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1、导数的涵义及其应用的几点说明导数，既能深刻地表示函数变化的规律自然就成为研究函数的重要工具。下面就导数的概念及其在解题中的应用做一下详细的阐述，其中重点探讨一下函数的单调性、极值、凸凹性以它们的应用。一、 数的引入导数是由速度问题和切线问题抽象出来的数学概念。又称变化率。如一辆汽车在 10 小时内走了 600千米，它的平均速度是 60 千米小时，但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是 60 千米小时。为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置 x 与时间 t 的关系为 f（xt） ，那么汽车在由时刻很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好
2、地反映汽车在 t0 到 t 1 这段时间内的运动变化情况 ，自然就把极限变到 这段时间内的平均速度是1t，当 与 很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车10()ft0t1在 到 这段时间内的运动变化情况 ，自然就把极限 作为汽车在时刻 的瞬时速0t110()limxft0t度，这就是通常所说的速度。一般地，假设一元函数 在 点的附近 内有定义，()f00,xa当自变量的增量 时函数增量 与自变量增量之比 的极限 0x0()yfxyx存在且有限，就说函数 f 在 点可导，记作 ，称之为 f 在 点的导数（或0limxy0x0limxyf0变化率） 。若函数 f 在区间
3、 I 的每一点都可导，便得到一个以 I 为定义域的新函数，记作 ，称之为 f 的导函数，简称为导数，导数的概念就是函数变化率这一概念的精确描述。函数 在 点的导数()yfx0的几何意义： ，表示曲线 l 在 点的切线0()fx000()limlixxyfxtgAtg00,()pf斜率。导数的符号有 ， ， ， ， 等，通常用得较多的是 和 。()fy()d()f ()fxy二、下面举几个求求导数的例子求导数的几种方法：1. 用定义： 0 00()()()lim()()()lixxfxfxffff x2. 有理运算： ()uvuv()uv（ ）20x3. 反函数：设函数 在 点可导，且 ，又 在
4、 点附近严格单调且连续，则其反函数()yf00()fx()fx0在点 可导，且()x00()f001()yf4. 隐函数： (,)(,),FxyFy5. 参数方程 ()(),xtytx6. 对数方法：vulnlyvuy (l)vuy7. 高阶导数： ()(1)nnfxfx8. 不可导性 f(x)在 x=x0处不连续 在 x0处左右导数至少有一个不存在 左右导数存在但不相等9. 可导必可微 ()()dyfxfdx()x()()0,)f求导例解： 例一设 求2sinyx23,()dyyx解：222si()cos)cos()dx令2,sintyt22icosdtxxt令233,sin()tyt221
5、2333i()cos()cos()()dttxx例二.设(),nyartgxy求解： ,xt有 2221cosyyxtg 2cos(in)sin()易求出 32!si()2yy用归纳法可证明：()1!cosin()2nyy三、导数的应用1. 函数的单调性我们可以用初等代数的方法讨论函数的单调性，但是，由于方法的限制，这些讨论既不全面又不深入，并且计算烦琐不易掌握规律。这里导数为我们更广泛更深入地研究函数的单调性提供了有利的工具。单调性的充要条件：定理 1：若函数 在 内可导，则函数 在 内单调增加（或单调减少）的()fx,ab()fx,ab充要条件是：在 内， （或 ）。,00定理 2：（严格
