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1、高 等 数 学徐屹 第 1 页 2018-2-14第五次课教学内容：极限存在准则，两个重要极限，无穷小比较教学目的：（1）熟练运用 ，1lim)xxe（ 0sinl1x（2）了解两个极限存在准则（3）无穷小比较教学重点：两个重要极限，无穷小比较教学难点：两个重要极限，无穷小比较教学关键：极限存在准则，无穷小比较教学过程：一、极限存在准则 两个重要极限准则 1、 （夹逼准则）如果数列 、 及 满足下列条件： nxynz（1） 、 nnyxz（2） 、 lim,lia那么数列极限存在，且 nxa例、求 2211li()nL解： nnyxzlimli1nzQ原极限为 1准则 如果0、（1） 当 ，0
2、(,)|)xUrxMo或 时 ()(gfxh（2） ，那么 存在，且等于 A00li,li(xxgAh0lim利用存在准则，得到重要极限1、 0sinlm1x例 1、求极限 0i3lx解： ssn iixxg例 2、求极限 0lxt解：原极限 simcox1高 等 数 学徐屹 第 2 页 2018-2-14=1例 3、求极限 0sin2lm3x解：原极限 iix准则 2、单调有界数列必收敛利用准则，得到重要极限：2、 1lim)xxe（当 时，函数 的值无限地接近于一个常数 2.71828，记这个常数为 e，即x)(exx)1(li在自然科学中，这个数 e 作为对数的底，为 e 底的对数叫做自
3、然对数，记作 xln例 1、 求极限 21lim)xx（解：原极限 （= 2e例 2、 1li)xx（解：原极限= 1m)(x（= li1xxx（=e=1例 2、 求极限 lisnxtg解：令 t则原极限= 0()limtt= sintg= 01lcot=高 等 数 学徐屹 第 3 页 2018-2-14柯西极限存在准则：数列 收敛的充分必要是：对于任意给定的正数 ，存在着这样的正nx 整数 N，使得当 mN,nN 时，就有 |nmx说明：柯西极限存在准则有时也叫做柯西审敛原理二、无穷小的比较1.引入两个无穷小的和、差及乘积仍旧是无穷小.但是,关于无穷小的商,却会出现不同的情况.例如,当时,
4、、 、 都是无穷小，而0x32xsin， ， .lim20l 1sinl0x两个无穷小之比的极限的各种不同的情况,反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度.2.定义如果 ,就说 是比 高阶的无穷小,记作 ;lio如果 ,就说 是比 低阶的无穷小.如果 ,就说 与 是同阶无穷小;0limc如果 ,就说 是关于 的 k 阶无穷小.kk如果 ,就说 与 是等价无穷小,记作 .1li显然,等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形,即 .1c例如:因为203limx,所以当 0x时, 是比 高阶的无穷小,即 .23x230xo因为 ,所以 时, 是比 低阶的无穷小21linn12n因为 39li6x,所以 3x时
5、, 与 时同阶无穷小.293x因为 201cosm,所以当 时, 是关于 的二阶无穷小.01cosx因为 ,所以当 x时, 与 是等价无穷小,即 .inlx sinxsin0x下面再举一个常用的等价无穷小的例子.例 1 证明:当 时, 1n.0证:因为高 等 数 学徐屹 第 4 页 2018-2-1400121limli11nnxxnnx L，120linnxnx所以 1nx关于等价无穷小,有下面两个定理.3.定理定理 1 .）（ 定理 2 设 , ,且 存在,则lim= .lili证： limlililim注定理 2 提供了一种计算极限的重要方法-等价无穷小代换.求两个无穷小之比的极限时,分
6、子及分母都可用等价无穷小来代换,对乘积因子也可用等价无穷小代换.但要注意,等价无穷小不能在加减法中使用.常用的等价无穷小有:当 时, 0x, , , , , (其中 为常xsintarcsinarctn21cosx1x数).例求 0t2lims5x解：当 ， ， ，所以anxsin5x00t2lilx例求21x解：当 ， ，对分子作代换，得221x20limx 201lix应用举例例 1 计算下列极限：（1） （2） xx)13(li xx3sinlm0高 等 数 学徐屹 第 5 页 2018-2-14解 （1）4313e)1(lim)31(li)3(lim)3(li xnxnxnxn（2）
7、)1(si)(silsi1l 000 xxxx= 623l3nli13ni xxx例 2 计算下列极限： （1） （2） xx10)(lim2)(limxx解（1）原式 2210)(liexx（2）原式 231limxx 4312lim31li exxxx例 3 求 30tansilix解：原式 xxcosin)(li3021mli0xxcos1lim0因为 ，所以cosx20lix21li0x所以 原式 21例 4 已知 9)(limxxa，求常数 a解：x 9)1(li 22axx e3ln2lla0li2b，求常数 和 b解一：令 )(a，则0limx高 等 数 学徐屹 第 6 页 20
8、18-2-14故0lim)1(lim2 xxbax 即0)1(li2xbaxxxli而 x1li2li2x得 1代入得 b12两边令 得xx li)(li 21lixx解二：因lim2x，而原式右边为 0，故)(limba0a)(1li2baxx )(1)1(lim22xxax 如 01a，则分子的次数（ 2）比分母高，当 时分式应 ；故 2再由 知 。于是上式右边成为 )(1li22bx以 x除分子分母，上式极限为)21(b，但已知极限为 0故b例 5)1(limnx（Zm,）解：原式=11()()mnx xLLnnnxli11)(1)(mxxnmx LL2(2)nnn例 6)si(silxxx 2cossil x021co)1(2mxx（无穷小乘以有界两等于无穷小）
