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1、关于情景导入的案例与认识作者:来自数学通报2009.4 作者：陕西师范大学数学与信息科学学院 罗增儒 录入时间:2009-7-28 阅读次数:752 现实生活里既有数学的原型、又有数学的应用，在数学教学中联系学生的生活经验创设现实情境，一方面体现了生活的教育意义，另方面又赋予教育以生活意义，使生活世界、数学世界、教学世界得以融通，确实能从诸多方面提供教学发展的机会。比如，情景导人让学生有机会本质感悟数学：看到数学起源于现实，看到数学应用于生活，感知数学是对现实世界进行空间形式和数量关系方面的抽象化、形式化刻画。进而，能从观念层面认识到，数学里有聪明的符号但别以为数学只是聪明人的符号游戏，数学里
2、有智力的想象但别以为数学只是想象者的智力玩具，数学是认识世界、改造世界的有力工具。又如，创设情境的学习方式基于学生的“数学现实”，发展学生的“数学现实”，符合学生的认知规律(从直观到严谨、从具体到抽象、从特殊到一般等)，既便于建立新旧知识之间非人为的实质性联系，又有利于感受数学知识的形成过程、感受数学发现的拟真过程，经历：“数学化”，学会“数学地思维”。此外，创设数学情境可以弥补直接传授结论的局限，为数学的学术形态转变为教育形态提供自然的通道，为数学的呈现方式转变为数学的生成方式提供具体的环境，使学生的学习过程有机会成为在教师引导下的“再创造”过程。值得重视的是，理论上的好处与实践中的落实有一
3、段很长的距离，现实原型与数学模式之间也有许多关系需要明确。我们想通过案例来作具体的说明。1 关于情景的案例11 钟面上的时针与分针是否组成角案例 1 下面是一位教师在上人教版七年级上册“角的度量”第一课时的教学片断。教师首先出示了时钟、棱锥、树叶等几幅图片。教师：请同学们找出以上图片所含的角。学生：钟面上的时针与分针，棱锥相交的两条棱，树叶上交错的叶脉等都是角。教师：这些角有什么共同的特征?你能否根据这些特征给角下一个定义?学生：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。教师：由线段 OA，OB 组成的图形是角吗?学生：不是角。教师：回答正确。因为 OA，OB 是线段而不是射线，所以由线段 OA，
4、OB 组成的图形不是角。学生：老师，如果根据角的定义，钟面上的时针与分针，棱锥相交的两条棱，树叶上交错的叶脉那也不是角了?教师无言以对。(参见文1) 在另一个场合，我们还见到有的学生以为，他所拿的小三角板 60比老师所拿的大三角板 60小一些。12 汽车在高速路上行驶是平移吗案例 2 下面是“生活中的平移”公开课的教学片断。(2007 年 10 月 20 日)(1)教师用投影片出示生活中平移的例子：游乐场的滑梯，天空中的飞机，大海里的轮船，行走的玩具狗等。启发学生从三个方面：几何图形，运动方向，移动距离，去思考以上几种运动现象有什么共同特点。(2)学生发表看法，教师归纳它们的共同特点，引导学生
5、说出平移的定义。接下来，教师用更加规范的语言描述平移：定义：在平面内，将一个图形沿着一定的方向移动一定的距离，这样的图形运动称作平移。(3)接下来教师请同学们再来看两个生活中平移的例子：传送带上的电视机，手扶电梯上的 人，由这两个例子的共同特点得出平移的特征：平移不改变图形的形状和大小。(4)教师请学生举出生活中平移的现象。同学们顺利举出很多例子。突然，出现一个争论：一个男学生说，汽车在高速路上行驶是平移。一个女学生不同意，汽车在高速路上行驶不是平移。教师问：为什么不是平移?女学生答，因为汽车跑起来方向不固定，还会拐弯。教师说，对，平移的物体要沿着一定的方向移动一定的距离，现在汽车的方向不固定
