《压缩映象原理及其应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《压缩映象原理及其应用（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六节 压缩映象原理及其应用本节作为完备度量空间何重要特征，我们介绍 Banach 压缩映象原理，它在许多关于存在唯一性的定理证明中是一个有力的工具。随着现代电子计算机技术的发展，我们在解方程（包括常微分方程、偏微分方程、积分方程、差分方程、代数方程等）的过程中，大量使用的是逐次逼近的迭代法。几乎可以这样说：对一个方程，只要我们找到一个迭代公式，就算解出了这个方程（当然我们还要考虑迭代公式的收敛性、解的稳定性和收敛速度等问题） 。但是，在逐次迭代中，我们必须保证迭代过程中得到的是个收敛序列，否则就是毫无意义的了。而选代法解方程的实质就是寻求变换（映射、映照）的不动点。例如求方程f(x)=0 的
2、根，我们可令 g(x)=x-f(x)，则求 f(x)=0 的根就变成求 g(x)的不动点，即求 0x,使 0xg.而在通常求映射的不动点的方法中，最简单的就是下面我们所讲的-Banach 压缩映象定理。定义（压缩映象）设 T 是度量空间 X 到 X 中的映照，如果对 Xyx,都有yxd,（ 10是常数）则称 T 是 X 上的一个压缩映照。从几何上说：压缩映照即点 x 和 y 经过映照 T 后，它们的像的距离缩短了（不超过 d(x,y)的 倍）定理 1（Banach 压缩映照原理）1922 年（Banach 1892-1945 波兰数学家）设（X,d）是一个完备度量空间，T 是 X 上的一个压缩
3、映照，则丅有唯一的不动点。即 的 x使 .xT证：任取 ,0Xx令 ,., 11201 nT（此即解方程的逐次迭代法）先证 n是 Cauchy 点列 先考虑相邻两点的距离01212111 ,., xdxdxdTxdxd mmmmm Q再考虑任意两点的距离当 nm 时nmmmn xdxdxxd ,., 1211 000= 1,.n= ,1001 mn xdxdnx是 Cauchy 点列XQ是完备度量空间, X使 n下证 x 为不动点TxdxTxdTd nnnn , 101 再证不动点唯一若还有 Xx,使 x则 ,dTd因 1必须 0,注:定理条件(a)X 完备,(b) 1缺一不可，反例如下(a)
4、若 X 不完备,则定理不成立例如:令 X=(0,1),用欧氏距离, xT2则 ydyxTdyx ,21, 但不动点 X0(b) 1定理不成立例如:令 X=R 用欧氏距离 1x则 ydTyxdyx, 但显然 T 无不动点。若将空间 X 条件加强为紧距空间，则压缩因子 条件可放宽为 1，即可改为 x,限于我们的学时，我们只介绍一下 Banach 压缩映象原理的简单应用。定理 2（隐函数存在定理）设 yxfu,在带状区域 ybxayD,:, 上处处连续，处处有关于 y 的偏导数 xf,且如果存在常数 m,M，适合Mfmy,0.则方程 f 0,在闭区间 ,上有唯一的连续函数 x,使 ,xf。证：（在
5、Cba中考虑映照 xfMT,1，若其为压缩映照，则有不动点 xfT,0）在完备度量空间 ba中作映照 f,显然,对ba由连续函数的运算性质有 CbaT。T是 到自身的一个映照下证是压缩的.即证 10, 212121 badTd ,任取Cba21,由微分中值定理,存在 0,使xfMxfT11221 ,1221, fymx2令 Mm1则 10,故 1212T 取最大值 0,2 dTd 映照 T 是压缩的.由 Banach 压缩映象定理在 Cba上有唯一的不动点 x使 显然这个不动点适合 ,f注： 注意本定理的证明思路：先确定空间，再找映照（这是难点）,然后证明此映照是压缩的，最后利用定理即得。注意
6、到这是利用 Banach 压缩映照定理解题的一般方法。 此隐函数存在定理给出的条件强于数学分析中隐函数存在定理所给出的条件，因而得出的结论也强些：此处得出区间上的连续隐函数 yx.下面我们介绍 Banach 不动点定理在常微分方程解的存在唯一性定理中的应用-Picard 定理.定理 3：（Picard 定理 Cauchy-Peano 微分方程解的存在唯一性定理）（Picard 法国人 18561941 Peano 意大利人 1858-1932）设 xtf,在矩形 bxatxtR00,:, 上连续,设RxtMtf,又 xtf,在 R 上关于 x 満足Lipschitz（德国人 1832-1903
7、）条件,即存在常数 k 使对 t21,有 2121,ktftf ,那么方程xfdt在区间 0,tJ上有唯一的满足初始条件0的连续函数解.其中 kMba,min证：设 ttC表示在区间 0,t上的连续函数全体。对 tyxJtyxdma,成完备度量空间。又令 C表示 0tt中满足条件 JM0的连续函数全体所成的子空间。显然 C闭,因而 也是完备度量空间.令 dxftTxt0,bMQ如果 Ct当 Jt时, Rtx而 tf,是 R 上的二元连续函数, 映照中积分有意义。又对一切 bMtdfxtTJt 000,tTx故 T 是 到 的一个映照下证是压缩的。由 Lipschitz 条件,对 C中的任意两点