6、单调的充分条件）若在区间 内 （或 ），则函数(,)ab(fx()0fx在 内严格单调增加（严格单调减少）。()fx,ab定理 3：设函数 在 内可导，则函数 在 内严格单调增加（或严格单调()fx,ab()fx,ab减少）的充要条件是：若（非退化）区间 则至少有一点 ，使 。1,I1I()0fx单调性判定定理的应用与单调区间的求法：前三个定理用导数刻画了函数的单调性要讨论函数的严格单调性，只需要求出该函数的导数 ，确定它的函数取正的区间和负的区间。实()fx()fx际上，只要求出这些函数的分界点。对于可导函数有定理：定理 4：若函数 在 内可导， 为 内的一点， 在 的符号与在()fx,ab
7、c(,)ab()fx,ac内的相反，则(,)cb0c推论：若函数 在 内可导，其导数 在 内恒不为零，则 在()fx,ab()fx,ab()fx内保持相同的符号。(,)ab可导函数的严格单调区间的分界点应是方程 的根，对于一般的函数 严格单调区间()0fx()fx的分界点，不是方程 的根，就是导函数 的根。根据以上定理可得，讨论函数()0fx的严格单调性的步骤是：（1） 确定函数 的定义域 ；()fx(,)ab（2） 求导数 ，并求出 的根及 的根，并按从小到大的顺序排列()fx()0fx()0fx.作为分界点；12,ncL（3） 用分界点将定义域分成若干个开区间 ，并确定 在每个区12(,)
8、,(,)naccbL()fx间内的符号；（4） 若在某区间内， ，那么 在此区间内严格增加，否则严格减少。()0fx()fx例 1. 讨论函数 的单调性，并求出单调区间。ln1解：函数的定义域为 ，对此函数求导，得：(,) 1()xfx令 ，得 。因为在 内 ，故函数在 是单调减少的。()0f (1,0)(fx(1,0)又因为在区间 内， ，所以函数在 内是单调增加的。,)fx,)例 2. 讨论函数 的单调性。1()f解：该函数的定义是 的实数，0x 21(),fx令 得 ，它们将定义域分成四个开区间()0f， ， ，(,1)(,(,1),)因为 ， ， ， ，于是(2)0f()f()02f(
9、)f 011()fx， 当 x(-,)或 (,+)， 当 0或由定理 2 知，函数 在区间 与 内严格增加；在区间 与 内()fx(,1)(,)(1,0)(,严格减小。作表如下： (,)(,0)(0,)(,)()fx+ - - +ZZ2. 函数的极值及判别法函数的极大与极小：一个连续函数 ，如果在 以前是增大的，而 以后是减()fx0x0x小的，则在 这一点有一个极大值；反之一个连续函数 ，如果在 以前是减小的，0x()f而 以后是增大的，则在 这一点有一个极小值。函数的这种极大极小值，不论对研究0x函数的性质，还是解决某些实际问题，都是很有价值的。下面我们就来具体研究一下函数的极值问题。定理
10、 1：设函数 在点 可导，则 在 取得极值的必要条件是()fx0()fx0。()0fx定理 2：（第一判别法）设函数 在点 连续，在 内可导，则()fx00()Ux如果在 时， ，而在 时， ，那么 在 点取0x()f0()f()f0x得极大值；如果在 时， ，而在 时， ，那么 在 点取0x()fx0x()0fx()fx0得极小值；如果在 与 时， 有相同的符号，那么 在 点没有极值；0x0x()f ()fx0定理 3：（第二判别法）设 为 的稳定点且 存在且不等于零，则0()fx0()f如果 ，那么 在 点取得极大值；()0fx()fx0如果 ，那么 在 点取得极小值。()f()f0定理
11、4：（第三判别法）如果 在 点的一阶，二阶，直到 阶()fx0 1n的导数都等于零，但 ，则()0nf 当 n 为奇数时， 在 点没有极值；()fx0 当 n 为偶数时，若 ，则 在 点取得极小值；而当()n()fx0时， 在 点取得极大值。()0fxfx0我们可以把求一个函数极值的方法归结为： 确定函数 的定义域，求其导数 ；()fx()fx 令 ，求出函数的所有稳定点和导数 不存在的点；0f 用第一准则或第二准则在所求的点中，判定出极大值点和极小值点； 求出函数所有极值点的函数值；就得到函数 的各极值。()fx例子：求函数 的极值。2()(1fx解： 的定义域是 。()f(,) 2()(154)fxx的所有稳定点是()f,和用第一准则列表如下： 2451()fx+ 0 - 0 + 0 +极大值点 极小值点 非极值点
