向量的概念等有关知识的掌握情况，然后利用相应的概率模型将问题解决。-111-1 O xy图 12例 2、连掷两次骰子得到的点数分别为 和 ，记向量 与向量 的夹角为 ，则mn()mn，a=(1)，b的概率是（ ）A B C D0， 5121271256分析：本题是向量的动态投影问题，主要考查古典概型。题目把投掷骰子问题与平面向量知识融为一体，通过平面向量的数量积的

5、坐标运算及向量夹角的范围，将向量与概率巧妙地结合起来考查了随机事件的概率的相关知识，使问题的情境新颖，令人赏心悦目，潇洒自在。解析：由 ，得 ，显然 有 6 种可能，根据对称性知 0 与0cosba0nm0nnm0 的可能性相同，即各有 15 种可能，因此所求的概率为 .故选 Cnm 12735P点评：本题是向量与概率交汇，试题背景新颖，极富思考性和挑战性，对能力要求极高，需要缜密分析，转化化归。在教学中应当把握一个风向标：单纯的概率统计计算性应用题将逐渐降温，而将平面向量、线性规划、导数、概率统计等知识的交汇以及与其它传统知识的整和应用题已经成为高考数学的一个新的靓点和热点。三、与线性规划的

6、交汇在线性规划中考查概率知识，是典型的数形结合问题，既考查识图的能力，又考查概率知识。这类问题的解决主要是根据平面区域，利用几何概型知识将问题解决。例 3、把一根长度为 6 的铁丝截成任意长度的 3 段，则能构成三角形的概率为（ ）.A. B. C. D. 41214354分析：本题将平面区域问题与概率问题相交汇，要能构成三角形，就必须满足三角形的基本条件，从而利用线性规划，将其转化成几何概率问题求解。解析：设把铁丝分成任意的三段，其中一段为 ，第二段为 ，则第三段为 ，则 ，xyyx606x若要构成三角形（如图 2） ，则必须满足： ，0, 360yxxy记事件 构成三角形，则所求的概率为

7、.A 41)(OEFMNPSA点评：本题将概率与线性规划相融合，利用平面图形的面积求概率，突出对新增内容的考查力度.四、与复数的交汇将复数问题与概率问题交汇在一起考查，是一个大胆的设想，是一种新兴的考题，其主要目的是考查学生对复数有关知识的掌握情况，解题的一般思路是先根据复数中概念，找出相应的条件，进而利用相应的概率模型将问题解决。例 4、设复数 ，将一个骰子连续抛掷两次，第一次得到的点数为 ，第二次得到的Rbaiz, a点数为 ，则使复数 为纯虚数的概率为_.b2分析：将复数与概率相交汇，是一个大胆的设想，重点考查纯虚数应满足的条件，是一道立意较高xyOFEN PM22图 23的新兴考题。解

8、析： ，要使 为纯虚数需 ，又抛掷一个骰子两次共有 36 种不同abiz222zba的结果，而两次点数相同的只有 6 种，故所求概率为 .613点评：本题将复数与概率交汇考查，魅力四射、回味无穷，是今后命题的一个方向。五、与统计的交汇统计与概率问题本身就是一家，但它们之间又有本质的区别，在解题的过程中要体会统计思想与确定性思想的差异，弄清楚统计中的有关概念，再利用相应的概率知识将问题解决。例 5、为了了解中华人民共和国道路交通安全法在中学生中的普及情况，调查部门对某校 6 名学生进行问卷调查，6 人得分情况如下：5，6，7，8，9，10.把这 6 名学生的得分看成一个总体.（1） 求该总体中的

9、平均数.（2） 用简单随机抽样方法从 6 名学生中抽取 2 名，他们组成一个样本，求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率.解析：（1）7.5（2）设 A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5”，从总体中抽取 2 个个体全部可能的基本结果有： ,87106,98,76105,98,756 ），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（ ），（），（ 107,9,98），（共 15 个基本结果，事件 A 包括的基本事件结果有：），（），（ 10共 7 个基本结果.因而 .)9,(8,106,98,5），（），（），（），（），（），（ 15

10、7)(AP点评：统计与概率本就是一体，在教学中要让学生注意体会统计思想与确定性思想的差异，多做一些试验，更好地体会统计思想和概率的含义。六、与解析几何的交汇将解析几何与概率知识相综合是近年命题的一个新题型，在考查解析几何知识的同时，考查概率知识，一箭双雕。在解题过程中应熟悉解析几何中的相关知识，用相应的概率模型来解决问题。例 6、已知抛物线 ，其中 为 2,4,6,8 中任取的一个数， 为 1,3,5,7 中任取一个数，12bxayab从这些抛物线中任意抽取 2 条，它们在与直线 交点处的切线相互平行的概率是（ ）A. B. C. D.160725625分析：这是一道抛物线与概率相交汇的问题，

