《[高考数学]2011年全国高考理科数学试题及答案-北京》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[高考数学]2011年全国高考理科数学试题及答案-北京（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2011 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理） （北京卷）本试卷共 5 页，150 分。考试时间长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1已知集合 P=x x 21,M=a.若 PM=P,则 a 的取值范围是A(-, -1 B1, +） C-1，1 D（ -，-1 1 ，+）2 复数 iAi B-i C D435i435i3 在极坐标系中，圆 =-2sin 的圆心的极坐标系是A B (1,)2(
2、1,)2C (1,0) D(1， )4 执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为A-3B- 12C 3D25 如图，AD， AE，BC 分别与圆 O 切于点 D，E，F ，延长 AF 与圆 O 交于另一点 G。给出下列三个结论：AD+AE=AB+BC+CA；AFAG=ADAEAFB ADG其中正确结论的序号是A BC D6 根据统计，一名工作组装第 x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 （A，C 为常数） 。已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第 A 件xcf,)(产品用时 15 分钟，那么 C 和 A 的值分别是A75，25 B75，16 C60，25 D60，167 某四面体
3、的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是A8 B C10 D62 828 设 , ， , .记 为平行四边形 ABCD 内部（不含边044CtDtRNt界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数 的值域为tA B9,1 9,102C D2第二部分 （非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。9 在 中。若 b=5， ，tanA=2，则 sinA=_；a=_。AB4B10 已知向量 a=（ ，1） ， b=（0 ，-1 ） ，c=（k， ） 。若 a-2b 与 c 共线，则33k=_。11 在等比数列a n中，a 1= ，a 4=
4、-4，则公比2q=_； _。.n12 用数字 2,3 组成四位数，且数字 2,3 至少都出现一次，这样的四位数共有 _个。 （用数字作答）13 已知函数 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根，则数 k 的取值32,()1)xfx范围是_14 曲线 C 是平面内与两个定点 F1（-1，0 ）和 F2（1，0）的距离的积等于常数 的点)1(2a的轨迹.给出下列三个结论： 曲线 C 过坐标原点； 曲线 C 关于坐标原点对称；若点 P 在曲线 C 上，则 F PF 的面积大于 a 。1212其中，所有正确结论的序号是 。三、解答题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或
5、证明过程。15 （本小题共 13 分）已知函数 。()4cosin()16fxx（）求 的最小正周期：（）求 在区间 上的最大值和最小值。()fx,6416 （本小题共 14 分）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是菱形，PABCDABCD.2,0ABo()求证： 平面;（）若 求 与 所成角的余弦值；,PBA（）当平面 与平面 垂直时，求 的长.CPDPA17 本小题共 13 分以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 X 表示。（）如果 X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（）如果 X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这
6、两名同学的植树总棵树 Y 的分布列和数学期望。（注：方差 ，其中 为 ， ， 的平22221 nsxxxn K1x2nx均数）18 （本小题共 13 分）已知函数 。2()xkfxe（）求 的单调区间；（）若对于任意的 ，都有 ，求 的取值范围。(0,)x()fx1ek19 （本小题共 14 分）已知椭圆 .过点（m,0）作圆 的切线 I 交椭圆 G 于 A，B 两点.2:14xGy21xy（I）求椭圆 G 的焦点坐标和离心率；（II）将 表示为 m 的函数，并求 的最大值.ABAB20 （本小题共 13 分）若数列 满足 ，数列 为 数列，记12,.()nnAa1(,2.1)naknnAE=
7、 ()nS1（）写出一个满足 ，且 0 的 数列 ；1s()sSAEn（）若 ，n=2000，证明：E 数列 是递增数列的充要条件是 =2011；12an na（）对任意给定的整数 n（n2 ） ，是否存在首项为 0 的 E 数列 ，使得 =0？如果AS存在，写出一个满足条件的 E 数列 ；如果不存在，说明理由。nA参考答案一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1 ） C （2 ）A （3）B （4）D（5 ） A （6）D （7）C （8 ）C二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9 ） （ 10）10（11 ）2 （ 12）1421n（13 ） （
