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1、专题复习十七1第十七讲 直线与圆的位置关系一、知识梳理：1.判断直线与圆的位置关系有两种方法：几何法：通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断，设圆心到直线的距离为 d，圆半径为 r，若直线与圆相离，则 rd；若直线与圆相切，则 rd；若直线与圆相交，则 d 代数法：通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断，即通过判别式来判断，若 0，则直线与圆相离；若 0，则直线与圆相切；若 0，则直线与圆相交2.两圆的的位置关系(1)设两圆半径分别为 12,r，圆心距为 d若两圆相外离，则 Rd ，公切线条数为 4若两圆相外切,则 ，公切线条数为 3若两圆相交 rr，则，公切线条数为 2若两圆内切
2、，则 ，公切线条数为 1若两圆内含，则 ，公切线条数为 0(2) 设两圆 : 1121 FyExDyxC， 0: 222FyExDyxC，若两圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程是 )()()( 1123. 相切问题的解法：利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解利用圆心、切点连线的斜率与切线的斜率的乘积为-1利用直线与圆的方程联立的方程组的解只有一个，即 0来求解。特殊地,已知切点 ),(0yxP,圆 22ry的切线方程为 2ryx,圆 22)(rbax的切线方程为 00 )()(bax4.圆系方程以点 ),(0yC为圆心的圆系方程为 )()()(2020ry过圆 :2FEyDx和直线 :cb
3、axl的交点的圆系方程为yx2 )(cba过两圆 0: 1121yxC， 0: 222FyExDyxC的交点的圆系方程为 FEDyx )(（不表示圆 2C）二、基础检测：1.设 m0，则直线 2（x +y） +1+m=0 与圆 x2+y2=m 的位置关系为A.相切 B.相交C.相切或相离 D.相交或相切专题复习十七2解析圆心到直线的距离为 d= 21m，圆半径为 .dr= 21m = （m2 +1）= （ 1） 20，直线与圆的位置关系是相切或相离.所以选 C2. 过圆 4:yxO外一点 ),(M引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为A. 04 B. 0x C. 04yx D. 04yx解析
4、A. 以线段 为直径的圆的方程为 2，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得 yx，这是经过两切点的直线方程3.已知两圆相交于两点 )1,()3,mBA,两圆圆心都在直线 0c上,则 cm的值是( ) A-1 B2 C3 D0解析:两点 ,关于直线 cyx对称, 514kAB, 线段 AB的中点(3,1)在直线 0上, 32c4.圆 122xy关于直线 0yx对称的圆的方程是（） 2)()3( 21)()(2yx 2yx 3解析 012的圆心为(1,0), 半径为 2，选 C5.将圆 按向量 平移后,恰好于直线 相切,则实数 的值yx)2(a0byxb为（ ） A B
5、C D 332解析B 平移后圆的方程为 ,则1)()2(2yx 31|3|b6.若函数 的图像在 处的切线 l 与圆 相离，则点 与圆1()axfeb02:Cxy(,)Pab的位置关系是（ ） A在圆外 B在圆内 C在圆上 D不能确定解析 B. ， ，切线 l 的方程为axf)( baf)( bx1专题复习十七3yxOAB即 ，圆心到切线 l 的距离为 ，点 在01byax 1122babad(,)Pab圆内7. 已知圆 和点 ,若点 在圆上且 的面积36)5()3(22y)(),BACAB为 ,则满足条件的点 的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.425C解析: 由 的面积为 知,点
6、到直线 的距离为 1, 直线 的方程为AB2,与直线 平行且距离为 1 的直线为 和034yx 034:1yxl，圆心 到直线 的的距离为 ,圆心 到直线 的的距离为7:2l Cl6dC2l,所以圆 与直线 相切与直线 相交, 满足条件的点 的个d36)5()3(22yx1l2lC数是 38、已知曲线 ，点 及点 ，以点 观察点 ，要使视线不:2,0AaB,A被曲线 挡住，则 的取值范围是（ ）CaA B ,4,U,1,UC D 2解析 A 由图可以得到切线 AB 的斜率为 14,a或9.已知向量 若 与 的夹角为 ，m(2cos,in),(3cos,in),rrmrn60则直线 与圆 的位置
