世界上第一个求素数公式

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1、1 0世界上第一个求素数公式李君池摘要：人们一直认为：在正整数中，素数看起来是以一种随机的方式出现的，很难用一个统一的公式求出来。虽然，人们作了大量的努力和尝试，但至今还是没有找到一个易为计算的素数公式来。有人甚至哀叹：“我们至少还需要一百万年才能完全了解素数” 。这种哀叹虽然有点过分和夸张，但求素数的公式几百年都没有出现，可见其难度之大。而本文所给出的求素数公式，即简洁又完整，它包括两个方面的内容：一可以统计出 n 至 T 之间（T 为有限大的自然数，nT）所有素数的个数，二可以毫无遗漏地写出 n 至 T 之间所有素数的数值。关键词： 自然数 圆形排列图 n 与 T 之间 素数个数 素数数值

2、 1.自然数圆形排列图关于求素数公式，人们有着这样的期待：1、这个公式必须是“一种能够仅产生素数的公式” ；2、 “这个公式能够一个不漏地产生所有的素数” ；3、 “对每个输入的值，此公式产生的结果都是素数” ；4、 “输入的值是自然数集（或整数集及其它可数集） ”；5、这个公式还必须是“易于计算且符合上述条件的” 。以上这五条要求是紧密联系的、完整的、不可分割的，离开了其中的一条，则不符合人们所期盼的要求。如何找到这样一个好的求素数公式，本文所采用的方法是：将所有的自然数按逆时针方向排列成一个“自然数的圆形排列图” （参见下一页中的图形。1处在圆心位置，图中没有显示） 。在这个排列图中，最里

3、圈的是偶素数 2，向外分别是第一圈、第二圈、.第 f 圈。第一圈里有三个数，它们是 3、4、5，其中素数有 3 和 5；第二圈有六个数，它们是 6、7、8、9、10、11，其中素数有 7 和 11；第三圈、第四圈.，以后每一圈里自然数的个数是前一圈的 2 倍，它们中的素数个数是怎样的呢？我们把“自然数圆形排列图”中的数据一圈一圈地分开来计算： （1）设第三圈的第一个数 12 为 n，第四圈的第一个数 24 为 2n，则第三圈中自然数的个数为 12 个（不包括第四圈的 24） ，那么，第三圈中素数的个数可以这样求得：，式中 124（ ） 表示 12 至 24 之间素数(24)1/2(35;7)的

4、个数， 表示在 12 至 24 之间共有 6 个奇数， ）（ 73,5表示在 12 至 24之间共有 15 和 21 两个奇合数，这样可以得到：6 个奇数个奇合数个奇素数，即 12 至 24 之间共有 4 个素数，它们是：13、17、19、23。这里的 35和 7是如何得到的呢？很显然， 15 和 21 这两个奇合数在 12与 24 之间，如果缩小 33=9 或者增大 55=25，则都超出了 12 24 的范围，1 1是不可取的，这就是问题的核心和关键。 （2）同理，第四圈中素数的个数可以这样求得： 248=39,13,5,7=（ ） （ ， ； ） -6.即第四圈中素数的个数为 6 个，它们

5、是 29、31、37、41、43、47。仿此，第五圈中素数的个数可以这样求得： ;31,2973,52,139,17(248)96( 51,35=， ， ； ） - 。即第五圈中素数的个数为 9 个，它们是：53、59、61、67、71、73、79、83、89。自然数圆形排列图 同样，第六圈中素数的个数可以这样求得：1 29612=3,5.3625,.37;（ ） （ ， ， ； ， ，7,.1,17=； ； ） 48-9为了让读者更直观地看到统计的过程，下面将省略的部分再补充完整，请读者检验。 9612=3,53,4,35,4739,（ ） （ ， ， ， ，35,5,79612521， ；

6、 ， ， ，,7795， ； ， ， ， ， ； ， ， ，91721331=， ， ； ， ； ） 48-.式中划横线部分为重复的乘积结果，统计时已经删去。即第六圈中素数的个数为 19 个，它们是：97、101、103、107、109、113、127、131、137、139、149、151、157、163、167、173、179、181、191.2.求 n 与 2n 之间素数个数及数值的公式为了不失一般性，我们将以上方法用公式总结如下，这样，就得到了“求 n与 2n 之间素数个数的公式”和“求 n 与 2n 之间的所有素数数值公式”：公式 1：求 n 与 2n 之间素数个数的公式：2=3;5

7、;7;.).jklsabcpq（ ） （说明： 1、式中 pq， 2sn。 2、式中 j、.、 spq仅表示统计乘积的个数，与该数字的乘积大小无关，只要是乘积结果在 n 与 2n 的范围之内即符合要求。3、式中乘积结果不允许出现重复现象，凡是出现重复的只保留一个。4、当 n 为奇数时，取 n 减 1，使之成为偶数。公式 2：求 n 与 2n 之间的所有素数数值公式： ).;.7;5;3)2()( slkj qpcba（之 间 的 奇 数之 间 的 素 数说明：1、当 n 确定之后， “ 之间的奇数”为已知，共有 个 。()n2n2、 表示 之间的所有奇合数；3;5;7;.jklsabcpq（