6、，所以不是平移。(5)课后议论：飞机在空中飞行、轮船在水面行使，也会拐弯，还有颠簸，为什么飞机、轮船是平移，汽车在高速路上行驶不是平移?13 什么是直线案例 3 在“线段、射线、直线”的公开课上(听课教师数百人)，执教老师希望学生了解“线段、射线、直线的定义”，并结合实际“理解直线公理”(经过两点有且只有一条直线)。(2006 年 10 月 23 日)(1)部分教学片断片断 1 让学生直观感受直线。回忆小学时的相关概念，出示了一组图片，如图 1 的做广播操队列：(还有玉米地，高速路，铁轨)等，让学生感受生活中的直线。片断 2 让学生进行“队列活动”(站起来)，体验：两点确定一条直线。 活动 1
7、：教师让一个学生(甲)先站起来，然后请同学们自己确定，凡是能与甲同学共线的就站起来。一开始，你看看我、我看看你，没有人站起来，不一会四面八方有人站起来，最后全班学生都站起来。教师总结：过一点的直线是不唯一的，所以每个同学都可以与甲同学共线。(经过一点有无数条直线)。活动 2：教师让两个学生先站起来，然后请同学们自己确定，凡是能与这两个同学共线的就站起来。学生很快作出反应，站起来了一斜排同学。教师总结：两点确定一条直线，所以有且只有一斜排学生与这两个同学共线。(经过两点有且只有一条直线)活动 3：教师让三个学生先站起来，然后请同学们自己确定，凡是能与这三个同学共线的就站起来。当三个学生共线时，站
8、起来了一斜排同学；当三个学生不共线时，有个别学生站起来(与其中两个同学共线)，后来又坐下了，最终没有一个人站起来。教师总结：经过三点可能有一条直线，也可能没有直线。整堂课，学生活动或回答问题不下四、五十人次，有的学生站起来等活动不下六、七次，课堂气氛很热烈。(2)对“直线”的反馈调查课后了解，学生很欢迎这堂课，都很高兴。片断 1 (调查学生)询问学生“今天这节课你学到了什么?”学生回答：学到了线段、射线、直线。询问学生所理解的直线是什么?学生不能回答。经追问“说说直线是什么样的图形?”学生还是答不上来。片断 2 (调查听课教师)把询问学生的情况向听课教师汇报，特别提出，学生学习了一节课直线但说
9、不出直线是什么，各位老师，你们也听课了，可能还上过这个课题，你们说说直线是什么?全场肃静，没有一个教师回答。片断 3 (调查执教老师)转而询问执教老师：你认为直线是什么?教师没有正面回答，更多的是介绍教学设计的意图。(3)反思情况表明，有三点特别值得反思。(1)知识的封闭性。首先一个表现是，不知道直线没有定义!其次一个表现是，不明确直线的一些属性，教学中不能自觉渗透这些属性。如，无穷个点组成的一个连续图形，两端可以无穷延伸，很直很直，等等。但是，“连续”、“无穷”、“很直”等又是需要定义的，因而，这些词语都只是粗糙的解释。从公元前三世纪欧几里得几何原本以来，数学家曾作过直线定义的许多努力，但都
10、没有成功，因为点、直线，平面是原始概念，不能严格定义。描述它们的基本办法是用公理来刻画，本节课中的“直线公理”：经过两点有且只有一条直线，正是直线的本质特征。试想，如果“直线”不是很直很直的，那经过两点就可以连出很多很多曲线；同样，如果“直线”不是两端可以无穷延伸的，那经过两点的线段就可以延伸出长短不一的很多很多直线。教学上也有一些处理技术，比如，本节课中先描述“线段”，然后，用线段来描述直线，把直线理解为线段两端无限延伸所形成的图形。 (2)情景的局限性。现实原型与数学模式之间既有联系更有区别，比如图 1 中的做广播操队列与直线之间可以找到很多不同，列表表示如下：表 1内容项目 做广播体操的
11、队列 直线图形具体与抽象 有宽度、有高度 没有宽度、没有面积粗糙与严格 学生之间凹凸不平、高低不齐 直线是“很直”的一维与三维 三维立体的 一维的有限与无限 有限个人组成 无限个点组成连续与间断 间断的 连续的特殊和一般 一个现实原形 许多现实原形的形式化抽象实在与形式 生活中存在 生活中不存在 学生虽然在队列“前后对正、左右看齐”的活动中感受过直线的“直”，但在这些区别面前，还是需要教师去做“数学化”的提炼工作，把不是数学的“广播操队列”提炼成数学上的“直线图形”。没有这个提炼过程，学生获得的可能不是数学、或者是硬塞给他们的数学。(3)活动的单一性通过站起来，体验“两点确定一条直线”的活动，