7、关系是（ 01isyx 221)xy） A相交但不过圆心 B相交过圆心 C相切 D相离解析 D. ，圆心 到直线2)cos(6s| 0 nm)sin,(co的距离为 ，故直线与圆相离021sincoyx rd1|)(|10. 若圆 始终平分圆 的周长,则实数1)()(2byax 4)(22yx应满足的关系是( )ba,专题复习十七4A B 0322ba 0522baC D1 13解析:公共弦所在的直线方程为 )1()(22yx圆 始终平分圆 的周长Q)()(22byax 4)(圆 的圆心在直线 上41 012)(2aybxa即0)(2)(2a05211. 过圆 内一点 作一弦交圆于 两点,过点
8、 分别作圆的切线yx)1,(ACB、 B、,两切线交于点 ,则点 的轨迹方程为（ ）PCB、 PA B C D924yx52yx423yx解析设 ,过点 的切线方程为 ,过点 的)(),(),( 210yx、 B1C切线方程为 ,而两切线都过点 , , 直线 的方程为42P4021yxB,直线 经过点 , ,换为 得0yxBC)1(A0y,x12.直线 被圆 截得的弦长为_。12()ty为 参 数 24x【解析】直线为 ，圆心到直线的距离 ，弦长的一半为10x12d，得弦长为224()413.若圆 2yx与圆 )0(622ayx的公共弦长为 32，则a=_.【解析】由已知，两个圆的方程作差可以
9、得到相交弦的直线方程为 ay1 ，利用圆心（0 ， 0）到直线的距离 d 1|a为 1322，解得 a=1.专题复习十七5三、典例导悟：14、 已知圆 1)2(:2yxM,Q是 x轴上的动点, A、 QB分别切圆 M于 BA,两点(1)若点 Q的坐标为（1，0） ，求切线 A、 B的方程 (2)求四边形 的面积的最小值 (3)若 324AB，求直线 的方程【解题思路】(2)用一个变量表示四边形 QM的面积(3)从图形中观察点 Q满足的条件解析：（1）设过点 的圆 的切线方程为 1myx，则圆心 到切线的距离为 1，341|2| m或 0， 切线 A、 B的方程分别为 034yx和 x（2） A
10、QM， 31222 MOQSAB（3）设 与 交于点 P，则 BAM,31)2(1P，在 Rt中， P2，即 MQ3 设 )0,(x，则 )0,5(,9Qx直线 的方程为 52y或 25y【名师指引】转化是本题的关键，如：第 2 问把切线长转化为圆外一点到圆心的距离；第3 问把弦长转化为圆心到弦所在直线的距离，再利用射影定理转化为圆外一点 到圆心的距离。弦长、切线长问题经常要这种转化15、已知圆 C：（x 1） 2（y2） 225，直线 l：（2m+1）x+（m+1）y7m4（m R）.（1）证明：不论 m 取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；（2）求直线被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方
11、程.解析（1）解法 1：l 的方程（ x+y4）+m （2x +y7）=0.2x+y7=0， x=3，x+y4=0， y=1，即 l 恒过定点 A（3，1）.圆心 C（1，2） ，AC 55（半径） ，点 A 在圆C 内，从而直线 l 恒与圆 C 相交于两点.mR， 得专题复习十七6解法 2：圆心到直线 l的距离 265|13|2md， 0265)34(2mdrd5，所以直线 l 恒与圆 C 相交于两点（2）弦长最小时，lAC，由 kAC 21，l 的方程为 2xy5=0.【名师指引】明确几点：（1）动直线斜率不定，可能经过某定点（2）直线与圆恒有公共点 直线经过的定点在圆内，此结论可推广到圆
12、锥曲线（3）过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦16、求与圆 52yx外切于点 )2,1(P，且半径为 52的圆的方程解析：设所求圆的圆心为 ),(baC，则 1)()(2b解得： 63ba，所求圆的方程为 20)6()3(2yx解法 2：设所求圆的圆心为 ,baC，由条件知 ),(31),(1baOCP63ba，所求圆的方程为 20)6()3(2yx【名师指引】 （1）本题采用待定系数法求圆心的坐标，步骤是：寻找圆心满足的条件；列出方程组求解（2）解法 2 利用向量沟通两个圆心的位置关系，既有共线关系又有长度关系，显得更简洁明快，值得借鉴。17、已知点 A（2，0） ，B（2
13、，0） ，曲线 C 上的动点 P 满足 ，3BA（1）求曲线 C 的方程；（2）若过定点 M（0，2）的直线 l 与曲线 C 有交点，求直线 l 的斜率 k 的取值范围；（3）若动点 Q（x，y）在曲线 C 上，求 的取值范围.xyu2解析（1）设 P（x，y） ， ，得34),)(,( 22 yBPAP 点轨迹(曲线 C)方程为 ，即曲线 C 是圆.12y（2）可设直线 l 方程为 ，其一般方程为： 由直线 l 与曲线 C 有交kx 02ykx点，得 ，得 ，即所求 k 的取值范围是1|20|k3k或; ),3,(U专题复习十七7（3）由动点 Q（x，y） ，设定点 M（0，2） ，则直线 QM 的斜率为： ，又点uxykQM2Q 在曲线 C 上，故直线 QM 与圆有交点，由（2）结论，得 kQM的取值范围是，),3,(Uu 的取值范围是 .),3,(U
