《数学建模考试题(开卷)及答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模考试题(开卷)及答案（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、12010 年上学期 2008 级数学与应用数学，信息与计算科学专业数学建模课程考试供选试题第 1 题4 万亿投资与劳动力就业： 2008 以来，世界性的金融危机席卷全球，给我国的经济发展带来很大的困难。沿海地区许多中小企业纷纷裁员，造成大量的人员失业。据有关资料估计，从 2008 年底，相继有 2000 万人被裁员，其中有 1000 万人是民工。部分民工返乡虽然能够从一定程度上缓解就业压力，但 2009 年的 600 多万毕业大学生给我国就业市场带来巨大压力。但可喜的是，我国有庞大的外汇储备，民间资本实力雄厚，居民储蓄充足。中国还是发展中国家，许多方面的建设还处于落后水平，建设投资的潜力巨大
2、。为保持我国经济快速发展，特别是解决就业问题带来希望，实行政府投资理所当然。在 2009 年两代会上，我国正式通过了 4 万亿的投资计划，目的就是保 GDP 增长，保就业，促和谐。但是有几个问题一直困扰着我们，请你运用数学建模知识加以解决。问题如下：1、GDP 增长 8%，到底能够安排多少人就业？如果要实现充分就业，2009 年的 GDP 到底要增长多少？2、要实现 GDP 增长 8%，4 万亿的投资够不够？如果不够，还需要投资多少？3、不同的产业(或行业)吸纳的劳动力就业能力不同，因此投资的流向会有所不同。请你决策，要实现劳动力就业最大化，4 万亿的投资应该如何分配到不同的产业(或行业)里？
3、4、请你给出相关的政策与建议。第 2 题深洞的估算： 假如你站在洞口且身上仅带着一只具有跑秒功能的计算器，你出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计洞的深度，假定你捡到一块质量是 1KG 的 石头，并准确的测定出听到回声的时间 T=5S，就下面给定情况，分析这一问题，给出相应的数学模型，并估计洞深。1、不计空气阻力；2、受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度成正比，比例系数 k1=0.05；3、受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度的平方成正比，比例系数k2=0.0025；4、在上述三种情况下，如果再考虑回声传回来所需要的时间。第 3 题优秀论文评选： 在某数学建模比赛的评审过程中，组
4、委会需要在一道题目的 150 篇参赛论文中选择 4 篇论文作为特等奖论文。评审小组由 10 名评委组成，包括一名小组组长(出题人)，4 名专业评委(专门从事与题目相关问题研究的评委)，5 名普通评委(从事数学建模的教学和组织工作，参与过数学建模论文的评审)。组委会原先制定的评审步骤如下：step1:首先由普通评委阅读所有 150 篇论文，筛选出 20 篇作为候选论文。Step2:然后由小组内的所有评委阅读这些候选论文，每人选择 4 篇作为推荐的论文。Step3:接着进入讨论阶段，在讨论阶段中每个评委对自己选择的 4 篇论文给出理由，大家进行讨论，每个评委对论文的认识都会受到其他评委观点的影响。
5、Step4:在充分讨论后，大家对这些推荐的论文进行投票，每个评委可以投出 4 票，获得至少 6 票的论文可以直接入选，如果入选的论文不足，对剩余的论文(从 20 篇候选论文中除去已经入选的论文)重复 step2 至 step4 步的评审工作。如果三轮讨论后入选的论文仍然不够，则由评选小组组长确定剩下名额的归属。2如果有超过 4 篇的论文获得了至少 6 票，则由评选小组组长确定最终的名额归属。问题:1、请建立数学模型定量地讨论上面的评审规则的公平性。2、假设小组组长、专业评委、普通评委受超过半数人的观点影响的概率分别为0.3，0.4，0.6。组委会希望给每个评委的投票设置一定的权重，应该如何设置