12、确实设计得很精彩，但给人的感觉是：更关注“唯一不唯一”的量性收获，缺少为什么“有且只有一条”的质性渗透，本质上是数学化过程不足。所以学生学了“直线公理”不会用“直线”去解释“公理”、或不会用“公理”去解释“直线”。这个活动还使我们想起“土豆能组成集合吗”的美国案例。感悟：数学教师要有充实的数学知识，数学教学要有数学化的能力。1. 4 土豆能组成集合吗案例 4 20 世纪 60 年代，美国的新数学运动强调应当在中小学甚至幼儿园及早地引入“集合”概念，以下是在这一背景下发生的一个案例。一个数学家的女儿由幼儿园放学回到了家中，父亲问她今天学到了什么?女儿高兴地回答道：“我们今天学了集合”。数学家想道
13、：“对于这样一个高度抽象的概念来说，女儿的年龄实在太小了。”因此，他关切地问道：“你懂吗?”女儿肯定地回答：“懂!一点也不难。”这样抽象的概念难道会这样容易吗?听了女儿的回答，作为数学家的父亲还是放心不下，因此，他又追问道：“你们的教师是怎样教的?”女儿说：“女教师先让班上所有的男孩子站起来，然后告诉大家这就是男孩子的集合；其次，她又让所有的女孩子站起来，并说这就是女孩子的集合；接下来，又是白人孩子的集合，黑人孩子的集合，等等。最后，教师问大家：是否都懂了?她得到了肯定的答复。”这样的教学法似乎也没有什么问题，因此，父亲就以如下的问题作为最后的检验：“那么，我们能否以世界上所有的匙子或土豆组成
14、一个集合呢?”迟疑了一会，女儿最终回答道：“不行!除非它们都能站起来。”(参见文2)15 四边形外角和定理的微型调查 案例 5 几年前(1999 年 6 月 28 日)，我们在教学法课的期末考试中，有意测试大学生的数学直觉猜想能力，同时也检验该教学设计的有效性。情况表明，我们对学生真实的思维活动了解是很肤浅的。(1)调查的设计测试对象：师范院校的本科大学生 77 人。测试题目：有一个四边形 ABCD(中学指凸四边形)，某人从 AB 内一点出发，沿周界走一圈回到原处，中间作了 4 次拐弯，最后与出发的方向相同，请从这一想象中提炼出一数学定理，并给出证明。测试意图：这道题目的设计背景是四边形外角和
15、定理，或者说，以此作为发现四边形外角和定理的“认知基础”主要提供了 3 条信息。 信息 1：如图 2，某人沿四边形 ABCD 的周界走了一圈，回到原处。这条消息叙述了一个事实，从而反映出四边形的结构特征。但这一反映是很粗浅的(图形封闭，周长有界)，下面继续对这一事实进行过程与结构的两种描述，其实质是对四边形结构性质进行更深入的刻画。信息 2：将走一圈的过程分解为在 4 个顶点处作了 4 次拐弯。提供这一信息的意图是把“走一圈”的结果从数量关系上分解为 4 个外角之和1234。信息 3：将走一圈的结果表示为最后的方向与出发的方向相同。提供这一信息的意图是把“走一圈”的结果从数量关系上表示为转了
16、360。既然，信息 2 与信息 3 表示的是同一事实，其两种数量刻画就可以用符号联结起来，得出1234360。(2)测试结果对于不知道外角和定理的初中学生来说，这可能是一个“再发现”的过程，但对于大学生来说，定理已学过，主要的工作是将问题情境提供的信息加以辨认，然后从记忆储存中检索出相应的命题来，从辨认到检索有一个直觉猜想的过程，由于大学生有较多的已知信息作参照，能力水平也较高，我们预计，绝大多数的同学都能按照我们的意图作出回答。但结果却很意外，只有 1948的人回答为外角和定理。回答分为四类，列表如下。表 2类别 外角和定理 内角和定理 其他回答 未回答人数 15 人 27 人 25 人 10 人百分比 19.48% 35.06% 32.47% 12.99%25 个“其他回答”中涉及 n 边形、向量、复数等广泛的方面，(参见文3)2 关于情景的认识上述各案例
