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1、1双曲线及其标准方程王 彪 2009 年 12 月一、教学目标：1.掌握双曲线的定义；2.推导双曲线的标准方程；3.掌握两类标准方程，会求双曲线的方程；二、教学重点：双曲线的定义及应用三、教学难点：（1）推导双曲线的方程；（2）双曲线方程的应用与求解四、教学过程：教学过程 设计意图一、复习与回顾1. 复习椭圆的定义（注意定义中 这一条件） ；ca22. 椭圆的标准方程及 、 、 之间的关系b或 （ ）12byax12xay22cba焦点 )0,(c),0(c回顾旧知识，为双曲线内容的学习作准备二、双曲线的定义1. 利用多媒体演示拉链实验，让学生自己总结出双曲线的定义；2. 要注意双曲线定义的条
2、件、绝对值；3. 要注意对 ； ， 及 等情况ca2ca20的讨论；注意：在 条件下：|021F时为双曲线的一支（含 的一支） ；aPF|212F时为双曲线的另一支(含 的一支）|121当 时， 表示两条射线.|2 aPF|21当 时， 不表示任何图形.|1a|两定点 、 叫做双曲线的焦点， 叫做焦距.12 |21F让学生对照椭圆的定义，自主得出双曲线的定义，并讨论条件发生改变时，方程所表示的曲线，为双曲线标准方程的推导做准备2三、双曲线标准方程的推导标准方程的推导：取过焦点 的直线为 轴，线段 的垂直平分21Fx21F线为 轴。设 为双曲线上的任意一点，双曲线的y),(yP焦距是 .则： 、
3、 ，又设 与c0)0,(1c),(2M距离之差的绝对值等于 常数） 21Fa， P2121)(ycxPFQ、，ycxycx2)()(2化简，得： ，由定义)(22aca令 代入，得：ca20c2b，两边同除 得： ，此2bayxb2a12yx即为双曲线的标准方程。它所表示的双曲线的焦点在 轴上，焦点是 、 ，其中)0,(1cF),(2 22bc若坐标系的选取不同，可得到双曲线的不同的方程：若焦点在 轴上，则焦点是 、 ，将 、y),0(1),(2Fx互换，得到 ，也是双曲线的标准方程.2bxa让学生熟悉推导曲线方程的一般过程，同时培养学生自主运算、化简的能力；通过亲身推导双曲线的方程，深刻体会
4、双曲线中、 、ab之间的关c系，能够与椭圆中、 、之间的关c系区别开来四、双曲线标准方程例 1判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出其焦点的坐标. 24yx12yx 13694通过练习使学生能够判断所给出的方程是否表示双曲线，并判断出3的应用焦点所在坐标轴四、双曲线标准方程的应用变式训练一、如果方程 表示双曲线，求122myx的取值范围。m变式训练二、如果方程 表示双曲线，求122y取值范围。变式训练三、如果方程 表示焦点在 上的|22myxy双曲线时，求 的取值范围与焦点坐标。通过变式训练，让学生深刻体会到双曲线方程的本质及与椭圆方程的区别五、双曲线标准方程与定义应用例题 2、已知两定点为
5、，曲线 上一点)0,5(,(21FC到 的距离的差的绝对值等于 6，求曲线 的标准P1,F方程.练习：4.已知 是椭圆 的两个焦点，平面内一21, 1342yx个动点 满足 ，则动点 的轨迹是（ M|21FM）A.双曲线 B. 双曲线的一个分支 C.两条射线 D.一条射线5.过双曲线 左焦点 的直线交双曲线的左支1342yx1F于 、 两点， 为其右焦点，则MN2 |22NFM_| 通过本例题使学生掌握用定义法求解双曲线的方程，两个练习主要是针对双曲线定义的应用来设置的，让学生进一步理解双曲线的定义，并能够灵活应用六、求 例题 3、 一边的两个端点是 和 ，另ABC)6,0(B),(C进一步强
6、化曲线方程的求解，4解双曲线的方程两边所在直线的斜率之积是 ，求顶点 的轨迹.94A练习：已知动圆 过定点 与圆M)0,5(2F内切，求动圆圆心 的轨迹方程.36)5(:21yxFM同时应该注意指出本例中的常数若为 ，则轨94迹为椭圆七、走向高考1. 若双曲线 上的点 P 到点（5，0）的距离是196215，则点 P 到点（5，0）的距离是( ).或.或2. 若椭圆 和双曲线)0(12nmyx有相同的焦点 ，点 P 为椭圆)0(12bayx 21F、与双曲线的公共点，则 等于（ ） 21P. . . .am)(2aama3. 设 是双曲线 的两个焦点，点 在双21,F1692yxP曲线上，且 ，求 的面积_021P21PF4. 设 分别是双曲线 的左、右焦点若21, 92yx点 在双曲线上，且 ，则 （ P021P|21P） A B C D100255机动处理，旨在加深学生对双曲线定义的理解与应用；以高考的标准来检测本节课的学习效果八、小1. 小结 （1）双曲线的定义；（2）双曲线的标准方程；回顾本节课的内容；5结与作业（3）双曲线标准方程与定义的应用2.作业：同步导学 P42-43布置作业，巩固学习效果
