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1、谈高中立体几何中二面角的求解方法贵州省印江民族中学 张 学二面角是立体几何三种空间角中最重要的一种角 ，是高考常考的考点，如何准确找出二面角的平面角是解题的关键，在学习中，许多同学都对其感到困难，而且不能很好地解决求二面角的问题。下面,我就二面角的求解问题介绍几种常用的方法与技巧，希望对同学们的学习有所帮助。1、定义法：利用定义作出二面角的平面角，并设法求出其大小。例 1、 如图 ,已知二面角 -L - 等于 120,PA,A,PB,B. 求APB 的大小.解: 设平面 PAB=OA,平面 PAB=OB。PA, PA 同理 PB 平面 PAB又OA平面 PAB OA 同理 OB. AOB 是二
2、面角 - 的平面角.在四边形 PAOB 中, AOB=120,. PAO= POB=90, 所以APB=602、三垂线法:由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角。例 2、如图，ABC 中， A=90，AB=4，AC=3，平面 ABC 外一点 P 在平面ABC 内的射影是 AB 中点 M，二面角 PACB 的大小为 45。求（ 1）二面角 PCDPMBAPO BABCA 的大小；（ 2）二面角 CPBA 的大小解：PM 丄平面 ABC，AC 丄 AB，由三垂线定理得：AC 丄 AP， PAB 是
3、二面角 PACB 的平面角，即PAB =45，又 AM=2 AB=4. PM=2 作 MD 丄 BC 于 D，连 PD，则 PD 丄 BC， 故 PDM 是二面角 PBCA 的平面角 RtMBDRtCAB BM：BC=MD：CA 又 BC=5，MD= 56在 Rt PDM 中，tan PDM= = ，DMP3故PDM=arctan ， 即二面角 PBCA 的大小为 arctan 。35 35（2）PM 丄平面 ABC，BM=MA ，PA=PB，又 PAB=45 PM 丄PA，又 PM 丄平面 ABC，BM 丄 AC，PB 丄 PA，又 PM 丄平面 ABC，BM 丄 ACPB 丄 AC，故 P
4、B 丄平面 PAC，PB 丄 PC，即APC 是二面 CPBA 的平面角，在 RtPAB 中， PAC=90，AC=3，PA= ，AM=2 ， tanAPC=22因此二面角 CPBA 的大小为 arctan 。 423 433、平移法:将图形中有关线段或平面进行平移，以其得到二面角的两个平面的交线,进而得到其二面角的方法。例 3、正三角形 ABC 的边长为 10，A平面 ，B、C 在平面 的同侧，且与 的距离分别是 4 和 2，求平面 ABC 与 所成的角的正弦值。解：设 E、F 分别为 B、C 的射影，连 EF 并延长交 BC 延长线于 D，连AD；AEE、F 是 B、C 射影 BE 丄 ；
5、CF 丄 BECF 又 CF：BE= ， B 21C 是 BD 的中点 BC=DC， CABC 是正三角形B=BCA=BAC=60， 又ACB+ACD=180 ， A E F DACD=120 又 AC=DC ， ACAD= CDA=30，又BAD=BAC+CAD ，BAD=90，BA 丄 AD ，又AE 是 AB 在平面 上的射影，AE AD 又 BAAD ，平面 ABC平面 =A，BAE 是平面 ABC 与 所成的角，BE平面 ， BEAE ， ABC 是 Rt sinBAE=BE：AB= ，即平面 ABC 与 所成角的正弦值为 。52 524、射影面积法:由公式 S 射影 =S 斜面 c
6、os，作出二面角的平面角直接求出。运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得。例 4、如图，设 M 为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 CC1 的中点，求平面BMD 与底面 ABCD 所成的二面角的大小。 解：D 1D面 ABCD，C 1C面 ABCD， BMD1 在底面上的射影为BDC，设正方体的棱长 a，则 SBCD= a ，BD 1= a23MD1 C1B1MH= a， SBMD1= a2462由 SBDC=SBMD1cos 得 =arccos 365、垂面法:由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所
7、成的角，就是二面角的平面角。例 5、如图，已知 PA 与正方形 ABCD 所在平面垂直，且 ABPA，求平面 PAB 与平面 PCD 所成的二面角的大小。 解: PA平面 ABCD，PA CD 又 CDAD，故 CD平面 PAD P 而 CD平面 PCD， A D所以 平面 PCD平面 PAD 同理可证 平面 PAB平面 PAD B C因为 平面 PCD平面 PADPD，平面 PAB平面 PADPA ，所以 PA、PD与所求二面角的棱均垂直，即APD 为所求二面角的平面角，且APD456、向量法:两平面所成的角的大小与分别垂直于这两个平面的两向量所成的角（或补角）相等。例 6、在长方体 ABC
8、DA 1B1C1D1 中，点 E、F 分别在 BB1、DD 1 上，且AEA 1B，AF A 1D AB4，AD3， AA15，求平面 AEF 与平面D1B1BD 所成角的大小 解：如图，以 D 为原点，DA 为 X 轴建立空间直角坐标系过 C 作 CG BD，交 AB 于 G。 ZAD=3，AB=4 ，AA 1=5 A 1(3, 0, 5)、C(0, 4, 0)、 G(3, , 0) D1 C147A1C平面 AEF, AHA1BCDCGC平面 D1B1BD(易证) A1 B1 平面 AEF, F ECA1平面 D1B1BD D YG则平面 AEF 与平面 D1B1BD 所成角 A B的大小等于 与 所成的角. 1G=-3, 4, -5 、 =-3, , 0 CA1 C49设 与 所成角为 则 Cos= = = G14152则 =arccos 25平面 AEF 与平面 D1B1BD 所成角为 arccos 。251
