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1、2011 年备考最新数学压轴题之六1.ABC 是直线 上的三点，向量 满足： -lOABCOAy+2 +ln(x+1) = ；)1(fOB0（）求函数 y=f(x)的表达式； （）若 x0, 证明 f(x) ；2x（）当 时,x 及 b 都恒成立，求实数 m的32)(22bmxf 1,取值范围。解 I）由三点共线知识， , ,A0)1ln()( OCxBfyOA OCxBfyA)1ln()(2BC 三点共线， )l()1(2f .1(2nfxy ，1)(f)(ff(x)=ln(x+1)4 分()令 g(x)=f(x) ,2x由 ，)(1)(xgx0 0g(x)在 (0,+)上是增函数,故 g(
2、x)g(0)=0,即 f(x) ;8分2x（III）原不等式等价于 ,令32)(212bmxfh(x)= = 由)(21xf,ln2,1)(2xh当 x-1,1时,h(x) max=0, m 2-2bm-30,令 Q(b)= m2-2bm-3，则由 Q(1)0 及 Q（-1)0 解得 m-3 或 m3. 12 分2,满分 12 分）设 f(x) 是定义在 R 上的减函数，满足 f(x+y)=f(x)f(y)且 f(0)=1,数列a n满足 a1=4，f(log 3 f(-1-log3 =1 (nN *)；)41n)4na（）求数列a n的通项公式；（）设 Sn是数列a n的前 n项和, 试比较
3、 Sn与 6n2-2的大小。解.() 由题设知f(log3 f(-1-log3 =1 (nN *)41na)4na可化为,)0(log1(log33ff nny=f(x)是定义在 R上的单调减函数， 4l4l313nnaa即 1logl313nn数列 是以为 首项，1 为公差的等差数列。log 34l3na4l3a 14na即 an= .-6分 )(*1N()Sn=a1+a2+a3+an =4(1+31+32+3n-1)=2(3n-1)当 n=1时有 Sn=6n2-2=4; 当 n=2时有 Sn=166n2-2=94; 当 n=5时有 Sn=4846n2-2=148.由此猜想当 n4 时, 有
4、 Sn6n2-2 3n-1n2.下面用数学归纳法证明：当 n=1时显然成立；假设当 n=k(k4,kN *)时, 有 3k-1k2; 当 n=k+1时，有 3k=33k-13k2,k4k(k-1)12, 3k 2-(k-1)2=2k(k-1)-10即 3k2(k+1)2, 3 k3k2(k+1)2, 3 k(k+1)2,因此当 n=k+1时原式成立.由可知当 n4 时有 3n-1n2即 Sn6n2-2.综上可知当 n=1,3时,有 Sn=6n2-2；当 n=2时,有 Sn6n2-2。12 分3. 已知抛物线 C1:y2=4x 的焦点与椭圆 C2: 的右焦点 F2重合，F 1是椭192byx圆的
5、左焦点； （）在 ABC中，若 A(-4,0)，B(0,-3)，点 C在抛物线 y2=4x上运动，求ABC重心 G的轨迹方程；（）若 P是抛物线 C1与椭圆 C2的一个公共点，且PF 1F2= ，PF 2F1= ,求cos 的值及 PF1F2的面积。cos解：（）设重心 G(x,y)，则 整理得 将(*)式代304yx(*)34yx入 y2=4x中，得(y+1) 2= 重心 G的轨迹方程为(y+1) 2=)4(3xABC.6分)34(x() 椭圆与抛物线有共同的焦点，由 y2=4x得 F2(1,0)，b 2=8，椭圆方程为.设 P(x1,y1) 892y由 得 ，x 1= ，x 1=-6(舍).x=-1 是 y2=4x的准线，即124xy08912x23抛物线的准线过椭圆的另一个焦点 F1。设点 P到抛物线 y2=4x的准线的距离为 PN，则PF 2=PN.又PN=x 1+1= ,53 .27,2PaF过点 P作 PP1x 轴，垂足为 P1，在 RtPP 1F1中，cos= 在 RtPP 1F2中，cos(-)=75,cos= ,coscos= 。57x 1= ,PP 1= ,236 .12分21 PFSPF