6、才最合理，用数学模型支持你的观点。第 4 题送货问题： 某地区有 8 个公司(如图一编号至)，某天某货运公司要派车将各公司所需的三种原材料 A,B,C 从某港口(编号)分别运往各个公司。路线是唯一的双向道路(如图)。货运公司现有一种载重 6 吨的运输车，派车有固定成本 20 元/辆，从港口出车有固定成本为 10 元/车次(车辆每出动一次为一车次)。每辆车平均需要用 15 分钟的时间装车，到每个公司卸车时间平均为 10 分钟，运输车平均速度为 60 公里小时(不考虑塞车现象)，每日工作不超过 8 小时。运输车载重运费 1.8 元/吨公里，运输车空载费用 0.4 元/公里。一个单位的原材料 A,B
7、,C 分别毛重 4 吨、3 吨、1 吨，原材料不能拆分，为了安全，大小件同车时必须小件在上，大件在下。卸货时必须先卸小件，而且不允许卸下来的材料再装上车，另外必须要满足各公司当天的需求量(见表)。 问题：1、货运公司派出运输车 6 辆，每辆车从港口出发(不定方向)后运输途中不允许掉头，应如何调度(每辆车的运载方案，运输成本)使得运费最小。2、每辆车在运输途中可随时掉头，若要使得成本最小，货运公司怎么安排车辆数？应如何调度？3、(1)如果有载重量为 4 吨、6 吨、8 吨三种运输车，载重运费都是 1.8 元/吨公里，空载费用分别为 0.2，0.4，0.7 元/公里，其他费用一样，又如何安排车辆数
8、和调度方案？(2)当各个公司间都有或者部分有道路直接相通时，分析运输调度的难度所在，给出你的解决问题的想法(可结合实际情况深入分析)。图唯一的运输路线图和里程数公司材料 A 4 1 2 3 1 0 2 5B 1 5 0 1 2 4 2 3C 5 2 4 2 4 3 5 1表各公司所需要的货物量第 5 题生产与存贮问题： 一个生产项目，在一定时期内,增大生产量可以降低成本费,但如果超过市场的需求量,就会因积压增加存贮费而造成损失。相反,如果减少生产量,虽然可以降低存3贮费,但又会增加生产的成本费,同样会造成损失。因此,如何正确地制定生产计划,使得在一定时期内,生产的成本费与库存费之和最小,这是厂
9、家最关心的优化指标，这就是生产与存贮问题。假设某车间每月底都要供应总装车间一定数量的部件。但由于生产条件的变化,该车间每月生产单位部件所耗费的工时不同,每月的生产量除供本月需要外,剩余部分可存入仓库备用。今已知半年内,各月份的需求量及生产该部件每单位数所需工时数如下所示:月份( k)： 1 2 3 4 5 6月需求量(bk)： 8 5 3 2 7 4单位工时(ak)： 11 18 13 17 20 10设库存容量 H = 9,开始时库存量为 2,期终库存量为 0。要求制定一个半年逐月生产计划,使得既满足需求和库存容量的限制,又使得总耗费工时数最少。解：S：总耗费工时。a(n):月耗工时。H（n
10、）：月库存量。Y（n）:月生产量。B（n）：月需求量。Q：总成本费。W：总存贮费。M:总费用。由保证需求量及库存容量的约束条件下，我们可以得到以下的约束条件，转换成数学模型。H1=Y1+2-8 0 0；5 符号说明：q：以各餐饮市场上的价格作为这里的成本价，即食物的成本价；p：食物所卖的价格；a：绝对需求( p 很小时的需求) ，即价格最低时的购买人数；b：价格上升 1 元时购买人数的下降幅度（需求对价格的敏感度） ；I：收入；U：利润；C ：支出；x：需要购买某食物的人数；相应的下标 1，2，3 分别表示早餐，盒饭，方便面;例如：x1, x2, x3 分别表示购买盒饭，方便面，早餐的人数；6
11、 模型建立与求解：采用先统一再分开的算法；收入 I ( p ) = px; 支出 C ( p ) = qx; 利润 U ( p ) = I ( p ) C ( p ); 求 p 使 U ( p ) 最大；使利润 U(p)最大的最优价格 p*满足U ( p ) = I ( p ) C ( p )= (p q )( a bp) = -bpp + ( a + bq)p - aq因为 q / 2 成本的一半；b 价格上升 1 单位时销量的下降幅度（需求对价格的敏感度）b p* a 绝对需求( p 很小时的需求) a p* 7 对于盒饭：由假设可知：q1 = 10, b1 = 20；因为 500 人有在
