《一阶常微分方程解的存在唯一性定理与逐步逼近法(20101022)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一阶常微分方程解的存在唯一性定理与逐步逼近法(20101022)（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、常微分方程教程 第三章 信计 09 级1一阶常微分方程解的存在唯一性定理与逐步逼近法 3.1.1 存在唯一性定理 1）首先考虑导数已解出的一阶微分方程 (3.1.1.1) 这里 是在矩形域 (3.1.1.2)上的连续函数。 定义 1 如果存在常数 ，使得不等式 对于所有都成立，则函数 称为在 上关于 满足利普希茨（Lipschitz）条件， 称为利普希茨常数。 定理 3.1 如果 在 上连续且关于 满足利普希茨条件， 则方程(3.1.1.1)存在唯一的解 ，定义于区间 上，连续且满足初始条件 (3.1.1.3) 这里 ， 。 我们采用皮卡（Picard）的逐步逼近法来证明这个定理。 为简单起见
2、，只就区间来讨论，对于 的讨论完全一样。 现在简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想。首先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程 的连续解。然后去证明积分方程的解的存在唯一性。 任取一个连续函数 代入上面积分方程右端的 ,就得到函数，显然 也是连续函数， 如果 ,那末 就是积分方程的解。常微分方程教程 第三章 信计 09 级2否则,我们又把 代入积分方程右端的 ，得到 ，如果 ，那末 就是积分方程的解。否则我们继续这个步骤。一般地作函数(3.1.1.4) 这样就得到连续函数序列： ， ， ，.如果 ，那末 就是积分方程的解。如果始终不发生这种情况，我们可以证明上面的函数序列有一个极
3、限函数 ，即存在，因而对(3.1.1.4)取极限时，就得到 即 ，这就是说 是积分方程的解。这种一步一步地求出方程的解的方法就称为逐步逼近法。由(3.1.1.4)确定的函数 称为初值问题(3.1.1.1)、(3.1.1.3)的第 次近似解。在定理的假设条件下，以上的步骤是可以实现的。下面我们分五个命题来证明定理 1。 常微分方程教程 第三章 信计 09 级3命题 1 设 是方程(3.1.1.1)的定义于区间 上，满足初始条件(3.1.1.3)的解，则 是积分方程 (3.1.1.5) 的定义于 上的连续解。反之亦然。 证明 因为 是方程(3.1.1.1)的解，故有 ，两边从 到取定积分得到 把(
4、3.1.1.3)代入上式，即有 因此， 是(3.1.1.5) 的定义于 上的连续解。 反之，如果 是(3.1.1.5) 的连续解，则有 (3.1.1.6) 微分之，得到 ，又把 代入（3.1.1.6），得到 。 因此， 是方程(3.1.1.1)的定义于 上，且满足初始条件(3.1.1.3) 的解。命题 1 证毕。 现在取 ，构造皮卡逐步逼近函数序列如下： (3.1.1.7) 命题 2 对于所有的 ，(3.1.1.7)中函数 在 上有定义、连续且满足不等式 (3.1.1.8) 。 常微分方程教程 第三章 信计 09 级4证明 当 时， 。显然 在 上有定义、连续且有 即命题 2 当 时成立。现在
5、我们用数学归纳法证明对于任何正整数 ，命题 2 都成立。为此，设命题 2 当 时成立，也即 在 上有定义、连续且满足不等式 ,这时, 由假设,命题 2 当 成立,知道 在 上有定义、连续且有即命题 2 当 时也成立。由数学归纳法得知命题 2 对于所有 均成立。命题 2 证毕。 命题 3 函数序列 在 上是一致收敛的。 证明 考虑级数 (3.1.1.9) 它的部分和为 因此，要证明函数序列在 上是一致收敛，只须证明级数(3.1.1.9)在上一致收敛。为此，我们进行如下的估计。由(3.1.1.7)有 (3.1.1.10) 及 利用利普希茨条件及(3.1.1.10)，得到 常微分方程教程 第三章 信