11、将概率与抛物线的切线相交融，重点在考查古典概型中的计数问题以及两直线平行的充要条件。解析：由题知：当 取 中任何一个数时， 都可以取 ，由树状图可知一共有 16 条抛物a8,42b7,31线，从 16 条抛物线中任选两条一共有 120 种可能，而 的导函数 ，所以抛2bxay baxy物线在 的切线的斜率 ，因为在与直线 交点处的切线相互平行，所以斜率应相等。而1xbkx值只可能为 ，但 的值不可能为 3 和 15；因此，当 时，有ba15,39,7a 52 种可能；当 时，有 3 种可能；当 时，有),4(3 )1,6(4),2( 9ba44 种可能；当 时，有 3 种可能；当 时，有)5,

12、(18),72(3,6 1ba)7,4(8),56( 13ba2 种可能，所以基本事件数为 14 种，所以在与直线 交点处的切线相互平行的概率是1x，故选 B.6014点评：本题将解析几何与概率交汇在一起考查，综合性极强，是一道考查学生综合能力的好题。七、与数列的交汇数列问题是各种测试的一个热点问题，而且常考常新。将数列问题与概率问题交汇在一起进行考查，其综合性较强，在解题过程中应进行仔细的分析，找出相应的数列模型，再利用对应的概率知识将问题解决。例 7、已知 都是定义在 上的函数， ，)(,xgfR,0)(xg()()fgxfx， （ 且 ） ，若 ， ，且 ，在有穷数列)(axf0,1a1

13、,f1b25ba（ ）中，任意取正整数 （ ） ，则前 项和大于 的概率是多少？)(ng,21Lk0k16分析：这是一道将函数、数列、导数、平面向量相交汇的问题，综合性极强，要求考生具有极高的分析转化能力和运算能力，是对学生综合素质的一次检验。解析：由 可知： ，而 ，()()fxfxg()0fxg)()(xgaf ，0 1，又 ， ，且 ，axln a)1,(f)1(,fb25b，即 ， （舍） ， ， = ，数列 的前25)1(gf 222a)(ngfn)(gf项和为 ，可求得 4，记“数列 为事件 A”，则 .kk 165于k 53106)(P点评：本题将函数、导数、数列、不等式、概率等

14、知识交汇在一起，强化考生综合运用所学知识解决问题的能力，试题新颖，构思巧妙，是一道综合性较强的有代表性的训练题。八、与算法的交汇将算法问题与概率问题综合在一起考查是近年随着新课程标准的不断推行而推出的一种新的题型，首先应抓住这两个知识点，读懂流程图的功能，然后利用相应的概率知识将问题解决，是今后命题的一个热点。例 8、在可行域内任取一点，规则如右图的流程图，则能输出数对 的),(ts概率是（ ）A. B. C. D.5436分析：本题以能力为新意，巧妙地将概率、线性规划与算法思想融为一体，考查了考生对基本知识的掌握情况，同时也考查了综合能力。解析：如图，由于正方形的面积 ，而圆2S5.02ts

15、的面积为 ，所以能输出数对是否输出数对(s,t)5.02ts开始给出可行域 1ts在可行域内任取有序数对(s,t)结束yx5的概率是 ，故选 C. ),(ts42P点评：本题立意和情景较新，融概率、算法于一体，体现了概率和算法思想的应用价值，既可考查学生基础知识和逻辑分析能力，又可培养用数学的意识。总之，将各部分知识交汇在一起进行考查是近年各种测试的一个热点，一般其综合性较强，对学生的能力要求比较高，因而在平时的复习课教学中应当加强这方面的训练，以提高他们分析问题和解决问题的能力，从而适应新课程标准的要求。九、与三角函数的交汇例 9、在区间 上随机取一个数 x， 的值介于 0 到 之间的概率为( ).,2cos21A. B. C. D. 31213分析：在区间 上随机取一个数 ,即 时,要使 的值介于 0 到 之间,需使,xcosx21或 ，区间长度为 ，由测度为长度型几何概型易求出结果。2xx解：由题意知 的值要介于 0 到 之间,只需 或 ，而区间