8、0，1） （14）三、解答题（共 6 小题，共 80 分）（15 ） （共 13 分）解：（）因为 1)6sin(co4)(xxf21sin3co4ixcossn3)62sin(x所以 的最小正周期为f（）因为 .326,4xx所 以于是，当 时， 取得最大值 2；626即 )(f当 取得最小值1.,2xxx时即（16 ） （共 14 分）证明：（）因为四边形 ABCD 是菱形，所以 ACBD.又因为 PA平面 ABCD.所以 PABD.所以 BD平面 PAC.（）设 ACBD=O.因为BAD=60 ，PA=PB=2,所以 BO=1，AO=CO= .3如图，以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标
9、系 Oxyz，则P（0， ，2） ，A （0， ，0 ） ，B（1，0 ，0） ，C（0， ，0 ）.3所以 ).,32(),3,1(CB设 PB 与 AC 所成角为 ，则.46|cosAP（）由（）知 ).0,31(BC设 P（0， ，t） （t0） ，3则 ),1(设平面 PBC 的法向量 ,)(zyxm则 0,BPC所以 3,tzyx令 则,.6,t所以 )6,3(tm同理，平面 PDC 的法向量 )6,3(tn因为平面 PCB平面 PDC,所以 =0，即n 062t解得 6t所以 PA=（17 ） （共 13 分）解（1）当 X=8 时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8 ，9
10、，10，所以平均数为 ;435109x方差为 .16)4350()9()8()(4 22222 s（）当 X=9 时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9 ，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有 44=16 种可能的结果，这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17，18，19，20 ，21 事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树 9 棵，乙组选出的同学植树 8 棵”所以该事件有 2 种可能的结果，因此 P（ Y=17）= .8162同理可得 ;4)(Y;4)( .81)(;41)20(YP所以随机变量 Y 的分布列为：Y 17
11、 18 19 20 21P 8141481EY=17P（Y=17）+18P（Y=18）+19P（Y=19）+20P （Y=20）+21P （Y=21 ）=17 +18 +19 +20 +21814=19（18 ） （共 13 分）解：（） .)(1)12xekxf令 ，得 .0f当 k0 时， 的情况如下)(xf与x ( )k,k( ,k)kk ),(k)(f+ 0 0 +x 124ek 0 所以， 的单调递减区间是（ ）和 ；单高层区间是 当 k0 时，因为 ，所以不会有ekfk1)( .1,0exfx当 k0 时，由（）知 在（0 ，+ ）上的最大值是)(xf .4)(2kf所以 等价于e
12、fx1)(,0(.14)(2ekf解得 .21k故当 时，k 的取值范围是.1)(,0(exfx ).0,21（19 ） （共 14 分）解：（）由已知得 ,2ba所以 .32c所以椭圆 G 的焦点坐标为 )0,3(,(离心率为 .2ace（）由题意知， .1|m当 时，切线 l 的方程 ，点 A、B 的坐标分别为1m1x ),231(),此时 3|AB当 m=1 时，同理可得 3|当 时，设切线 l 的方程为|),(mxky由 048)41(.4),( 2222 yxk得设 A、B 两点的坐标分别为 ，则),(,21yx22121 4,48kmxkx又由 l 与圆 .1,1|, 222 ky
13、即得相 切所以 1212)()(| yxAB4)4(6)122kmk.3|42m由于当 时，,3|AB所以 .),1,(,|4|2 U因为 ,2|3|4|3|2mAB且当 时，|AB|=2 ，所以|AB| 的最大值为 2.m（20 ） （共 13 分）解：（）0，1，2 ，1，0 是一具满足条件的 E 数列 A5。（答案不唯一，0，1，0 ，1，0 也是一个满足条件的 E 的数列 A5）（）必要性：因为 E 数列 A5 是递增数列，所以 .)19,2(1Lkak所以 A5 是首项为 12，公差为 1 的等差数列.所以 a2000=12+（ 20001）1=2011.充分性，由于 a2000a1
14、0001，a2000a10001a2a11所以 a2000a19999，即 a2000a1+1999.又因为 a1=12，a 2000=2011,所以 a2000=a1+1999.故 是递增数列.nn Ak即),9,2(0L综上，结论得证。（）令 .1),1(1 Akk cac 则因为 22 ca ,121nncL所以 132)()()()( nn cncaAS L).21c因为 ).1,(, kckk L为 偶 数所 以所以 为偶数,()2()*1 ncncn所以要使 为偶数,0(AS必 须 使即 4 整除 .*)(14) Nm或亦 即当 ,1,0,*(1 2414 kkkn aaAENmn的 项 满 足数