6、计 09 级5设对于正整数 ，不等式 成立，则由利普希茨条件，当 时，有于是，由数学归纳法得知，对于所有的正整数 ，有如下估计(3.1.1.11) 从而可知，当 时， (3.1.1.12) (3.1.1.12) 的右端是正项收敛级数 的一般项。由维尔斯特拉斯 (Weietstrass)判别法（简称维氏判别法），级数(3.1.1.9)在 上一致收敛，因而序列也在 上一致收敛。 命题 3 证毕。 现设 则 也在 上连续，且由(3.1.1.8)又可知。 命题 4 是积分方程(3.1.1.5)的定义于 上的连续解。 证明 由利普希茨条件 ，以及 在上一致收敛于 ，即知序列 在常微分方程教程 第三章 信
7、计 09 级6上一致收敛于 。因而，对(3.1.1.7)两边取极限，得到 即 ， 这就是说， 是积分方程(3.1.1.5)的定义于 上的连续解。 命题 4 证毕。命题 5 设 是积分方程(3.1.1.5)的定义于 上的一个连续解，则， 。 证明 我们首先证明 也是序列 的一致收敛极限函数。为此，从， ， 我们可以进行如下估计 现设 ，则有故由数学归纳法得知，对于所有的正整数 ，有下面的估计式 (3.1.1.13) 常微分方程教程 第三章 信计 09 级7因此，在 上有 (3.1.1.14) 是收敛级数的公项，故 时 。 因而 在 上一致收敛于 。 根据极限的唯一性，即得 。 命题 5 证毕。
8、综合命题 15，即得到存在唯一性定理的证明。 存在唯一性定理 如果 在 上连续且关于 满足利普希茨条件，则方程(3.1.1.1)存在唯一的解 ，定义于区间 上，连续且满足初始条件 (3.1.1.3) 这里 ， 。 图(3.1) 常微分方程教程 第三章 信计 09 级8附注 1 存在唯一性定理中数 的几何意义（参看图(3.1):这里 ,定理证明方程(3.1.1.1)的过点 的积分曲线 在区间 上确定。因为积分曲线的切线斜率介于直线 和 的斜率 与 之间。所以，当 时，积分曲线上的点 的纵坐标满足不等式 = 也就是说，积分曲线弧夹在域 及 的内部，当然，也就不超出矩形 。命题 2中所有函数 都可在
9、 上确定,它的图形都夹在域 的内部， 自然， 它的极限图形即积分曲线 也不超出域 的范围。 附注 2 由于利普希茨条件比较难于检验，常用 在 上有对 的连续偏导数来代替。事实上，如果在 上 存在且连续，则 在 上有界。设在 上 ，这时 这里 ， ， 。但反过来满足利普希茨条件的函数 不一定有偏导数存在。例如，函数在任何区域都满足利普希茨条件，但它在 处没有导数。 附注 3 设方程(3.1.1.1)是线性的，即方程为 (2.2.1)那么容易知道，当 在区间 上为连续时，定理 1 的条件就能满足。 不仅如此，这时由任一初值 ， 所确定的解在整个区间 上都有定义。 常微分方程教程 第三章 信计 09
10、 级9事实上，对于一般方程(3.1.1.1)，由初始值所确定的解只能定义在 上，这是因为在构造逐步逼近函数序列 时，要求它不越出原来的矩形区域 。而现在,右端函数对 没有任何限制，为了证明我们的结论，譬如取 ，而逐字重复定理的证明过程，即可证由(3.1.1.7)所作出的函数序列 在整个区间 上都有定义和一致收敛。 2）现在考虑一阶隐方程 (3.1.1.17) 根据隐函数存在定理，若于 的某一领域内 连续，且 ，而 ，则必可把 唯一地表为 的连续函数 (3.1.1.18) 并且于 的某一邻域内连续，且满足 。 更进一步，如果 关于所有变元存在连续偏导数，则 对 也存在连续偏导数，并且 (3.1.1.19)显然它是有界的。于是依定理 1，纺车功能(3.1.1.18) 满足初始条件 的解存在且唯一，即方程(3.1.1.17)的过点 且切线斜率为的积分曲线存在且唯一。这样就得到下面定理。 定理 2 如果在点 的某一领域中： 对所有变元 连续，且存在连续偏导数； ； 则方程(3.1.1.17)存在唯一解 （ 为足够小的正数） 常微分方程教程 第三章 信计 09 级10满足初始条件 ， (3.1.1.20)
