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1、专题复习十八1第十八 椭圆一、知识梳理：1. 椭圆定义：（1 ）第一定义：平面内与两个定点 21F、 的距离之和为常数 |)|2(2Fa的动点 P的轨迹叫椭圆,其中两个定点 21、 叫椭圆的焦点.当 21FaPF时, P的轨迹为椭圆 ;当 2121P时, 的轨迹不存在; 当 2121时, 的轨迹为 以 F、 为端点的线段（2 ）椭圆的第二定义: 平面内到定点 与定直线 l(定点 不在定直线 l上)的距离之比是常数 e( 0)的点的轨迹为椭圆2.椭圆的方程与几何性质:标准方程 )0(12bayx )0(12baxy参数关系 c焦点 )0,(, ),0(c焦距 2范围 byax|,| bxay|,
2、|顶点 ),0(,)(0 )0,()0(对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称离心率 )1,(ace性质准线 cx2cay23.点 ),(0yP与椭圆)0(12bay的位置关系:当12bax时,点 在椭圆外; 当 2yx时,点 P在椭圆内; 当12byax时,点 P在椭圆上;4.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交 0;直线与椭圆相切 0;直线与椭圆相离 0二、基础检测：1. 如果方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是（ D ）专题复习十八2A.(0,+) B.(0,2) C.(1,+) D.(0,1)2.椭圆 的两个焦点为 F1、F 2，过 F1 作垂直
3、于 轴的直线与椭圆相交，一个交点142yx x为 P，则 =（ C ） A B C D4|2F3273. 过椭圆 21xyab( 0)的左焦点 1F作 x轴的垂线交椭圆于点 P， 2F为右焦点，若 1260FPo，则椭圆的离心率为（ B ）A B 3 C 12 D 13 解析:因为2(,)bPca，再由 1260FPo有 3,ba从而可得 3cea，故选 B4. 椭圆 有两点 P、Q ,O 为原点, 若 OP、OQ 斜率之积为 ,则 4162yx 4122OQP为（ C ）A .4 B.64 C.20 D.不确定 解析: 设直线方程为 ,解出 ,写出kx2O2另法：设 ， 则1(,)Pxy2(
4、)111224yyx、 在椭圆上Q12 2222111643()66xy得 221116()xyyy 4y2 2121| ()0OPx5.若椭圆 和圆 为椭圆的)0(2baa cbyx(,22半焦距),有四个不同的交点,则椭圆的离心率 的取值范围是（ A ）eA . B. C. D.)53,()5,()53,()5,0(解析: 解齐次不等式: ,变形两边平方.acb26. 已知 是椭圆 的半焦距,则 的取值范围是 ( D )c)0(1yax acbA (1, +) B C D ,2(2,1(专题复习十八3解析: 焦三角形 AFO,如图: 为锐角.转化为三角函数问题.,cosinab7. 短轴长
5、为 5，离心率 的椭圆两焦点为 F1，F 2，过 F1 作直线交椭圆于 A、B 两点，23e则ABF 2 的周长为 （ ）A.3 B.6 C.12 D.24解析C. 长半轴 a=3，ABF 2 的周长为 4a=128. 已知 P为椭圆 上的一点，M、N 分别为圆 和圆156xy231xy上的点，则 的最小值为（ ） 234xyPA 5 B 7 C 13 D 15 解析B. 两圆心 C、D 恰为椭圆的焦点， ， 的最小值为 10-10PMN1-2=79. 椭圆 上的点到直线 l: 的距离的最小值为 _2169xy9xy解析 在椭圆上任取一点 P,设 P( ). 那么点 P 到直线 l 的距离为：
6、4cos,3in|9)i(5|21|sin3co4|2 .210. 椭圆 的焦点为 ,点 P 为其上的动点,当 为钝角时,点 P 横坐标9yx21F21F的取值范围是_. 53x解析:以椭圆的中心为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交；11. 圆心在 轴的正半轴上,过椭圆 的右焦点且与其右准线相切的圆的方程为y1452y_. )6(2x12. 已知圆柱底面直径为 2R,一个与底面成 角的平面截这个圆柱,截面边界为椭圆,则此o30椭圆离心率为_. 21解析: 求 ba, RcbRa3,3,30cos2 13. 已知 12F、 是椭圆2:1(0)xyCb的两个焦点， p为椭圆 C上的一点，且12P。若
7、 12P的面积为 9，则 . 专题复习十八4解析：依题意，有 221214| 8| cPFa，可得 4c236 4a 2，即 a2c 29，故有b3。三、典例导悟：14.如图所示，已知 A、 B、 C 是长轴长为 4 的椭圆上的三点，点 A 是长轴的一个端点， BC 过椭圆中心 O ，且 ，| BC|2| AC|求椭圆方程.0解： 以 O 为原点，O A 为 X 轴建立直角坐标系，设 A（2，0） ，则椭圆方程为 O 为椭圆中心， 由对称性知|O C|O B|214xyb又 ， AC BC 又| BC|2| AC| |O C| AC|0CBurg AOC 为等腰直角三角形 点 C 的坐标为（1
8、，1） 点 B 的坐标为（1，1）将 C 的坐标（1，1）代入椭圆方程得 ， 则求得椭圆方程为243b2314xy15.设椭圆的中心在原点,焦点在 轴上, 离心率 .已知点 到这个椭圆上的点xe),0(P的最远距离为 ,求这个椭圆方程.7解: 设椭圆方程为 , 为椭圆上的点 ,由 得 )0(12bayax)(yxM23acb),3423)( 22 bAM若 , 则当 时 最大,即 , ,故矛盾.1byA()71若 时, 时 , ，所求方程为 2742b1242yx16.已知椭圆 和直线 ： 上取一点 ，经过点 且以已知椭圆的焦点15xyl90xyP为焦点作椭圆，求作出的所有椭圆中长轴最短的椭圆
9、的方程.解：由已知椭圆 得其焦点为 和 ，它们也是所求椭圆焦点，214xy1(3,)F2(,)所求椭圆方程可设为 依条件知 l 与椭圆相切，2(0)ab由 消去 y 得：2901xyab 222(180xab专题复习十八5方程的 化简得 222(18)4()81)0aba281ab又 和 得 1(3,0)F2,9由联立解得 故所求的方程为245,36ab214536xy17.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x轴上, 离心率为 2,两个焦点分别为 1F和 2,椭圆 G 上一点到 1F和 2的距离之和为 12.圆 kC: 042ykxy)(Rk的圆心为点 kA.(1)求椭圆 G 的方程; (2)求 21FA的面积; (3)问是否存在圆 kC包围椭圆 G?请说明理由.解：（1）设椭圆 G 的方程为：2xyab（ 0ab）半焦距为 c;则23ac, 解得63c, 223679c 所求椭圆 G 的方程为：2169xy. (2 )点 KA的坐标为 , 1212632KAFSV（3 ）若 0k，由 261050kkf可知点（ 6，0）在圆 kC外，若 ，由 ()21可知点（-6，0）在圆 外；不论 K 为何值圆 kC都不能包围椭圆 G.