8、(2)n这一点，它和公式 1 中所表达的实际意义既有联系，又有区别。3、如用电脑编程，公式 2 中的数据和结果可由公式 1 自动生成。证明：（下面仅对公式 1 予以证明）设 m 为 n 至 2n 间的奇数， （1）若 m 为合数，必然为以下因式分解中的一个：1 33;57;.(2)mabcpqn所以，任何一个奇合数 m 不可能留在下式中(;.).2jklsn个 奇 数 )-(当（n/2 个奇数）减去所有的合数之后，留下的数字必然都是素数；1、若 m 为素数，则任何一个素数都不可能被(;57;.).2jklsnabcpq个 奇 数 )-(3这个公式减去，所以，在 n 与 2n 之间的所有素数得以

9、保留。证毕。 3.世界上第一个求素数公式 此时，我们再继续扩大 2n 的范围，设 T 为有限大的一个自然数。那么，在n 至 T 之间（nT)的素数个数和数值可以用如下这两个公式求出来：公式 3、李君池求素数个数公式：（自我命名）在 n 与 T 之间素数的个数可用如下公式求得： ).;7;5;3(2)( slkj qpcba式中： pq， ，对于等号后面的 ，当 n 和 T 的值不为偶sT2T数时，对 n 减 1，对 T 加 1，使之变为偶数；而 3ja、.、 spq表示在符合要求的范围内统计乘积的个数（凡重复的数字仅保留最初出现的那一个） ，与乘积的大小无关。 公式 4、李君池求素数数值公式：

10、（自我命名）在 n 与 T 之间的所有素数的数值同样可以用这一公式求得：()(3;5;7;.).2jkl sSJHabcpq式中： 表示 之间的所有素数， 表示 之间的()nT)（ (2TnJT（奇数， 表示 之间的所有奇合数。3;5;7;.)jkl sabcpq )（在 个奇数中，分别减去 3ja、.、 spq个奇合数，即可2Tn得到 n 与 T 之间的所有素数。以上这两个求素数的公式，第一个可以求出 n 与 T 之间所有素数的个数；第二个可以一个不漏地写出 n 与 T 之间所有素数的数值。由于几百年来人们还没有找到一个“求素数的公式” ，所以，我们将以上这两个本质相同的公式统称为“世界上第

11、一个求素数公式（李君池求素数公式） ”。至此，世界上第一个求素数公式诞生了，这是一个划时代的产物，它对于解决大量的数论问题，将有着十分重要的意义。 1 44.举例（1）计算在 15 与 103 之间有多少个素数。因 15 和 103 都是奇数，取 n=14，T=104，这是因为“求 15 与 103 之间有多少个素数”与“求 14 与 104 之间有多少个素数”在数值上是相等的。用公式解答如下： ,1937,513,93,715(2410)4( ;,3,5,23.2)7即在 15 至 103 之间素数的个数为 21 个，它们是：17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、

12、61、67、71、73、79、83、89、97、101、103。 （2）计算在 100 与 363 之间有多少个素数。因 363 是奇数，取 T=364，有： ;715,.9;123,.753(210364)10( 23,;,.,;97,.748)即在 100 至 363 之间素数的个数为 47 个，它们是：101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 2

13、93 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 。当然，所举的这两个例子，相对于电脑编程中的举例来说，实在是太简单了，电脑编程可以任意举出 1 千、1 万、1 亿、1 万亿、.以内数字的例子。如果你的电脑功能特别强大，运行电脑编程，在有限大的范围内，任意两个自然数之间的素数都可以求出来，而且绝无半点差错。5.求素数公式的应用 一个数学公式，只要这个公式本身是正确的，就一定会有它的有用之处。本文的“李君池求素数个数公式”和“李君池求素数数值公式” （统称为“李君池求素数公式” ） ，如果能够得以推广，更是在数学、金融、科研等方面有着广泛的应用。本文仅举出一两

14、个方面的应用，来说明这个公式不仅是完全正确的，更是一个有着极高计算效率的简单易学的“简易公式” 。考题 1：给你一张 100 以内的素数表和一个计算器，请找出以下这组数中的素数：1201 1207 1211 1217 1219 1223 1229 1231 1237 1241 1249 1253 1259 1261 1267 1271 1273 1279 1283 1289 1291 1297如果我们用一般普通的方法，想在这 22 个奇数中找出哪几个数是素数，是1 5比较麻烦的。如果是在考场中，更没有时间来一个一个试除。但如果我们采用“李君池求素数数值公式”来寻找，这道题就变得非常容易了。为了

15、让大家清楚明白地看到计算的过程，现将分析过程也写出来，供大家参考：对于公式()(3;5;7;.).2nT jkl sSJHabcpq2、取 的数值为 1201 至 1299；3、 的数值为 49 个（在实际计算中，这一过程可以省略） ；4、 公式中,H 后面的内容为需要统计的数值；5、因为题目所给的数字都不能被 3 和 5 整除，所以 再省35jkab和略；6、从 开始计算，将得到的数值记录下来，与题目比较，是合数的7lc划去；7、剩下没有划去的即为素数。计算过程如下：7173=1211， 7179=1253， 7181=1267， 11113=1249，1397=1261， 1771=1207， 1773=1241， 1967=1273，2353=1219， 2943=1247， 3141=1271。现在，在这 22 个数中划去其中的 10 合数（2943=1247 不在这 22 个数之内） ，剩下的 12 个数就是素数。它们是：1201 1217 1223 1229 1231 1237 1259 1279 1283 1289 1291 1297。在这个计算中，仅仅只用了 11 道算式，就从 22