12、车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给 200 人；所以：a1 = 500; 购买人数 x1 = 500 20p1;由 p* = q / 2 + a / 2 * b 可得：p* = q1 / 2 + a1 / 2 * b1 = 10 / 2 + 500 / 2 * 20 = 17.5;由 500 20 * 17.5 = 150 = 200 得到 p1 = 100;得到 p2 1。这样，就存在两个问题：第一，商家应如何根据商品的实际价值（或保本价）b 来确定其价格 a 才较为合理？第二，购物者根据商品定价，应如何与商家讨价还价？第一个问题，国家关于零售商品定价有相关规定，但在个体商家实际定价中，
13、常用黄金数方法，即按实际价 b 定出的价格 a，使 b:a 0.618。虽然商品价值 b 位于商品价格 a 的黄金分割点上，考虑到消费者讨价还价，应该说，这样定价还是较为合理的。对消费者来说，如何讨价还价才算合理呢？一种常见的方法是对半还价法：消费者第一次减去定价的一半，商家第一次讨价则加上二者差价的一半；消费者第二次还价要减去二者差价的一半；如此等等。直至达到双方都能接受的价格为止。有人以为，这样讨价还价的结果其理想的最终价格将是原定价的黄金分割点。是这样的吗？试进行定量分析，并给出结果。第 15 题铅球运动员成绩：众所周知，铅球的投掷运动是运动员单手托住 7.264kg(16 磅) 重的铅
14、球在直径为 2.135m 的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为 45o 的有效扇形区域内。以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。12在铅球的训练和比赛中，铅球投掷距离的远与近是人们最关心的问题。而对于教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球掷得最远。影响铅球投掷远度的因素有哪些？建立一个数学模型，将预测的投掷距离表示为初始速度和出手角度的函数。最优的出手角度是什么？如果在采用你所建议的出手角度时，该运动员不能使初始速度达到最大，那么他应该更关心出手角度还是出手速度？应该怎样折中？哪些是影响远度的主要因素？在平时训练中，应该更注意哪些方面的训
15、练？试通过组建数学模型对上述问题进行分析，给教练和运动员以理论指导。参考数据资料如下：表 1 李素梅与斯卢皮亚内克铅球投掷成绩姓名 出手速度 )/(smv出手高度 )(h出手角度 )(o实测成绩李梅素 13.75 1.90 37.60 20.95李梅素 13.52 2.00 38.69 20.30斯卢皮亚内克13.77 2.06 40.00 21.41表 2 我国优秀运动员的铅球投掷数据姓名 成绩 s(m) 出手速度 )/(smv出手角度 )(o出手高度 )(mh李梅素 19.40 13.16 40.27 2.02李梅素 20.30 13.51 38.69 2.00黄志红 20.76 13.5
16、8 37.75 2.02隋新梅 21.66 13.95 39.00 2.04李梅素 21.76 14.08 35.13 1.9513第 16 题宠物狗销售： 背景：一家宠物店卖小狗。这家店每天需要在每只小狗身上花费 10 元钱，因此宠物店不想在店里存储太多的小狗。通过调查研究，在给定的天数 x 内，所卖出的小狗的数量服从泊松分布( =0.1)。宠物店每十天平均能卖出一只小狗，而每卖出一只小狗的利润是 20 元。当一个顾客来到宠物店里时，如果店里没有宠物卖，那么该顾客就会到别的宠物店去。如果宠物店预定小狗的话,则所预定的小狗需要到 6 天后才能到店里。现在该宠物店正在考虑一种预定小狗的最好策略。策略 A：每卖出一只小狗，宠物店就新预定一只。这个策略意味着每次店里只有一个小狗，因此宠物