8、 tvx,有 dvfxfTvxt0 ,t0,vxktvxJtkt ,ma令 k,则由 Mb1,in有 10.则 vxdTxJtTvxd,a故 T 是压缩的。由 Banach 压缩映象定理,T 在 C中有唯一的不动点.即 Ctx使 tx即 dft0,且 0xtxtfd, 即 t是满足初值条件的连续解。再证唯一性。如果 tx也是 xtfd, 满足 0xt的连续解.那么 dt0,因而 C 而且也是 T 的不动点.而 T 的不动点是唯一的.故 txfdt,有唯一解。注：题设条件中 Lipschitz 条件的要求是十分强的，它保证了解的唯一性。实际上満足 Lipschtz 条件即为一致收敛。因而可在积分
9、号下求导，如果把解的要求降低，例如只要求广义解，即只要求满足积分方程 dxftxt0,则题设条件可大大放宽：只要 f,有界,即可利用Lebesgue 控制收敛定理得到广义解。注意到 Banach 压缩映照定理不仅证明了方程的解的存在唯一性，而且也提供了求解的方法-逐次逼近法：即只要任取 ,0Xx令 0xTn 则解 nxlim.且在 Banach 不动点定理的证明中,有 01,ddnn.即此式给出了用 nx逼近解 x的误差估计式。补充：Brouwer 不动点是定理与 Schauder 不动点定理简介鉴于不动点理论在现代数学中非常重要的地位，以及不动点理论是现代泛函分析中一个十分活跃的重要分支，下
10、面我们简单介绍 Brouwer 不动点定理和 Schauder 不动点定理及其简单应用。一、Brouwer 不动点定理及其应用：（一）Brouwer 不动点定理（Brouwer：荷兰人 1881-1966）定义（凸集）：X 为一集, XA若 AyxAyx1,0, 则称 A 为X 的凸子集。定理 1（Brouwer 不动点定理）：设 nR为 n的有界闭凸集， f:连续,则 x* 使*xf.证：1、若 1A 证明如下：不妨设 1,0A作辅助函数 xfg 显然 xg在 上连续.从而变成证明 ,0*使 *即可.显然: 0f否则 f 则 0 为 f 之不动点; 1否则 1则 1 为 f 之不动点:(证毕
11、)由连续函数的介值性定理的推论：根的存在定理可得 ,*x使 *0*xfxg 证毕。2、若 nRA,其证明方法很多，其中纯分析方法的证明要用到场论中旋度的概念，且很繁，而简洁的证明要用到拓扑学中映象度理论，因而希望对此有兴趣的同学可参阅张石生不动点定理及其应用,或一般常微分方程教材的附录。3、注意到 Brouwer 不动点定理中的条件是不可缺少的，但某些条件可以减弱。下面我们讨论 Brouwer 不动点定理的应用。（二）证明代数基本定理：代数基本定理：复系数一元 n 次方程 nnnazazf .21至少有一个复根。证：令 naa.221作辅助函数 11zfzeFni考虑闭圆盘： c:显然 c 为
12、有界闭凸集，且 F连续（只要考虑 z=1 连续即可，而这是显然的。 ） 。下证 z将 c 映入 c:当 1z时 zfezfzFin21.1na当 1z时 11.nzz112.nnnaza12.nzazzQna1= 2zF将 c 映入 c. 由 Brouwer 不动点定理*使 *z 使 0f 证毕（三）证明 Perrou 定理：Perrou 定理：矩阵 nijaA nxxajnij ,.210,.021* 使 *x.即：正矩阵一定存在正特征值和特征向量。证：设 nnaA.11,令 niinn xxRs 11 ,.20:为标准单纯形，则 01ijjix.作映照 nijjiaxf1显然为连续映照.下
13、面先证 f将 s 映入 1ns.注意到 0.111njjinjjijjxaxaA.则 sfsx 由 Brouwer 不动点定理1*nsx使 *xf 即 *1*xaAnijji.令 01*ijjia则有 *x.下证 *x 的每个分量 *jx 严挌大于零.由 *A 的第 i 个分量方程为*1injjixa.,200*1 xxainjji Q正矩阵一定存在正特征值 和特征向量 *x。（四）Rother 证明定理：Brouwer 定理条件可以减弱，作为 Brouwer 不动点定理的推广，下面我们证明 Rother 定理。Rother 定理： 1:xRBnn为单位球， f在 nB 上连续,且当 1x时, nBf*,使 *xf. xd证：作辅助函数 nyyg1则 yg 连续,且 .作 xfF,则 F 在 nB上连续,且将 nB映入 n.由 Brouwer 不动点定理,F 有不动点.即 nB*,使得 *xfg.下证此 x为 f之不动点.若 ;1* ff若 先用反证法证明 1x.若 1*xf,则 1* xfgxffgx矛盾, 1.从而 .*ffg故 f 有不动点 *. 证毕Brouwer 不动点定理有着十分广泛的应用，由于时间关系，我们就不再多谈。对此有兴趣的同学可参阅张石生不动点理论及其应用
